數學教學要深入到思想方法的層面

【教學設計前的思考】

1.對解決問題策略的認識。

解決問題的策略指學習者基于數學問題解決為背景，為了突破給定信息與目標間的障礙而采取的總體思路和基本方法。它既滲透了一般性的數學思想方法，又體現了解題時具體方法的導向性，是數學思想、解題方法相融合的在解決問題思維決策時所做的選擇。“策略”是對方法的本質認識，如為什么這樣做而不那樣做，這樣做有什么好處、會產生什么效果，什么時候這樣做、什么時候不這樣做，等等。策略是從方法里提煉的認識，是對方法本質內容的抽象概括，存在于個體的認知結構和經驗系統里，往往難以用語言或者動作清楚地表現出來。它們的關系類似于戰略與戰術的關系，策略是介于方法和思想之間的一種過渡狀態。策略是方法的靈魂，是運用方法的指導思想，策略是思想的雛形，是形成數學思想的有力支撐。策略直接支配方法的設計和運用。方法是策略的表現形式和實現手段，在策略的調控下根據具體問題加以選擇和運作。只教方法不教策略沒有思想，那么其結果就是“知識背后沒有方法，知識只能是一種沉重的負擔；方法背后沒有思想，方法只不過是一種笨拙的工具。”方法和策略的獲得并不是教學的終極目的，我們應該通過策略的學習，幫助學生不斷積累數學活動經驗，感受解題策略的價值，提升數學思想方法。

2.對“轉化”策略的認識。

轉化不僅是一種重要的思維策略，更是一種最基本的解題思想。所謂轉化思想方法，就是在研究和解決有關數學問題時采用某種手段將問題通過變換使之簡化，進而達到解決的一種方法。一般總是將復雜問題通過變換轉化為簡單問題；將難解的問題通過變換轉化為容易求解的問題；將未解決的問題通過變換轉化為已解決的問題。總之，轉化在數學解題中幾乎無處不在，轉化的基本功能是：生疏化成熟悉，復雜化成簡單，抽象化成直觀，含糊化成明朗。說到底，轉化的實質就是以運動變化發展的觀點，以及事物之間相互聯系、相互制約的觀點看待問題，善于對所要解決的問題進行變換轉化，使問題得以解決，這也是辯證唯物主義的基本觀點。

【教學設計的基本過程】

１.課前談話。

介紹高斯小時候的故事，怎么解答1加到100的方法。同時引導學生思考高斯怎么會想到這樣解答的，這就是我們今天要研究的解決問題中蘊含的思維策略。

2.例題教學。

下面兩個圖形的面積相等嗎？學生把這兩個圖形轉化成長方形后發現它們的面積相等，這時教師可以引導學生反思：

（1）為什么剛開始看不出這兩個圖形的面積相等，把它們轉化成長方形后一下子就能看出來呢？

（2）圖形的形狀變了，它們的面積有沒有變？

在學生反思的基礎上，教師及時提煉“正因為圖形的面積沒有變，我們由變化后這兩個圖形的面積相等推斷原來的兩個圖形面積相等”。像這樣，把不規則圖形變成規則圖形來解決問題，這就是一種非常重要的解題策略——轉化。

３.經驗回顧。

（1）回憶已學過用到轉化策略解決問題的情況。例如：推導平行四邊形的面積公式時，是把平行四邊形轉化成與它面積相等的長方形來研究的。例如：推導圓柱的體積公式時，把圓柱轉化成長方體。例如：計算小數乘法時，把小數乘法轉化成整數乘法等。

（2）在此基礎上抽象概括。那這些運用轉化策略解決問題的過程有什么相同之處？

（3）出示數學家華羅庚的名言：“神奇化易是坦道，易化神奇不足提。”把復雜的問題轉化為簡單的問題就是“神奇化易”。

４.嘗試運用。

（1）出示算式，自主解答。引導學生理解通分就是把分母不相同轉化為分母相同來解決。

（2）提供一個正方形圖，想一想：還可以把這個算式轉化為怎樣的算式計算？引導學生從空白部分入手，把這個加法算式轉化成一個減法算式也能求出它們的和。

（3）一般化延伸：如果按照規律加到■，和是多少？再加到■？如果這樣加下去，一直加到■呢？

（4）出示匈牙利著名數學家路莎·彼得說過的話：解題時，往往不對問題進行正面的攻擊，而是將它不斷變形，直至轉化為已經能夠解決的問題。

５.獨立解題。

（1）陰影部分面積占正方形面積的幾分之幾？

（2）

６.文化滲透。

（1）曹沖稱象故事里用到的轉化。

（2）大發明家愛迪生巧測燈泡容積故事里的轉化。

（3）雞兔同籠問題運用的轉化。

【對教學過程的分析及思考】

在實踐中我們感覺解決問題的策略不好教，它不像顯性的數學知識易于傳授。策略介于方法和思想之間，從策略角度“俯視”方法，它要指導學生探索解決問題的具體過程，明確每一步驟的手段、方法，這些解題方法是具有很強的可操作性的，這是策略外顯性特征的體現。策略通過方法來顯現、驗證，學生沒有具體方法的支撐，不可能真正形成策略，所以說策略是可教的。從策略角度“仰視”思想，策略往往又是引導學生站在數學思想的高度進行思考問題，思想這種高層次的思維形式只有通過策略的學習才能促進學生深入體驗，達到滲透的目的，這是策略內隱性特征的體現，所以說策略是需要悟的。

