不等式的類型及解法技巧

在中學數學教學內容中，解不等式是一個重要教學內容。其主要類型有：一元一次不等式，一元二次不等式，高次不等式，分式不等式，絕對值不等式，無理不等式。下面我就不等式求解的方法作一些探討：

一、一元一次不等式

解這種不等式最終歸結為解最基本不等式ax＞b(或ax＜b，ax≥b，ax≤b)，且a≠0.

對于ax＞b來說，當a＞0時，解集為{x│x＞}；當a＝0時，若b≥0，解集為Φ，若b＜0，解集為R；當a＜０時，解集為{x│x<}。

例1求不等式＜＋(R)的解集

解：略。

二、一元二次不等式

一元二次不等式的一般形式為ax2＋bx＋c＞０（或≥０）和ax2+bx+ c＜０（或a≥０）．一元二次不等式可用因式分解或配方法求解，也可根據一元二次方程的根及二次函數的圖像的關系求解．

例２解下列關于的不等式:

（1）2x2＋ax＋２＞０ （2）x2－（a＋a）x＋a3＞０。

解：略。

說明：若遇到解含有字母系數的一元二次不等式時，要從兩個方面來討論，其一是判別式△和0 的大小比較，其二是兩根的大小比較．

三、高次不等式

簡單的高次不等式可分解成若干個一次因式或不可分的二次因式（在實數范圍內）的積，借助于數軸，用標根法求解．

例３解下列不等式：（1）2x3-x2-15x＞０ （2）(x+4)(x+5)2(2-x)3＜０.

分析：如果多項式f(x)可分解為個一次式的積，則一元高次不等式f(x)＞０ （或f(x)＜０ ）可用“穿根法”求解，但要注意處理好有重根的情況．

解：略。

四、分式不等式

分式不等式最終可轉化為形如（或≥０）的形式，進一步轉化為高次不等式求解．轉化方式如下：＞０f(x)g(x)＞０，＞０f(x)g(x)≥０g(x) ≠0。

例４ 解不等式＜1

解：原不等式等價于＞０

(2x-1)(x-1)(3x-1)(x-2)

用“穿根法”

∴原不等式解集為（-∝，）∪（，1）∩（2，+∝）。

說明： “定符號”是關鍵．當每個因式的系數為正值時，最右邊區間一定是正值，其他各區間正負相間；也可以先決定含０的區間符號，其他各區間正負相間．在解題時要正確運用．

五、絕對值不等式

一般形式是│f(x)│>g(x)或│f(x)│g(x)或

例５解不等式│x+1│>2-x．

解法一：定義法

原不等式等價于 或x+1>０x+1 >2-x；或x+1<０-（x+1） >2-x。

∴原不等式解集為{x│x>}。

解法二：平方法

原不等式等價于 （x+1）2>（2-x）22-x≥0或2-x<0，∴原不等式解集為{x│x>}。

解法三：公式法

│x+1│＞2-x，即x＋1＞2-x，或x＋1＜－2＋x． ∴原不等式解集為{x│x>}。

解法四：圖像法

畫y=│x+1│和y=2-x的圖像如右圖，

令│x+1│＝2-x得＝。

由圖可知不等式解集{x│x>}。

六、無理不等式

一般形式是≥g(x)或≤g(x)，無理不等式可轉化為有理不等式，要注意平方的條件和根式有意義的條件，一般情況下

≥g(x)，f(x)≥0g(x)＜0或f(x)≥0g(x)≥0f(x)＞[g(x)]2

或≤g(x)f(x)≥0g(x)≥0f(x)≤[g(x)]2

例６ 解不等式。

解：略。

◆(作者單位：江西省南城縣第一中學 )

□責任編輯：包韜略

注：本文中所涉及到的圖表、注解、公式等內容請以PDF格式閱讀原文