步步為營 提升學生符號化陳述能力

中圖分類號：G623.56 文獻標志碼：B 文章編號：1673-4289（2011）10-0033-04

四川省第九屆小學教育教學改革研究共同體數學的活動主題是“小學生數學知識符號化陳述能力研究”。在做課環節中，要求使用人教版五年級數學下冊“打電話”一課，突出“符號化陳述解決問題的方案”。通過對教材的反復研究，結合五年級學生的心理、知識和經驗的實際，教者設計并展示了本節研究課①。

·片段1·創設情境凸顯危急時刻

【實錄1】視頻場景：一個電閃雷鳴、狂風暴雨的夜晚，山洪暴發、河水猛漲。

師：看了這個視頻你想到了什么？

生1：我想到了即將發生泥石流。

生2：我想到了快要爆發山洪了。

生3：可能要發生災難。

師：是的，水庫即將決堤，在這危險時刻——

課件出示：指揮長在僅有一部電話的情況下要立即打電話通知李村、吳村、張村的村長，要他們組織群眾迅速轉移，而且1分鐘只能通知1位村長。請你為指揮長設計一個打電話的方案。

師：是呀，有三位村長，到底怎樣通知好呢？

【導引1】本片段有兩個亮點：一是對教材的創造性使用。原教材是結合學生生活中熟悉的素材：合唱隊在假期接到一個緊急任務，老師要打電話盡快通知到15名隊員。讓學生幫助老師設計一個打電話的方案，并從中尋找最優的方案。教者認為這一情境設置不夠緊迫，且人數太多不便于學生循序漸進地探索規律，因此大膽地改換了情境。二是深諳創設情境的目的。情境中的“境”，就是以一種直觀的方式，再現書本知識所表征的實際事物或者實際事物的相關背景。目的是為了激“情”，激發起學生學習的熱情，喚起學生的求知欲。為了更能體現打電話的緊迫性，教者大膽地創設了更為緊急的、貼近生活的、更符合打電話的教學情境：水庫大壩有決堤危險。同時將通知的15人調整為3人，不僅降低了探究的難度，而且也為后續學習設置了由易到難的臺階，力求人人參與方案的設計，讓不同層次的學生都能獲得不同程度的體驗。

·片段2·設計方案凸顯符號優勢

【實錄2】學生根據教師的要求緊張而獨立地設計方案，教師巡視并收集設計方案。

（1）對比展示

教師找出兩位同學的方案進行投影展示。

第一位同學設計的方案（如圖1）：

第二位同學設計的方案（如圖2）：

師：為什么第一個同學還沒有設計完呢？

生：因為第一位同學用的是寫字的方式來表示的，寫字比較慢。而第二位同學用的是圖形和箭頭這些符號，節約了時間。

師：哦，原來設計這種方案，用上一些符號來表示就比較簡潔，明快。

（2）逐一展示

師：我們一起來看看這些設計方案（如圖3）。

師：這種方案指揮長是怎樣通知的？

生：指揮長先打電話給李村村長，再打給吳村村長，最后再打給張村村長。

師：指揮長分別通知，一共用了幾分鐘？

生：3分鐘。

師：這種方案（如圖4）又是怎樣通知的呢？

生：指揮長是先給李村村長打電話，李村村長給吳村村長打電話，吳村村長再給張村村長打電話。

師：一個通知一個，像線穿珍珠一樣。這種方案一共用了幾分鐘？

生：3分鐘。

師：再看這種方案（如圖5），你能理解嗎？

生：指揮長先給李村村長打電話，指揮長給張村村長打電話的同時，李村村長給吳村村長打電話。

師：這種方案里相互在通知，一共用了幾分鐘？

生：兩分鐘。

【導引2】由于數學符號的抽象性和小學生思維的形象性之間存在著矛盾，因此，在本環節讓小學生用符號陳述問題解決的方案時，教者遵循循序漸進的原則，發揮學生的聰明才智，逐一展示思維成果。先是讓學生獨立設計方案，再在學生的方案中有選擇地加以展示。第一次展示是對比展示，據此使學生體會到使用一些符號可以使數量關系簡單明了；緊接著是逐一展示，在學生對解決該問題的多種方案中，我們看到學生使用了“○、→、□、△、—”等符號，同時輔之以少量的文字和圖畫，既快速又簡潔，使學生在不知不覺中運用一些簡單的符號陳述了打電話的過程。

·片段3·符號陳述凸顯方案優化

【實錄3】師：剛才設計方案時，同學們有的用文字來敘述，有的圖文并茂來設計，都花費了很長的時間。而且只設計了一種方案，甚至有的連一種都沒有設計完。現在看老師來設計這三種方案，邊看邊思考。

