加權Drazin逆的擾動邊界

摘要：基于廣義Jordan標準型和分塊矩陣的Drazin逆計算公式，在相對較弱的條件下，得到了擾動矩陣的加權Drazin逆表達式，并根據矩陣范數的相關性質，給出了加權Drazin逆的擾動邊界。

關鍵詞：擾動 加權Drazin逆 廣義Jordan標準型

1.前言

眾所周知，Drazin逆在奇異方程、奇異微分方程、算子理論、馬爾科夫鏈、密碼學、迭代等方面有很多實際應用[1， 3， 4， 6， 7]。

1980年，Cline和Greville [2]把Drazin逆的定義由方矩陣推廣到一般的長方形矩陣。令A[#1013;]Cm×n，W[#1013;]Cm×n，則存在X[#1013;]Cm×n滿足

(AW)K+1xw=(AW)K，XWAWX=XAWX=XWA， (1.1)

其中K=Ind(AW)，為AW的指標，是滿足rank((AW(K))=rank((AW)K+1)的最小非負整數，稱X為矩陣A的W-加權Drazin逆，常用X=Ad，w表示。特別地，當A為方陣，W=I 時，加權Drazin逆Ad，w就退化為普通Drazin逆AD。A的W-加權Drazin逆有如下性質：

Ad，w=A[(WA)D]2=[(AW)D]2A 。 (1.2)

對任意的矩陣A[#1013;]Cm×n，分別用R(A)和N(A) 表示A的列空間和零空間，由(1.2)可知，R(Ad，w)=R((AW)K1)，N(Ad，w)=N((WA)K2，其中K1=Ind(AW)，k2=Ind(WA)。

記B=A+E，A、E[#1013;]Cm×n。在文獻[3-9]中，已經對長方形矩陣W-加權Drazin逆的擾動作了一定的研究，本文主要是對[5， 6]的條件作進一步放寬，并假定A， E滿足下列條件之一。

(1)R(EW)[#8838;]R[(AW)K]，[Ad，wWEW][<]1和k=max{Ind(AW)，Ind(WA)}；

(2)N[(WA)K] [#8838;]N(WE)，[WEWAd，w][<]1和k=max{Ind(AW)，Ind(WA)}；

(3) R(WE)[#8838;]R[(WA)k]，[WEWAd，w][<]1和k=max{Ind(AW)，Ind(WA)}；

(4)N[(AW)K] [#8838;]N(EW)，[Ad，wWEW][<]1和k=max{Ind(AW)，Ind(WA)}。

參考文獻

[1] Guorong Wang， Yimin Wei， Sanzheng Qiao， Generalized Inverses: Theory and Computations， Science Press， Beijing， 2004.

[2] R.E. Cline， T.N.E. Greville， A Drazin inverse for rectangular matrices， Linear Algebra Appl. 29 (1980) 53-62.

[3] Yimin Wei， Guorong Wang， The perturbation theory for the Drazin inverse and its applications， Linear Algebra Appl. 258 (1997) 179-186.

[4] V. Rakocevic， Yimin Wei， A weighted Drazin inverse and applications， Linear Algebra Appl. 350 (2002) 25-39.

[5] N. Castro-González， J.Y. Vélez-Cerrada， The weighted Drazin inverse of perturbed matrices with related support idempotents， Appl. Math. Comput. 187 (2007) 756-764.

[6] Yimin Wei， Ching-Wah Woo， Tiangang Lei， A note on the perturbation of the W-weighted Drazin inverse， Appl. Math. Comput. 149 (2004) 423-430.

[7] Yimin Wei， Integral representation of the W-weighted Drazin inverse， Appl. Math. Comput. 144 (2003) 3-10.

[8] N. Castro-Gonzalez， J.J. Koliha， Yimin Wei， Perturbation of the Drazin inverse for matrices with equal eigenprojections at zero， Linear Algebra Appl. 312 (2000) 181-189.

[9] Yimin Wei， A characterization for the W-weighted Drazin inverse and a Cramer rule for W-weighted Drazin inverse solution， Appl. Math. Comput. 125 (2001) 303-310.

[10] N.Castro-González， Additive perturbation results for the Drazin inverse， Linear Algebra Appl. 397 (2005) 279-297.