直觀感性對抽象理性的言說

【課前慎思】

以往所有的“認識負數(shù)”的教學，都遵循于“初步認識”的課標要求，這本身沒有錯，但什么是“初步認識”，似乎沒有唯一正確的公認界定。我們能不能把“初步認識”從經(jīng)驗層面上的膚淺認識，提升為本質層面上的直觀認識？在我的想象中，這一如胚胎，雖然都是初級的，但卻蘊藏了日后發(fā)育為成熟器官的所有生長點。而這并非不可能：你把數(shù)學琢磨透了，你就能發(fā)現(xiàn)數(shù)學的抽象和理性可以通過直觀和感性來言說；你把人的學習心理琢磨透了，你就能發(fā)現(xiàn)大多數(shù)人的認知風格，都更為樂意通過具體的方式來理解抽象的意義。當然，具體不等同于生活經(jīng)驗，在數(shù)學內部，具體和抽象是相對而言的。這一切再次說明，用感性去闡釋理性，這樣的和諧方式的確是高明的數(shù)學教育的固有之道。

從《九章算術》中有關負數(shù)的記載算起，直到1819年李銳在《開方說》中，提出方程之根也可以是負數(shù)，中國數(shù)學家使用負數(shù)到在數(shù)學上接納負數(shù)用了1800多年，而西方數(shù)學家用了1000多年。那人類為什么接納負數(shù)比起認識自然數(shù)和分數(shù)更為曲折和艱辛？因為，0的意義在其中作祟。德國數(shù)學家斯蒂菲爾在《整數(shù)算術》中，稱從零中減去一個大于零的數(shù)得到的數(shù)“小于一無所有”，是“荒謬的數(shù)”。帕斯卡認為：從0減去4純粹是胡說。笛卡爾也認為負數(shù)是“不合理的數(shù)”。19世紀英國數(shù)學家弗倫德認為“只有那些喜歡信口開河、厭惡嚴肅思維的人”才“談論比沒有還要小的數(shù)”。如此種種，莫不說明教學要重視“0”意義的重建。而在數(shù)學內部，我們知道引入負數(shù)是為了減法封閉性的需要。上述兩個方面，便是認識負數(shù)需要把握的數(shù)學本質。新的教學，所嘗試的也就是怎樣基于學生的經(jīng)驗，用直觀的方式言說這些本質。

【教學實踐】

一、鋪墊

師：請大家看大屏幕，這是剛才國家形象宣傳片《人物篇》中的體育明星們，一共幾位？

生：5位。（板書：5）

師：現(xiàn)在呢？（去掉5位明星，只剩下合影的背景）

生：沒有人，用“0”表示。（在5后面板書0）

師：說起“0”，大家可記得我們的學生尺上也有刻度“0”，這里的“0”也表示沒有嗎？（邊說邊拿起學生尺）

生：尺上的“0”表示從這里開始測量。

師：對，在不同的情境中“0”可以表示不同的意義。有了尺，我們就可以得到體育明星們的身高數(shù)據(jù)。據(jù)傳，郎平身高1.84米，也就是184厘米（板書：1.84，184），丁俊暉身高174厘米，郭晶晶身高164厘米。三人中，如果我們把郭晶晶的身高當作標準（板書：標準），看做0，那么丁俊暉和郎平的身高可以記作多少？

生：丁俊暉的身高可以記作10，郎平的身高記作20。

師：誰能用算式來說明10、20這兩個數(shù)據(jù)是怎么來的？

生1：174-164=10，所以，丁俊暉的身高可以記作10。

生2：184-164=20，郎平的身高記作20。

（隨學生回答，板書兩道減法算式）

師：一條直線，等距離取了3個點，3個人的身高情況在這條直線上怎么表示？

生：最下面的點表示郭晶晶的身高，也就是0；往上就是丁俊暉的身高，表示10；最上面的點表示郎平的身高，表示20。（隨學生回答，在直線上相應的點旁標上0、10、20）