教師在黑板上展示設計方案（如圖6）。

師：能看懂這種方案嗎？（師指方案1）

生：指揮長先給李村村長打電話，再給吳村村長打電話，最后給張村村長打，一共用了3分鐘。

師：哪個圖形代表指揮長呢？

生：正方形。

師：圓圈又表示什么意思？

生：三個村的村長。

師：這些數字表示什么意思呢？

生：“1”就是第一個打給李村村長，“2”就是第二個打給吳村村長，“3”就是第三個打給張村村長。

師：通知第一個村長用了幾分鐘？

生：1分鐘。

師：那“1”還可以表示?

生：第1分鐘，

師：“2”還可以表示？

生：“2”表示第2分鐘，“3”表示第3分鐘。

師：（指方案2）這里指揮長又怎樣通知的？

生：指揮長先給李村村長打，再讓李村村長給吳村村長打，再讓吳村村長給張村村長打。

師：像這樣1分鐘只通知1個人，我們把它叫做逐個通知。（板書：逐個通知）照這樣的方式通知下去，通知5個人要幾分鐘，通知50個人呢？

生：通知5個人要5分鐘，通知50個人就要50分鐘。

師：在第三種方案里怎么有兩個“2”呢？

生：因為他們都是同時通知的。

師：你說了一個很關鍵的詞：同時。（板書：同時）

師：知道消息的兩個人都在同時打電話，都沒有空閑，我們就把這種方式叫做相互通知。（板書：相互通知）

師：在這緊急關頭，如果你是指揮長，會選擇哪種方案？

生1：第三種方案最節約時間，只用了兩分鐘。

生2：因為這樣節約時間，可以多通知一些人，避免災難發生。

師：看來，前兩種方案比較費時。（板書：費時）而第三種方案通知的時間比較少、省時。（板書：省時）

師：（小結）在緊急情況下，要想在最短時間內得到消息，就要讓知道消息的人相互轉告，這樣都不空閑就節省時間。

【導引3】數學是思維的科學，用自然語言來描述數學事實是冗繁而復雜的。但利用遠比自然語言優越的符號語言來陳述，就能使頭腦擺脫不必要的工作負擔和約束，集中于需要關注的實質問題。這就在事實上降低了思維的強度，簡化了思維的過程，提高了思維的速度。因此，教者將前一環節學生們設計的方案，用簡約的圖示符號加以陳述，簡潔明了。在此基礎上加以優化，讓學生通過圖示符號清楚地看到，最省時的操作就是“相互通知”。

·片段4·問題拓展凸顯符號陳述

【實錄4】師：吳村有7個小組，村長得到消息后，立即打電話通知7位組長組織群眾迅速轉移。如果每分鐘也只能通知1位組長，請你設計一個打電話的方案。

學生獨立設計，完成后教師請學生解讀自己設計的方案。

生：我設計的方案（如圖7）是吳村村長知道消息后，先給第一位組長打電話，第一位組長知道消息后給第二位組長打電話，吳村村長在第一位組長給第二位組長打電話的同時，給第三位組長打電話。在第二位組長打電話通知第四位組長的同時第一位組長通知第五位組長，第三位組長通知第六位組長，吳村村長通知第七位組長，一共用了3分鐘。

生：（出示圖8），我這種方案也是用3分鐘。

師：和前一個方案相比我們有什么發現？

生：剛才老師是用同一種顏色來表示同時通知到的組長，這種方案是用同一種符號表示同時接到電話的組長。

師：（小結）我們可以用△來表示同時接到電話的人，也可以用□，還可以用○?？磥聿还苣阌檬裁捶?，只要同一分鐘用同一種符號就可以了。

師：（出示圖9）這種方案用了幾分鐘？

生1：這種方案用了4分鐘。

生2：這種方案有人空閑。

師：情況這么緊急，怎么能讓知道消息的人空閑呢？因此，這種方案不是最省時的方案。

師：（小結）不論是通知3個人，還是7個人，要使通知的時間最短，其核心就是讓知道消息的每個人都不空閑，相互轉告，直到通知完為止。

【導引4】學生經過獨立思考，設計出了用圖示陳述解決問題的方案，教師巡視選取有代表性的方案進行展示。不管是方案設計，還是方案展示，都有著與前面諸多不一樣的地方。首先是問題難度的加大，人數從通知3人到通知7人；其次是使用圖形符號陳述方案。由于難度的加大，無疑是對學生的數學表達和數學思考的挑戰。通過這樣的訓練，必將促進學生數學符號化思想的逐步形成，促使學生數學符號化陳述能力的提高。

