和諧:數學教育的固有姿態

很多凡人的人生之路都是在不經意間確定的。我，也不例外。

一個十八歲的小伙，要說對教育和孩子充滿感情，估計是多數人不信的事情。事實也的確如此，1983年7月，在初中老師的游說下，我懵懵懂懂地進了師范。為師的人生路，就這樣定了。3年后，又稀里糊涂地走上了小學講壇。那段時間雖然沒有人生規劃，但發生的兩件事情溫暖了我。其一，畢業前夕在省級報刊上就公開發表了文章，這在大家還都是學生的時候，較為少見；其二，工作不到一年半時間的我，1987年年底在南通市小學數學論文評比中獲得二等獎。而排在前面的一等獎獲得者，則是當時已在小學數學教育界赫赫有名的特級教師張興華，這使我大為振奮！由此也懂得，教育的樂趣在于思考。二十多年來，正是在和思考的美麗約會中，提出不少對當下數學教學的個性理解，經過匯集，逐步樹起了“和諧是數學教育的固有姿態”的教學主張。

一、出發久了，別忘了我們為什么出發——教學主張在本源追溯中萌發

任何教育改革，一線的教師都是最終的實施者和承擔者。但教育理念到教學行為，不是簡單的傳遞過程，而是再創造過程。課改以來，一線老師二元化的思維方式導致了簡單化、非此即彼的教學實踐行為，從激情澎湃到迷茫困惑，再到冷靜反思。在反思中，我們可以觸摸到教學實踐中遇到的一對對范疇：合作，獨立思考是否倡導？主動探究，接受聽講怎么安排？個體建構，客觀意義如何統合？學為主體，教的價值引領如何體現？即時生成，預先設計何以發揮作用？這些教學要素如何在實踐中取舍、平衡，也就成了課改實驗如何走向深入的決定性因素。

2005年6月，經過南通市教育局組織的導師團遴選，我進入了名師培養的第一梯隊，在導師們的引領下，種種非此即彼的教學現狀同樣凸現在我眼前。思維的觸角可以由現實觸發，但任何形式的思考和實踐其本源都是為了探求事物的規律，而不僅僅是為了解決現實的問題。超越實用，直抵數學教育的本源，才能留給大眾更為久遠的聲音和啟示。我不免追本溯源，一個小學的數學教師，面對的是兒童，教的是數學。那么，兒童是什么？數學是什么？

按照馬克思關于人的本質的認識來看，兒童是人，便也是各種關系的總和。在人和自然的關系中，沒有一個兒童不對自然世界中的各種對象和事物充滿著好奇，比起成人來，兒童對自然更為親近和向往。在人與人的關系中，兒童用更為純正和直接的方式與人相處，一切都是那么簡單而純粹，因而，有時幼稚但卻更為接近真理，擁有更多的人類的良知與天性。在皇帝新裝的展示中，只有兒童發出了“什么也沒有穿”的聲音，因而，彌爾頓說：“兒童引導成人，如同晨光引導白晝。”在人與自身的關系中，兒童比起成人來更為一體。兒童的表情是發自心靈深處的，那么自然；兒童的健康必定通過蹦蹦跳跳表露，那么自覺；兒童的言語來自想法的流淌，那么自洽……和成人比起來，兒童無疑和各種關系處得更為和諧。

數學依靠邏輯確保了其嚴密，從不證自明的公理出發，演繹推理出了毋庸置疑、無可辯駁的結論。數學似乎是真理！但數學史卻告訴我們，數學的發展過程充斥著猜測和想象、反駁與改進乃至錯誤與曲折，這正如數學史家克萊因所言，一門邏輯的學科卻是不合邏輯地發展。再往細處看，加乘與減除的計算方法迥異，但有了負數，加減一體，有了倒數，乘除互化；數與形界限分明，但引入了坐標，數的問題便可以轉化為形的問題；已知和未知涇渭分明，但有了代數，未知也可以像已知一樣參加運算；從代數表達式看，直是線性方程，曲是非線性方程，差別明顯，但在微分中兩者等同無異；古人“一尺之捶，日取其半，萬世不竭”，每次的取出皆是有限，但不斷地超越，便是無限……原來，數學也是和諧辯證的復合體。

