在常識的執守中前行

一個小學數學教師，面對的是兒童，教的是數學。提出一種新的教學主張，為了什么?肯定是為了更好地引導兒童學習數學。

這些是教育常識。

常識，是眾人皆知、無須解釋或加以論證的知識。這很容易讓人聯想到數學形式化體系中不證自明的公理。公理，是數學演繹體系中的基礎，那教育常識則是整個教育活動展開的原點。

解決“雞兔同籠”問題，可以用畫圖、列舉嘗試、假設、方程等多種方法。首都師范大學數學系博導王尚志教授曾做過調查，結果顯示小學教師有95％以上喜歡用假設法，初中教師100％喜歡用方程。畫圖和列舉嘗試因為繁瑣原始，方法不夠高級得不到認同。而且事實上，各種解題方法最終的確被方程方法所一統。在解決“雞兔同籠”問題這個特定的情境中，方程方法至簡、至真，因而也至美，更為智慧。那既然如此，小學里為什么有很多教師教的是畫圖法、列舉嘗試法，而從來沒有教師有意識地教給學生方程法?

常識，太過直白、無比淺顯，可能被一些教師所不屑，但常識所言說的是大道至簡的規律，所以在不同的教學情境中演繹出不同的應有之義。引導兒童學習數學，在“雞兔同籠”的解答中，意味著對數學來說，是更為智慧的方法，但如果兒童不能理解它，或者其不能來自于兒童最近發展區的話，這樣的智慧方法就毫無發展性可言。兒童與數學，是小學數學教育的兩個基本立足點，努力實現兩者間的和諧是一切教學法的根本。這也就是筆者“和諧數學”主張的精華要義。由此出發，品讀“智慧數學”的教學宣言，生發以下想法。

一、從兒童的視角品數學，為智慧數學奠定兒童立場

小學階段的數學教師，不可能創造數學，因為嚴格意義上我們都不是數學研究工作者，我們要創造的是兒童對于數學的理解。我們提出的主張，也肯定不是數學發展的主張，而是數學的教學主張。這也需要有清晰的教學對象感。所以，教師作為成人社會派往兒童世界的文化使者，不能帶著成人對于數學的理解匆匆地趕往兒童世界，而要轉換視角，把自己變成一個長大的兒童，從兒童的視角來品數學。

說起數學，大家都公認它表現為抽象的概念、冷峻的符號、嚴密的推理，但這些卻不能完全概括數學的本質特性。因為數學家在傳播數學思想的時候，有個習慣，或者說是數學圈子里有這樣的共識：必須建立起一套有關定義和抽象概念的完整體系，要以充分一般的方式陳述結果。這就意味著，原始的例子和逐步的抽象過程必須舍去。對此，著名數學教育家弗賴登塔爾曾經這樣說：“沒有一種數學的思想，以它被發現時的那個樣子公開發表出來，一個問題被解決后，相應地發展為一種形式化技巧，結果把求解過程丟在一邊，使得火熱的發明變成冰冷的美麗?！币粋€數學概念，作為人類千百年思維抽象的結晶，僅僅看它最終的形式化表述，普通人就很難深入把握其確切的本質意義。這正如法國數學家安德烈，韋伊所言，數學的特別之處，就是它不能為非數學家所理解。實際上，歷史事實進一步表明，顛覆了人們已有常識的新的抽象認識，不僅僅是普通人難以理解，即使同時代的其他數學家也難以理解。羅巴切夫斯基提出“非歐幾何”。動搖了歐氏空間的唯一性，其后30年左右的時間中，除了少數幾個數學家外，幾乎所有數學家都對其置之不理，它被視為異端邪說?？低袆摿潟r代的集合論，建立了一一對應的思想，無限集可以與它的真子集對等，顛覆了人們“整體絕對大于部分”的常識，新觀點最初不得不藏在一篇文不對題的論文里發表。發表后各種批評聲洶涌而來，“后一代將把集合論視為一種疾病”，法國數學家龐加萊預測道?？挛髡J為部分和整體構成一一對應是自相矛盾的事。高斯說：“我必須最最強烈地反對你把無窮作為一件完成的東西來使用?！边@些批評深深地刺激了康托，以至于其一生多次不同程度地精神崩潰。對這些歷史史實，量子力學的奠基人普朗克在20世紀初感慨道：“一個新的科學真理并不是靠說服它的對手并使其看見真理之光取勝，而是由于它的對手死了，新的一代熟悉它的人成長起來了。”