·片段5·升華符號，陳述數學規律

師：剛才我們通過畫圖的形式知道了3分鐘最多通知7人，如果要知道4分鐘最多通知多少人呢？5分鐘呢？10分鐘呢？或者說通知更多的人呢？還是用畫圖的辦法表示嗎？我們來看看能否換一種數學符號，通過表格來表述呢？

1．認識表格。

出示表格，學生觀察。

2．用數字這種數學符號陳述出最優方案。

師：小組活動。根據剛才最省時間的方案把表格填完整。（分小組討論填表，教師巡視）

師：（展示表1）第2分鐘知道消息總人數有4人，第3分鐘新通知多少人？

生：4人。

師：這時知道消息的總人數是多少人？

生：8人。

師：怎樣得出知道消息的總人數是8人的？

生：第二分鐘知道消息的總人數是4人，第三分鐘又通知了4人，一共就是8人。（課件：兩個“4”同時閃爍箭頭指向“8”，再指向“7”）

師：已通知的總人數除去村長就是7人。

師：根據剛才填表的經驗，把第4分鐘、第5分鐘、第6分鐘的表格填出來吧？

3．獨立尋找規律，集體匯報展示。

師：通過剛才的填表（如表2）你有哪些發現？

生1：新通知人數，后1分鐘人數是前1分鐘人數的2倍。

生2：知道消息總人數，后1分鐘人數都是前1分鐘人數的2倍。

生3：已通知的總人數總比知道消息的總人數少1人。

生4：后1分鐘通知的總人數等于前一分鐘已通知的總人數加上下一分鐘新通知的人數。

生5：已通知的總人數就是前一分鐘的人數乘2加上1。

【導引5】這一環節教者巧妙地將學生從圖形符號的陳述中，轉換到了更為抽象的數學符號——表格和數字上來。先通過用數字這一抽象的數學符號來陳述數學事實，再引導學生在陳述事實的基礎上通過運算和推理來探尋規律，使學生在學習中不知不覺地感悟到數學符號還可以進行運算和推理，從而得到更具一般性的規律和結論。

·全課導語·

這節課力圖通過設計解決問題的方案來培養學生的符號化陳述能力。全課按照這一宗旨，在選取教學素材，設計教學程序，采用教學方式等方面，均頗具特色，能給人以啟示，值得學習和借鑒。

1.教學素材的選取符合生活實際，緊扣學生心弦。以某地電閃雷鳴，狂風暴雨，山洪爆發，河水猛漲這一緊急事件來引入打電話的緊迫性和急切性，從打給3個村到打給7個組，給人以真切性與現實性。整個故事情境貫穿教學始終，緊扣學生心弦，學生在緊張中設計方案，在以最佳方案解決問題的過程中來學習用數學符號陳述解決問題的方案，從而習得符號化陳述能力。

2.全課在用數學符號來陳述解決問題的方案上，由淺入深，步步設防，處處闖關。用數學符號陳述解決問題的方案是較為抽象的，對小學生來說是有一定難度的。因此，教者在設計上采取降低難度，分層設防的策略進行。首先是降低難度。將電話通知的人數設定為3人，既沒有太大的思考難度，又能體現出優選方案的要求。其次是分層設防。第一層面是讓學生用到“○、→、□、△、—”等這些符號加上文字來陳述方案的設計，由此遞進到第二層面用圖形符號來陳述，并將方案優化，再遞進到第三層面，將問題拓展，把數據增大，再用圖形符號來陳述。在引導學生感到數據大后圖形符號陳述困難的情況下，遞進到最后一個層面，用極度抽象的數字符號來陳述，并尋找其中的規律。

3.根據不同的需要，靈活采用不同的教學方式，學生學習熱情高。為了能調動學生學習的積極性，能將抽象的數學知識在不知不覺中教給學生，教者除了在教學素材的選取上下足功夫外，還精選了教學方式。在方案的設計時采用的是獨立設計再展示陳述；在方案用圖形符號來陳述的時候，采用的是教師出示，學生討論陳述；在填表，利用數字符號陳述的時候，采用小組活動，合作探索。由于教學素材的鮮活和教學方式的靈活，全課在教者的引領下，層層深入，步步為營，使學生的熱情飽滿，思維活躍。學生在輕松自如中感悟了符號化思想，在不知不覺中提高了符號化陳述能力。

（作者單位：1.眉山市第一小學，四川，眉山 620000；2.眉山市教育科學研究所，四川，眉山 620000）