文化數學的力量

一個人的自然性成長需要依賴于遺傳、飲食、鍛煉等，而社會性成長則需要教育及其他的社會實踐。如同飲食可以給人以力量，教育賦予人的，同樣是一種力量。只是這種力量，側重于人的精神層面，并表現為對個體思維方式、精神氣質、人格特征的一種獨特影響。

而數學在這一賦予力量的過程中，其所扮演的角色，是任何其他課程形態所無法替代的。也正由此，無論哪個國家都不約而同地將數學這一課程置于僅次于母語之后的重要位置。

說數學是一種文化，無非是想說，其一，她不是一種自然的產物。“文”者，“紋”也。這是一種因人的實踐與創造活動而形成的一種非自然的形態，是一種投注了人的精神力量的獨特對象。其二，“文”既源自于人，是人的主觀力量的一種對象化，那么，她無疑又會對人構成一種反向的作用。好比藝術即為人之創造，但藝術作品一旦誕生，其對人自身又會構成一種獨特的影響。藝術如此，數學亦然。從而，在這一過程中，作為人類的一種主觀創造，數學和人之間實現了一種雙向的互構：一方面，是人創造了數學，數學中投射了人類特殊群體所固有的思維及精神風貌：另一方面，數學又會以其內蘊的獨特品質重新塑造人，形成對人的一種自反性建構。文化之“化”者，其意義恰在于此。

那么，作為一種獨特的“文”，數學可以對人實現怎樣的“化”呢?

首先，數學之抽象，為我們展現了一種追根溯源、求其實質的思維方式。

何為抽象?抽象者，抽其“象”也，即是從眾多事物中抽取出共同的、本質性的特征，而舍棄其非本質特征的過程。數學研究的對象是客觀世界，但客觀世界只是數學研究的載體，數學所真正關注的，不是那些看得見、摸得著的客觀實在，而是蘊含于其間的抽象的數量關系與空間形式。如同說，我們可以帶領學生觀察黑板、窗戶、門、書本封面，但我們真正需要致力于引導學生去認識和把握的，卻不是其中的任何一項，而是撇開其質料、顏色、大小、輕重等非本質屬性，獲得對長方形這一抽象的平面圖形的理解與把握。同樣的，我們引導學生觀察2支鉛筆、2個球、2只鳥、2個人，但這些都不是數學本身。真正的數學是，我們能否發現這些不同對象背后所隱藏著的共同的東西，也就是那個看不見、摸不著的抽象的等價集合2。

盡管現在，一提及抽象，往往便會出現很多相對消極的判斷，尤其對于處在具體形象思維階段的小學生而言。但這一判斷，不應該掩蓋掉抽象本身對于促進學習者個體獨特的思維方式所具備的教學價值。事實上，世界萬物紛繁復雜，能否在復雜的背后把握住其不變的、規律性的、實質性的東西，的確是一種重要的思維模式。數學的抽象，恰恰可以為我們提供很好的示范與訓練。

也因此，文化數學，倡導一種這樣的教學觀點：數學教學應致力于引導學生經歷數學知識由表及里、由外而內、由粗而精、由繁而簡、由多而少、由亂而序、由散而整的過程。數學學習，要培養學生一種特殊的習慣，那就是善于洞察、善于抽取、善于提煉。這一過程，既是數學學習本身需要經歷的，更是潛移默化間對學生思維方式的一種滲透與潤澤，是人的一生需要積累的重要精神財富。

同樣，文化數學的課堂，更關注數學知識向數學技巧、數學方法、數學策略、數學思想的不斷提升，因為這一提升的過程，恰恰也是一種抽象的過程，是一種在過程層面所體現出的逐級抽象。

其次，數學之精確，為我們展現了一種求真務實、嚴密嚴謹的精神氣質。

真、善、美是人類一切物質與精神生活的最高追求，而在數學中，真表現得尤為突出。

日常生活中，我們常能看到這樣的情形。當面對一個具體的問題時，具有不同學科背景的人，往往會在思考、表達、解決這一問題時，展現出頗為不同的風貌。具有文科背景的人，相對而言，思維更具體形象、更浪漫，表達也更感性、更抒情。與此不同的是，具有理科背景的人，往往會表現出更大的理智感和審慎的態度。他們的表達相對欠缺激情和想象力，但是，在邏輯性、層次感、條理性上，他們卻往往能夠表現突出。他們善于懷疑，這不是因他們多疑，而是因為他們不愿意在尚未求證的前提下輕易做出判斷，從而，猜想、實驗、論證便成為他們尋求真理的重要路徑。這一情形，在具有數學背景的人中表現得尤為突出。一句話，他們的思維表現出更大的理智感和嚴謹氣質。

那么，這樣的差異是否應該歸功于數學學習?如果是，這樣的特質，又究竟是依托于怎樣的路徑得以實現與建構的呢?此處，我不愿意羅列一些觀摩課中的經典片段佐證我的觀點，取而代之的，我更愿意回到日常的、容易被我們忽略的家常課中，去發現獲得這一改變的秘密。