可以這樣說，抽象天生地不惹人喜愛。教育心理學表征概念的研究也佐證了這點，只有少部分人直接用抽象詞語的形式在頭腦中記錄概念。因此，作為一個小學數學教師，要關注數學內容的形式性，更要關注數學發現的經驗性，充分展示數學是常識的提升、經驗的總結那一面。數學發展的史實也的確如此，一個數學知識最原始的部分，既不神秘也不嚴謹，沒有一點形式邏輯的印記，充滿著濃郁的生活常識的痕跡，認識的提升帶有濃重的按照生活事理邏輯自然衍生的痕跡，并不是一副冷峻理性的樣子。例如，人類使用十進制乃是“一種生理上的湊巧”(人有十指)；用算籌的不同顏色來區別正負數；源于連續量的分割，所以叫分數；最初的計量單位都和人身體上的器官有關，如此等等。數學成果在發表時，被舍去的原始例子對于數學形式化來說是無用的，但對于數學教育來說卻是至寶。它能啟示后來的學習者，調動起全部的經驗積累來支撐其建構概念的全部含義。英國數學家阿蒂亞爵士說，一個新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結果。最重要的信息卻常常包括在容易的部分，甚至在幾個簡單且深刻的觀察之上。所以，一個智慧的數學教師，并不是個數學方面滿腹經綸的人，而是一個善于兒童化的人。對于兒童來說，抽象的數學知識，用生活常識、兒童經驗闡釋，變得具體形象了，才變得深刻，這樣的教學過程才具有智慧。

二、從數學的視角讀兒童，為智慧數學確立學科特質

一個數學教師在教學設計中，要在數學內部深究教學內容的數學本質是什么，能滲透什么數學思想方法，更要讀懂兒童，站在他們已有的認知前沿，去眺望離他們的最近發展區有多遠。如果距離太遠，所謂的好方法對兒童來說也就沒有了意義。因此，數學雖然具有多種屬性，但在筆者看來，最智慧的是善于把握數學的統一性。上文所提到的解決“雞兔同籠”問題的多種方法，方法間看似不同，巧妙程度上的差異也是客觀存在的。但當面臨多個未知數的時候，無論假設還是嘗試，都是先考慮一個未知量的情況，然后再去調整。只不過，假設是一次性調整到位，而嘗試是多次調整。這兩者間是相同的，共同的東西是什么?是消元!往深處看，代數的方法解決雞兔同籠，也是用消元。再放大地看，這可以看作是面對人生困難的一種態度，困難多，還不是一個一個解決?一個教師，追求這種統一性，其本質就是在考量數學價值與兒童現實間的溝通路徑。兒童立場是現代教育的根本，在數學教學領域中談兒童基點，固然要從上位的相關教育理論中汲取精髓，更要有意識地從數學的統一性角度去研讀兒童的數學現實。在擬經驗主義數學觀的觀照下，數學學習是學習者主動建構的過程，鑒于此，研讀兒童意味著：