《中庸》開宗明義道：“天命之謂性，率性之謂道，修道之謂教。”修明循乎事物的本性才謂之教。兒童是和諧的生命體，數學是和諧的復合體，那循乎兒童和數學的和諧本源而展開的數學教育，和諧也便是其固有的姿態。

我進一步慎思：宏觀層面上放眼教育史，近現代的教育發展始終伴隨著科學主義和人文主義兩大教育思潮的紛爭。當下，科學主義和人文主義正逐步從對峙走向統合。放眼世界，東西方數學教育的方式各具優點，以各自的教育傳統為底蘊，重新整合不同的教學取向，尋找東西方數學教育的中間地帶，也就成了當今世界數學教育改革和發展的大趨勢。這一切，更使我確信，和諧是數學教育的固有姿態，我們要做的不是去發明它，而是去揭示和敞亮它。

二、走自己的路，讓別人發現這也是條路——教學主張在課例突破中明晰

2003年9月，到啟東市教研室工作之后的第三年，我設計并執教了《認識乘法》一課，以此課例為基礎撰寫了《文化視野中的小學教育實踐與思考》一文，并在江蘇省“教海探航”征文評比中獲得一等獎。記得那年頒獎活動報到的時候，有老師心急地翻閱著獲獎論文集，“咦，文章里還留有孩子們寫的字，真有趣”（反映學生思考過程的算式）；也記得，和編輯部王偉老師相約的交流，“這篇征文，首先吸引我的是那個課例，呈現出的孩子們的學習過程天然自成”。這些依稀留存的記憶碎片，大致可以勾勒出這樣一個道理：文章因生動的課例而成經典，教師因突破的課例而得以成長。

是啊，名師應該是個行者——雖是草根，但依舊崇尚信仰，并以苦為樂，終身奉獻。名師的角色要義中，不僅需要有崇高的使命感，更需要有緊貼大地行走的行動力。對于教師來說，課堂猶如土壤，一個教師的專業之樹只有根植于課堂，才能茁壯成長。但值得考量的是，所有教師的職業生命都在課堂中度過，為什么一段時間后專業發展的狀況卻又有天壤之別？這說明，并非課例研究必然會給參與者帶來收獲。課前你思考了多少，才決定了課后你收獲了什么。自己的課堂就是自己的田，不重復別人，更不重復自己，不斷播種新的種子，創造新的教學可能，讓更多的老師醒悟“原來還可以這樣教”，只有這樣的課例研究，才能有新的更大的收獲。

成長是需要路徑的。《認識乘法》課例及其征文的成功，不僅使我收獲了“浸潤在過程中的結果才能叫結果”的和諧意義，而且還構建了“審視現例、讀書思考、課例突破、理性總結”的專業成長路徑。2006年6月，我指導青年教師執教《用字母表示數》參加華東六省一市的賽課，雖然捧回了好獎項，但課畢總覺得意猶未盡。于是，推翻了原先的所有設計，親自執教，誕生了全新版本的《用字母表示數》。在教學預設中，更為自覺地用“和諧”理念來指導教學設計，并創造性地引入了數學史的視角探尋所教知識的知性內涵。在成功課例的基礎上，更為清晰地提出，以學習者為中心的學習環境設計，多要素、多視角的和諧應成為必然的訴求。《用字母表示數》的全新設計對此作出了漂亮的應答，即學校形態和原始形態的融通：在歷史的長河中領悟知識的數學本質；實踐經驗和教育理論的結合：在理性的分析中體味學生的學習障礙；意義建構與文化傳承的并舉：在遞進的反思中完成認知結構的重組。據此成文《和諧：小學數學教學設計的新視角》、《捕捉數學史中的教育基因》，分別發表于全國中文核心期刊《課程·教材·教法》和《人民教育》上。

