言近而指遠 守約而施博

【課前思考】

“比”是六年級上冊的教學內容，教過的老師都有這樣的感覺：一是“平”，二是“散”。所謂“平”，就是“比”的意義通俗易懂，平淡無奇。所謂“散”，是指本課涉及的知識點多，有比的意義、同類量的比和不同類量的比（比的類別）、比各部分的名稱、求比值、比與分數和除法的關聯，等等，顯得零碎散亂。因為“平”，不少老師教學比的意義都是采用告訴式，即讓學生在簡單地分析兩個數量的相除關系后，就直接說明“這樣的相除關系還可以說成幾比幾”。因為“散”，我們常常見到整節課老師叨嘮個不停，學生忙乎個不停，課堂撐得滿滿的。

簡約數學教學追求從繁復（或“過于簡單”）走向簡約，并從簡約抵達豐富。“比的認識”如何走向簡約呢？我首先想到了情境，從以往成功的做法中我們發現，“情境串”往往給課堂帶來整體感，“移步換景”有時只會增加負面干擾。我想到了取材，課堂起不了波瀾，在很多時候是學習素材本身單調乏味、毫無趣味所致。我又想到了學生初始學習一個數學概念時，需要用“慢鏡頭”來詮釋概念內涵，豐富體驗，促進理解，而不是簡單“告訴”。本課知識點雖多，但哪些是基礎的、必須的，哪些是領悟的、理解的，哪些是可以弱化、忽略的？我還想到了整體建構，當新舊知完美對接，“所搬的磚頭都砌成了房子”時，課堂的結構化程度就會明顯增加。我更關注數學本身的深層次解讀：比的本質到底是什么，僅僅是兩個數相除嗎？為什么在分數和除法都能表示相除關系的基礎上還要學習比？比有什么獨特的魅力？怎樣讓學生在學好數學知識的同時更加被數學所吸引，發現數學和數學學習的價值？……如此多的思考最終都只能匯聚到一點，那就是要通過課堂來實施。

【教學預設】

一、創設情境，引出“比”

師：生活中處處有數學，今天的數學課就從一則生活小故事開始。

（播放連環畫，同時配音）冬冬到王阿姨家做客，王阿姨用蜂蜜和水泡了一杯蜜茶給他喝，甜味適中，味道很好。幾天后，冬冬家來了幾位好朋友，他也想泡這樣的蜜茶給客人喝。可是怎么泡呢？他打電話給王阿姨，王阿姨說：“我是把10毫升蜂蜜加到90毫升水中的。”

思考：如果你是冬冬，聽了王阿姨的介紹，會怎樣來配制蜜茶呢？

（生活小故事容易激活學生的生活經驗，他們有可能想到和王阿姨配法相同，即用“10毫升蜂蜜配90毫升水”。老師稍作點撥：“人數增加了，是否可以直接配一大杯蜜茶？”學生的思路被打開，會聯想到類似于“20ml配180ml”“50ml配450ml”等不同情況。）

學生產生多組數據后，引導思考：蜂蜜的量在變，水的量也在變，為什么配制出的蜜茶依然“甜味”沒變呢？當他們發現蜂蜜和水的倍數關系始終沒變后，用除法算式分別求出倍數關系：90÷10=9，10÷90= 。點明：同樣表示倍數關系，出現9和 兩個不同的數是因為相比較的兩個量的順序不一樣。

在此基礎上，進一步提煉各種不同配法的相同之處（如圖）：有1份蜂蜜，就要用9份的水來搭配。教師指出：這種情況，在數學上有一種簡潔的表述方式（顯示：“水的量和蜂蜜的比是9∶1”“蜂蜜的量和水的比是1∶9”），這里的“9∶1”和“1∶9”我們叫做“比”。

（表示倍數關系的同類量的比，是“比”的一層含義。學生借助于生活常識和已有的知識基礎從多種搭配數據中提取不變的元素——倍數關系，從固定的倍數關系抽取出“份數”，再由“份數”引出配比，邏輯嚴謹，“慢鏡頭”推進，為學生直觀理解比的意義提供了強有力的支持。）

二、說理解釋，認識“比”

比較“9∶1”和“1∶9”的意思是否相同，體會比跟除法算式一樣是有比較順序的，因而，在用比來表述時一定要把話說完整。然后順接“冬冬招待客人”的情境，聯系生活來進一步理解倍數之比：