把握兒童的已有。建構主義刻畫了兒童的數學學習在很大程度上取決于主體已有的知識和經驗，所謂的對新知識的理解，也是新的學習內容與學習者已有的知識與經驗間建立起適當的聯系。這一切都和學習者已有什么相關，因此，研讀兒童首要的意義是把握兒童的數學現實。由于學生的數學認知結構大致與數學教科書的知識結構相同，因此，教師對兒童已有的舊知儲備還是容易把握的，困難的是把握兒童的生活經驗基礎。為什么困難?因為同樣的事物，兒童觀察和體會到的，和成人并不一致。認識厘米的教學后，教師出了一組填空題，其中有“黃瓜長約20( )”一題，竟然有不少孩子空著。批改后不由得去詢問孩子們。原來，不少城鎮的孩子所看到的黃瓜一般都是切成了段或片的，沒有看到過整條的黃瓜。盧森堡說，“一個匆忙趕往偉大事業的人沒心沒肺地撞到一個孩子是一件罪行”，就數學教師來說，在數學學習的路上，不知道兒童在哪里，貿然地用自己的想法去替代孩子們的已有狀況，使得兒童從屬于教師的安排，這和行進途中撞到孩子并無兩樣。

體會兒童的障礙。從一定意義上說，教學并不是為數學天賦高的孩子準備的，對于他們來說，教的價值似乎并不凸顯。在數學悟性遲緩的孩子們面前，教學才更像教學——恰當的提示，細微的點撥，精要的提煉，兒童的認識由此實現提升。而這些價值的彰顯都首先要體會兒童們的學習困難在何處，教學如果不在“不懂”向“懂”轉化的關節處下工夫，那么就取不到一通百通的效果。特別是基于建構主義的學習觀，兒童的數學學習是他們自身利用已有的知識和經驗對新知識賦予意義的過程，因此，兒童在課堂中所體會到的，可能并非教師所教的。在知識的客觀意義上，兒童的認識可能是錯誤的，但在兒童已有的舊知經驗和新知識間卻是自洽的、“合理的”。所以，作為教師就要特別關注兒童的真實思維狀況，琢磨他們認識出錯的原因，體會認知提升的障礙在哪里，然后采取針對性措施，以引導兒童在舊知經驗和新知間實現“好的”平衡。

著眼兒童的發展。數學作為一門學科，其研究對象和研究方式都是心靈的創造，皆是人類思維的產物。因此，就如荷蘭著名數學教育家弗賴登塔爾所言，學生學習數學是一個再創造的過程。思維，是兒童數學學習的最根本的方式。也只有通過思維，兒童才能由外而內逐步觸及數學的肌膚、結構直至靈魂，獲得數學上的發展。從這些意義上說，引導孩子思維是實現智慧數學教學的最根本的方式。

一個教師教學“減法的意義”，自主活動中教師要求學生創作一個用減法解決的問題，為總結提煉出減法的意義作鋪墊。一個孩子用水果學具演示了可以用“5-2=3”的一個問題。話音剛落，另一個孩子就嚷道：怎么還是“5—2＝3”?老師剛才已經講過了。前一個孩子反駁道：老師的算式說的是汽車，我的算式說的是水果。兩個孩子不免爭執了起來。此時，教師安撫道：先不用爭，想想還能編出用“5-2=3”解決的事情嗎?于是孩子們的思維開了鍋，編出了多種多樣的問題。教師在此基礎上，追問道：為什么有的事情發生在教室里，有些事情說的是吃水果，有的事情說的是買文具，完全不一樣的事情，怎么都用“5—2＝3”?孩子們終于體會到了，雖然情境各不一樣，但數學意義卻是相同的。不由得有孩子感嘆道：“這么多事情都可以用‘5-2=3’來表示，它的本領可真大呀!”

案例中孩子最精彩的回答是“5-2=3的本領可真大呀”，此回答將減法作為一種解決問題的模型的數學認識闡釋得淺白無比。從這個案例中，我們進一步可以窺見的是，兒童如果在數學學習中得到了智慧提升，其必然經歷一個抽象和具體的辯證轉化過程，這正如數學發展中的那樣，新的抽象的認識被琢磨得直觀淺白、透徹明白了，認識也就躍升到了一個新的層次了。