《用字母表示數》課例的成功突破，及其思考總結的高層次發表，使我收獲了更大的思維之果：“和諧數學”的意義得以進一步明晰，課例突破的路徑更為明了，此外，我又收獲了“數學史之于數學教學的意義”。歷史是教學的指南，它不僅告訴了我們數學的本源意義是什么，還預告了我們兒童學習可能的障礙在哪里。這些，又和數學哲學所提出的觀點不謀而合。哦——我猛然醒悟到，大凡智慧的東西都是相通的，如果一個課例的突破是卓有成效的，那其背后，肯定是我對數學的某方面認識、教學設計的某種技巧、對數學教育的某種規律、對學生認知特點的某種領悟有了突破。一課一得，得得相積，我奔走在專業提升的高速路上。

三、思之不存，教將焉附——教學主張在理性自覺中豐盈

根植于各個課例研究中的心得碎片，不經歷理性思維的持久拷問，是磨礪不成教學主張的。稍有空閑，我便把多年來課例突破中的體會，以及系統讀書思考的感悟結合在一起，經過梳理，逐步確立了“和諧數學”的教學主張。

和諧，更多地帶有中國文化的烙印，是中國傳統文化中各派各學共同的精髓，其道義宏大。“和”是中國文化對宇宙萬物本質和存在形式的根本認識，其核心是不同因素不同成分的協調共處結為一體。但，“和”的境界并不強求同一，它的存在是以不同元素的存在為前提的，和諧是各得其所，各安其位，和而不同。“和”的境界也不苛求靜止統一，是各種因素的調和，是變化中致和，動態中致衡。當我考究“和諧”意義的時候，一個聲音一直在警示我：既然兒童和數學的本源是和諧，那循此本源展開的數學教育，和諧也是其固有的姿態。因此，堅決杜絕從“和諧”道義中去找理論支撐，然后拼接數學教育例子的做法。考究“和諧”，要把握的是“和”的思維方式，以此統合數學教育的諸多范疇，追求學生素養的全面共諧發展，敞亮和彰顯數學教育的固有規律。而實際上，我們已經在用“和”的方式處理課堂要素，比如學習方式重要的是多樣，教學評價講究的是多元。此外，就課堂而言，和諧的意義還在于：

1.價值指向：捍衛數學特質，潤澤兒童生命。

以“和”的思維方式來考察數學教育，統合各種教學要素，各種枝節、不同取向間彼此圓潤融通，交合凝聚可成更高的境界。但，各個方面的和合，也極容易被人誤讀為各種因素的摻合中和（俗稱“和稀泥”）。所以，和諧的價值指向要超越各種枝節，直抵數學教育最核心的地帶。對于小學數學教育來說，是兒童學數學，這是最本源的鏡像。和諧既然是數學教育的固有姿態，那么捍衛這個本源鏡像也就理所當然。所以，和諧的首要價值在于彰顯數學學科的特質，由外而內，觸及數學的肌膚、數學的結構直至數學的靈魂，使得數學課像數學課。而與此同時，教的終極意義不在于窮盡真理，而在于潤澤生命。在課堂中，我們應該保護繼而進一步激發孩子們對世界的好奇、對未知的向往、對困難的勇氣、對發現的驚喜、對成長的感動。扣著所教內容的和諧本色，以和諧的方式來實現兒童的和諧發展。