師：冬冬配好了蜜茶，準備洗水果招待朋友，一抬頭，看到水池邊洗潔精瓶上就有幾個比。（放大洗潔精瓶，如圖1）

（1）從瓶上抽取一個比（如圖2），1∶8是什么意思？

（2）看圖3，說比句，掌握特殊的比1∶1。

（3）根據2∶3，在圖4上畫出圖例。由洗潔精與水的比是2∶3，你還能再想出一個比嗎？

（4）回頭看看剛才研究的幾個比，說一說：比是什么？

（通過說、比、畫等方式讓學生對熟悉的洗潔精瓶上的比進行“解釋”，并將研究視角從“部分與部分之比”延伸到“部分與整體之比”，充分擴展學生對比的直覺感受。在此基礎上再追問“比是什么”，學生很容易得出“比就是表示倍數關系”“比也表示相除”等認識，從而實現初步的認知建構。）

三、類比聯想，拓展“比”

師：談到相除，我們并不陌生。回憶一下，在以前的學習中我們曾經解決過哪些相除的問題？

依次出示五年級課本中的“購物題材”和“行程題材”、四年級課本中的“圖形題材”并分別回顧相除關系：總價÷數量=單價，路程÷速度=時間，長方形的面積÷長

=寬，等等。寫出相應的除法算式：9.6÷3=3.2（元），53.3÷8.2=6.5（分鐘），360÷90=4（米）。

（1）將這些相除的關系用比表示。

（2）比的模樣和除法算式挺像的，找一找聯系和區別，再介紹比的各部分名稱。

（3）比表示兩個數相除，自然也就可以算出比的結果（比值），依次算一算9∶1、1∶9、9.6∶3、53.3∶8.2、360∶90的比值。

（4）聯系具體題目說一說每一個比值分別表示什么？（聯系剛才的研究，指出：比有時表示倍數關系，有時還表示一種具體的量。）

（集中研究不同類量比重在立體拓展比的意義，逐步完善學生對比的認識。讓學生回顧曾經學過的一些相除關系，既賦予過去的知識以新的內涵，也使他們對于比的意義、比的類型的理解更加完整、透徹。）

四、放眼生活，強化“比”

師：知道了兩個數的比表示兩個數相除，在日常生活中，你還見到過比嗎？

（1）辨析比賽中的“比”。

學生談到比分后，出示紅隊、藍隊比賽場景圖片和比分2∶0。從這個比中你知道了什么？它是想表示兩隊比分相除嗎？“2∶0”這個比本身就提醒了我們它不是表示兩個數相除，哪里提醒我們了？

（2）解釋廣告中的“比”。

屏幕顯示兩種常見的電視機，一種型號是16∶9，一種是4∶3，說一說每個比的意思并和相應的電視機連線。16∶9的電視機最適合人眼視角，視覺沖擊力也強，我們用它來看段視頻。（播放活力28廣告，截取廣告中出現的比：“用量少1∶4”“去污強1∶4”“時間短1∶4”“省力氣1∶4”“省水電1∶4”）任選其中的一個比，說一說具體含義。

（3）了解人體中的“比”。

出示“人頭發的壽命為3年，而睫毛的壽命只有4個月，寫出頭發壽命和睫毛壽命的比，并求出比值”。

出示“正常人步行10分鐘走了850米。寫出路程和時間的比，并算出比值”。

對比提示：一個比值表示倍數關系，一個比值表示行走的速度，是一種量。

幽默故事。（播放圖片，童聲配音）

一天，丫丫的媽媽帶她去看芭蕾舞表演，第一次看芭蕾舞表演的丫丫很好奇地問媽媽：“媽媽，這個導演真奇怪！”“為什么呢，寶貝？”“你看他都讓演員踮著腳跳舞，干嗎不找個高一點的演員呢？”

指出：踮起腳跳舞更美，其中的道理就跟比有關。老師出示未踮腳和踮起腳的演員腿長和身高，算出腿長和身高的比，求出比值。

師：踮腳后的比值0.6非常接近0.618，而人們研究發現，當一個比的比值為0.618時，這個比就稱為黃金比。所以，芭蕾舞演員踮起腳跳舞是在創造黃金比的美呢！現在，你知道媽媽為什么經常穿高跟鞋了吧，她也是在創造黃金比。

（鞏固練習再一次將學習置于生活大背景中，體會比在生活中的廣泛應用。比分2∶0的反例，進一步厘清比的意義本質。黃金比的巧妙介入，不僅使課堂生出很多趣味，而且表達了人們創造美的智慧。）

五、總結提升，深挖“比”