尤其是轉化策略，學生好理解，難運用。在解題時，學生知道要轉化，但轉化成什么，怎么轉化，沒有方法。這主要是轉化策略特點決定的。轉化策略的主要特點是它的靈活性和多樣性。一個數學問題，組成主要元素之間的相互依存和相互聯系的形式是可變的，其形式并非唯一，而是多種多樣的。所以，在應用數學變換的方法去解決有關數學問題時，就沒有一個統一的模式可以遵循。因此，在教學轉化策略時主要從三個方面來展開。

1.經驗積累，反思抽象，走出潛意識階段。

對學生來說，學習解決問題的策略，并不是建空中樓閣。他們在日常生活中已經積累了一些關于策略的認識，在以往解決問題的過程中也已經初步積累了解決問題的經驗，但并不一定關注到了解決問題時隱藏在“背后”支撐解決問題的策略，即學生對策略的認識處于潛意識階段。在這個階段，學生往往關注具體的問題是否得以解決，對解決問題的策略處于朦朦朧朧、似有所悟的狀況，缺乏應有的思考。學生對解決問題的策略的認識要經歷一個從模糊到清晰的過程。教學時，教師可先呈現問題，讓學生根據他們已有的知識經驗嘗試解決問題，獲得一定的經驗；再引導學生回顧解決問題的過程，思考解決問題的策略，并通過回顧性陳述交流，將解決問題的策略“化隱為顯”。

例題教學中，學生在解答問題的過程中其實已有策略的意識，解答完成后教師通過兩個問題引導學生反思解題經歷，明確轉化的基本過程：

在回憶舊知、經驗抽象這一環節時，先引導學生回顧，喚起已有經驗，再對眾多的情況進行抽象，找出不同情況背后相同的思維特點，都是“化陌生為熟悉，化繁為簡，化難為易”。

2.運用策略，明確方法，步入明朗化階段。

當學生對解決問題的策略有了初步的感受后，應引導學生在運用中步入明朗化階段。呈現新問題后，組織學生思考可以用什么策略解決問題，使學生具有明確的應用策略的意識；解決問題后，再組織學生交流解決問題的過程。這樣，隨著解決問題策略的初步應用以及對解決問題過程的回顧與反思，解決問題的策略就逐步“浮出水面”并凸現出來。

在教學例題后，立即組織學生進行嘗試練習。先出示加法算式，觀察加數的特點后，有的學生說用通分的方法。我及時提出“有沒有更簡單的算法”，學生感到有困難。這時帶領學生畫個圖，使數與形結合，學生馬上有了“1－■”的算法。在我的追問中，將問題一般化，幫助學生建立數學模型，感受轉化策略的化繁為簡。解題后，引導學生及時反思總結，提煉出：畫個圖，從反面思考（正面轉化為反面）也是轉化的重要方法。對這一題的教學處理，讓我想起了波利亞的一段話：“與其窮于應付繁瑣的教學內容和過量的題目，還不如選擇一個有意義但又不太復雜的題目，去幫助學生深入發掘題目的各個側面，使學生通過這道題目，就如同通過一道大門而進入一個嶄新的天地。”有時我們不需要費心地去尋找更多的好問題，只要利用好一個問題，就能使學生在運用策略解決這個問題的過程中，開闊思路，不斷加深對策略的感悟。

3.文化啟迪，感悟思想，走向深刻化階段。

一些數學家的名言，是數學家真實的解題感受，能激發學生的共鳴。還有一些很好的生活故事、數學故事，它們既貼近學生的生活實際，又蘊含著數學的思想方法，它們都可以成為學生數學學習的好素材。在教學中，用好這些名人名言、數學故事，不但可以引發學生的學習興趣，而且可以起到點化啟迪學生思維的作用。比如，在教學轉化策略時，學生通過例題的學習和豐富的舉例，對轉化策略的化陌生為熟悉，化繁為簡，化難為易有了初步的感知，這時不妨引入著名數學家華羅庚的話“神奇化易是坦道，易化神奇不足提”，帶著學生細細品一品，這句話正是轉化的特征“化繁為簡，化難為易”的寫照。當學生用畫個圖、從反面思考解決了■＋■＋■＋■后，適時引入匈牙利著名數學家路莎·彼得的名言“解題時，往往不對問題進行正面的攻擊，而是不斷地將它變形，直至把它轉化為已經能夠解決的問題”，這樣的名言猶如一支對轉化策略認識的催化劑，能將似乎不可教的轉化策略深深地烙印在學生的腦海，引領學生去感悟策略。但是這些名人名言或是數學故事，不是簡單地穿插在教學中，而是要用它們啟迪學生的思維。比如，曹沖稱象的故事，是啟發學生感悟整體可以轉化為部分，部分的問題解決了，整體也就可以得到解決；愛迪生巧測燈泡容積的故事，是啟發學生進一步領悟不規則的情況可以轉化為規則的情況來解決；對雞兔同籠問題解法的分析，可以幫助學生理解兩個不同的數量可以通過一定的關系轉化為同一個量。在課的最后階段，在照應課的開頭提出的問題時，讓學生認識到高斯解決這個加法問題是想辦法把加數不相同轉化成加數相同，從而使問題得以快速、巧妙地解決。

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