2.教學內容：因為具體直白，所以深刻難忘。

英國數學家阿蒂亞爵士說，一個新思想最有意義的部分，常常不在那些最一般的深刻定理之中，而往往寓于最簡單的例子、最原始的定義，以及最初的一些結果。荷蘭數學教育家弗賴登塔爾更是言簡意賅地提出：數學是系統化的常識。所以，不要被數學科學的抽象、嚴謹、枯燥所蒙蔽，這只是數學這枚金幣的一面，它的另一面則是具體、直觀、有趣。換言之，數學在生動中可見理性，具體中可蘊抽象，簡單中可藏厚重。作為一個小學數學教師，不僅僅自身的學科素養要合格，更重要的素質是善于從數學的理性、抽象、厚重出發，尋找出兒童眼界里的生動、具體、簡單。高明的數學教師，不一定是個滿腹經綸的人，而一定是一個善于舉例、打比方以及兒童化的人。

3.教學組織：沒有過程的結果不是結果，不向著結果的過程不是過程。

課堂實施中，我們都會考量諸多范疇怎樣處理，諸如導入情境的趣味與價值，探究思考的自主與引領，教學資源的預設與生成，等等。仔細琢磨可以發現，這些范疇都依賴于“過程與結果”的互動展開而存在。所以，教學組織中最需要考量是“過程和結果”的關系如何處理。對此，應確立的基本認識是，結果如果不來自于恰當的數學化過程，那就毫無文化的意義，教學就是失敗的教學；與此同時，過程如果不向著有利于收獲結果的方向展開，那就是沒有目的的過程，教學就是有缺陷的教學。最完美的結局是教學既有充分的過程，又收獲了清晰的結果。當兩者間因課堂的特定時空要求發生沖突，必須進行抉擇時，那恰當的過程要比數學結果更為重要。學習伊始，錯過了過程而直接知曉了結果，那孩子的一生都不會再經歷此過程。因為，知道了結果的過程還能稱之為過程嗎？

4.教學設計：歷史和現實間的來回穿梭。

教學設計中，教者會格外關注現實中的兒童以及教材中的知識，這是絕大多數教師的現狀。以“和”的思維方式來審視，歷史視角的缺失是多么地顯眼。數學史之于數學教學，絕對不是點綴，它是提煉教學智慧的富礦。只有在歷史的長河里，才能更為清晰看透數學的本源；公理化體系中的數學知識，和發生、發展的歷史過程結合在一起，才能變簡練為豐富、變艱澀為生動，進而才能更容易被學習者調動起全部的經驗積累來支撐其建構概念的全部含義。匈牙利著名數學家和數學教育家波利亞則說：“只有理解人類如何獲得某些事實或概念的知識，我們才能對人類的孩子應該如何獲得這樣的知識作出更好的判斷。”鑒于此，進行教學設計，理應以教學內容為中心，向前溯源教學內容的兒童現實，向后回歸數學科學本體或數學史料，考究其數學內涵的本質意義和兒童可能的學習障礙，在來回穿梭中實現歷史和現實的平衡。

5.思維方式：兒童基點，數學視野。

“和諧”的內涵，凝聚為和而不同，在“不同”的基礎上形成“同”，這才是智慧，才能促進事物發展。小學數學教學，說白了就是引導兒童學習數學。兒童的世界更多地充滿著經驗、直觀、形象；而數學，無論怎樣改造過的數學，其價值都指向于理性、抽象、形式化。“兒童”與“數學”間的不同，便是小學數學教學中最根本的“不同”，所以，“兒童基點，數學視野”就是和諧之于數學教學的核心內核。愛因斯坦說：“你能不能觀察到眼前的現象，不僅僅取決于你的肉眼，還要取決于你用什么樣的思維方式，思維決定你到底能觀察到什么。”兒童和數學的和諧本質是客觀存在的，但數學教學是否和諧，最重要的取決于教師是否確立了“和”的思維方式。當設計和考量教學的出發點是兒童的時候，應該要有意識地指向數學；當設計和考量教學的出發點是數學的時候，不要忘記主旨是為了兒童的發展。無論怎樣，都要努力達成兒童和數學間的平衡，這才是根本。