回顧全課，說一說收獲。

設疑：既然除法和分數都可以表示兩個數相除，那人們為什么還要創造出比呢？

學生提出自己的想法后，再次回到“冬冬招待客人”的情境——冬冬和朋友們玩起吹泡泡的游戲。制作泡泡水要用甘油、水、洗潔液、洗手液混合而成，這四樣東西怎樣搭配才能配制出好的泡泡水呢？（思考片刻后，老師對應著“甘油、水、洗潔液、洗手液”的下方出示1∶4∶2∶2）

釋疑：除法和分數都不能一下子將四種物品之間的倍數關系表示出來。多個數量之間的關系組成連比（顯示：連比），不僅兩兩之間的倍數關系很明確，幾個數量之間的關系都一目了然，威力真大。小小的一個“比”，看來還蘊藏著更豐富的內容。

（比區別于除法、分數的優勢在哪里呢？這是對比的意義和價值的深層次追問。回答這一問題，依然立足生活——泡泡水配制中的“連比”——讓學生切實感受到比的獨特功能，拓展了課堂空間，同時將學習的視線投向未來。）

【總論分析】

“比的認識”屬于概念教學課，本課和其他數學概念教學課有很多的相似性，比如，都關注數學與生活的聯系，用鮮活的生活事實（事件）來幫助學生理解概念的內涵；都注意兒童數學學習的情趣，營造生動活潑的學習情境；都強調概念的系統建構，將新知納入到已有的認知結構中去……然而，我們要說明的是本課是如何體現教學之簡約的。孟子說：“言近而指遠者，善言也。守約而施博者，善道也。”（《孟子·盡心下》）我以為，“比的認識”教學就是追求于平淡中開掘鮮活，在簡潔中蘊含深刻。限于篇幅，情境上的連貫性、素材上的少而精煉、首尾呼應的課堂結構等技術手法不再贅述，僅就教學的高點定位概述一二：

1.“言”身邊的事情，“指”概念之本質。

數學來源于生活，但數學學習不能止于生活。當我們將一個個學生熟悉的生活素材帶進課堂時，我們要思考每一個事件蘊含的數學意義和學習價值，只有在它貼切地、精準地指向概念的本質，揭示概念的內涵，促進兒童的數學理解時，它才是有“意義”的。比的本質是什么呢？僅僅是表示“相除關系”嗎？王永教授認為，“比源于度量，度量解決了物體可度量的屬性（長度、面積、體積、質量）的可比性，比卻能夠解決物體不可度量的屬性（顏色、形狀、質地等）的可比性。這就是比的本質。”（王永：《比是什么》，刊《小學教學》（數學版）2009年第6期）也就是說，比更多是為了表征隱含于數量之中的、不可度量的事物屬性。據此，我們回頭思考本課開始配制蜂蜜茶的活動，“甜度”是很難直接度量的，用“蜂蜜”和“水”的比就能比較幾種不同配法的“甜度”一樣。這和不少課堂只就一組數據（比如一個長方形的長和寬）直截了當地研究“相除”并產生比要深刻得多。同樣，洗潔液、比分、“活力28廣告”、芭蕾舞等素材無一不是孩子們身邊司空見慣的，它們或從正面強化，或從反面厘析，或打開思維空間，或帶來奇特感受，指向明，定位準，層層推進中讓學生不斷明晰比的特征和價值。

2.學習追求“被吸引”，美麗的風景在遠方。

數學課堂對學生有多大的吸引力，直接影響著學生對數學的感受和學習的長效。增強課堂吸引力的方式方法有很多，但是用數學材料中所蘊含的數學思考、數學思維方式、數學之美來吸引學生，才是教學的高境界。“比的認識”全課營造了一種強大的思維“磁場”，將學生牢牢吸引。從局部環節來看，蜂蜜茶的背后是“變”之“不變”的辯證邏輯，最熟悉的體育比分恰恰最不是相除之比的“形神反差”，普通的芭蕾舞隱藏著神奇的“黃金比”……；從整體結構來看，比是什么？比還是什么？比有什么“威力”？一連串的追問，將整節課化成了環環相扣的鏈條，學生被帶進數學學習的深度思考，驚喜不斷，欲罷不能。有專家說：驚喜，也是課堂評價的一個重要尺度。當我們的課以一種簡約的方式，教出簡單之內的豐富、平淡之中的高妙、普通之處的深刻時，課堂的驚喜就會在瞬間迸發。

當然，就數學學習而言，初次接觸某一個概念或原理時，我們往往只看到它最樸素、最簡單的形態，其功能和優勢往往要在未來的學習中才能領略到。因而，基于當下、放眼長遠也成為簡約數學教學的意蘊之一。本課結束由配制泡泡水引出“連比”，讓學生看到遠方有更美的風景在等著，正是出于這樣的價值定位。

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