想想我們的數學老師，在自己的課堂上最喜歡說的是哪幾句話：對不對?為什么?粗粗一看，不覺得有什么，這也的確是兩個最普通不過的問題。但關鍵是，如果在數學課堂上，這樣的問題被日復一日地提出，一周、一月、一年、六年甚至更長的時間，當我們的數學學習始終置身于“對不對”和“為什么”的拷問下，對于課堂中的學生而言，這究竟意味著什么?筆者看來，當這樣的問題被問了無數遍后，對學生而言，它傳遞的就是一種信號：原來，數學是一門需要確定其正確與否的學科(相比較而言，語文尤其美術、音樂等人文類學科，在這方面的要求要低得多)，是一門需要不斷追根溯源、打破砂鍋問到底，需要不斷由果索因、不斷“講道理”的學科。長此以往的耳濡目染，對學生而言，構成的恰是一種思考問題、面對世界的態度與價值觀：這是一個有待求證的世界，這是一個需要確認的世界，這是一個可以大膽假設小心證明的世界。為此，我們需要審慎，需要嚴謹，需要不斷地問自己“對不對”“為什么”，以便于自己能夠真正獲得有價值的知識與認識。

也鑒于此，文化數學的課堂便不再顯得高深莫測。能不能多講些道理，能不能多思考幾個為什么，能不能遇事不輕信、多求證，我們有理由相信，這樣的課堂，在引導孩子積累數學知識和技巧的同時，會植下一些獨特的世界觀與精神氣質，而這，不正是文化數學的力量所在嗎?

再次，數學之自由，為我們展現了一種自由創造、多樣建構的開放空間。

曾經一度，我以為數學是相對封閉的，至少在小學階段如此。在語文閱讀中，“一千個讀者可以有一千個哈姆雷特”，在音樂欣賞中，不同的聽眾更可以喚起截然不同的情感體驗，而在數學中，難不成1+1真的可以等于1?三角形的兩邊之和難不成還可以等于甚至小于第三邊?口袋里沒有紅球，難道還可能摸出紅球?……從而，當我在《課程標準》修訂稿中看到如下的表述“數學……有助于培養學生的創新意識和實踐能力”時，便自然顯得有些茫然——如此講究確定性、精準性的學科，究竟如何培養學生的創新意識?

而現在，我不得不承認，之所以形成這樣的誤解，與自己狹窄的閱讀背景有關，更與自己對數學本質的膚淺理解有關。

此處，我同樣不想援引名家的論述，諸如“數學的本質是自由”，“數學是人類的一種自由創造”，等等。因為，這樣的論述并未能夠從微觀層面闡明小學課堂教育形態下的數學該如何展現出其自由、開放和富有創造性的一面來。在我看來，真正觸及數學內在的自由本質的，固然有數學發展歷史中所展現出的“自由創造”的歷史淵源，更重要的是，小學課堂中的數學，在其尋求精確性、邏輯性的同時，同樣表現出極大的開放性與創造性。最簡單的自然數1，從來就是人類的一種想象與創造，因為1本身并不存在，而用“1”作為抽象1的表達符號，更是人類的神來之筆；位值制的誕生，無疑使我們的計數獲得一次由有限邁向無限的超越，而其中所蘊含著的巨大創造性，堪稱人類一切創造性作品之典范。由整數而小數、分數、有理數、無理數，由確定的數進而至變化的數，用字母表示數、方程乃至算術思維向著代數思維的跨越，哪一次進步，不是數學創造力的一次勃發?數學中的數如此，符號何嘗不是?“+”“－”“×”“÷”，哪一個不蘊含著一段獨特的數學創造歷史?至于對同一數學問題的不同表征和符號化，對同一數學問題的不同解決思路與策略，以及包含在直覺思維、頓悟思維、形象思維背后的巨大的創造性，哪一點不在昭示著數學巨大的創造性?其實，再多的描述都顯得累贅，想想世間本沒有數學，一切皆是人類的想象與創造，那么，課堂上，我們再重新面對數學時，是否該有一種新的眼光與視角?

所以，重要的不是數學是否包含著巨大自由與創造性，而是我們在課堂上，是否可以擁有一雙發現數學自由與創造性的眼睛。讓每個學生越過數學規范性、精確性的籬墻，觸摸數學自由表達、從容舒展、開放探索、多樣表征與多元解答的那一面，我們的文化數學自然就多了一份難能可貴的自由與創造。

行文至此，讀者想來不難洞察，其實，無論是文化數學也好，智慧數學也罷，都是同一問題在不同語境下的一種多樣表述而已。

數學是一種文化，而教育形態下的數學則是一種將其文化價值得以“返哺”，以促進個體精神生命成長的重要載體。在這一意義上，文化數學，其實質同樣是促進學習個體的智慧提升。因為智慧首先即表現為透過表象把握實質的一種洞察力，這是文化數學所傳遞的第一要義：繼而，智慧數學需要為學習者沉淀下一種獨特的求真意識與理智品格，這是文化數學所傳遞的第二要義：最終，智慧的終極目標是自由，是對世界的自由把握、對人生的自由洞察、對自我的自由觀照，而作為文化的數學，其本身恰具備實現上述目標的功能。

由此，文化數學與智慧數學，事實上在其目標定位與策略建構層面，展現出其頗為相似的地方。只是，不同的教學主張，其理論側重點及教學策略略有不同。文化數學更關注數學內容本身的文化價值的開掘，關注數學內容的學習對于學習個體在思維方式、精神氣質、人格特征等領域的影響，而智慧數學，更關注數學對于發展學生的智慧能力與品格所具備的獨特意義，關注數學知識、方法如何向著更開闊、更上位的生命啟迪與人生智慧作拓展的可能與空間。

殊途同歸。所以愿意和智慧數學的踐行者一道，在數學教育之路上并肩前行，尋找我們共同的教育理想。