二、激疑

師：現(xiàn)在把丁俊暉的身高174厘米當作標準，看做0。那郎平和郭晶晶的身高怎么記？哪個能用算式來說說你是怎么想的？

生：用郎平的身高減去丁俊暉的身高，也就是184-174=10，所以郎平身高可以記為10。

師：那郭晶晶的身高呢？

生：以丁俊暉的身高為標準，用郭晶晶的164好像不能減174。

生：那可以反過來減，用174-164=10。

師：好，既然如此。我把思考后的數(shù)據(jù)這樣填入表格，如何？

生1：這樣記，郭晶晶和郎平好像一樣高。

生2：郎平是高了10厘米，而郭晶晶是矮了10厘米，表格里看不出誰高誰矮。

師：不錯，說到問題的要害了。的確，以丁俊暉的身高為標準，郎平比丁俊暉高10，而郭晶晶比丁俊暉矮10，出現(xiàn)了高、矮這樣一組相反意義的量（板書：相反意義），用我們以前學過的數(shù)表示不出那個相反的意思了。那請大家思考，怎樣記錄一眼就能清楚地看出郎平是高10厘米，而郭晶晶是矮10厘米？

三、探究

（學生在作業(yè)紙的表格里，重新記錄，尋找新的記錄方法，然后進行交流）

生1：我用文字，郎平記錄為：高10，郭晶晶記錄為：矮10。

師：一目了然，清清楚楚。

生2：我在表示郭晶晶的身高數(shù)據(jù)前，加了減號“-”，表示還少10。

師：用了符號，更為簡潔，表達得也清楚。

師：兩種方法各有各的妙處，但傳遞的信息卻是一致的，那就是我們以前學的數(shù)的確不夠用了。應該說，每一種方法都有其價值所在，不過為了交流的方便，我們總得統(tǒng)一一種方法。在歷史上，數(shù)學家們?yōu)榱吮硎鞠喾匆饬x的量，也想了很多方法，比如在數(shù)旁加不同方向的箭頭，在其中的一個數(shù)上加個圓點，等等。自20世紀初，數(shù)學家們開始在數(shù)前面加符號“+”“-”，而且這種方法一直使用至今。不過，讀法上已經(jīng)有了新的變化，分別讀作正10、負10，這里的符號分別是正號和負號，正數(shù)前的正號可以省略，負號不能省略。還記得這帶有刻度的直線嗎？容易的事情我們一起來做。現(xiàn)在刻度0表示什么？

生：表示丁俊暉的身高。

師：郎平比丁俊暉高10，哪個點表示郎平的身高？

生：中間那個點，已經(jīng)標了10。

師：那郭晶晶比丁俊暉矮10，我們可以記作-10，哪個點可以表示這個-10，也就是郭晶晶的身高？覺得這個點已經(jīng)有的話，給標出來，如果覺得還沒有畫出來，請大家在作業(yè)紙上畫出來。

（學生在作業(yè)紙上畫表示“-10”的點，然后交流）

師：大家在思考畫點的時候，老師在巡視，發(fā)現(xiàn)大家都在“0”刻度的下面找這個點，這是什么道理？

生：矮了10，這個點肯定在0刻度的下面。如果畫在上面，那就表示比丁俊暉高了。

師：那到底是0刻度下面的哪個點呢？

生：在0刻度下面的這里。（學生邊說邊比劃）

師：能用語言說清楚嗎？

生：刻度“10”到刻度“0”有多長，刻度“-10”到刻度“0”也跟著有多長，它們之間的長短是相等的。

師：精彩的回答，應該贏得掌聲。（學生鼓掌。隨之，在課件直線上標出“-10”的刻度）

師：在認識負數(shù)前，郭晶晶的身高和丁俊暉的身高比，要用164-174，覺得那是不能減的，這是某同學的想法?，F(xiàn)在回頭看，有什么新的體會嗎？

生：反過來用174-164=10，寫真的答案時，寫作“-10”。

師：哈，174-164得到的10看來是假的答案哦！大家看，如果164減164等于0，那164-174會比0多還是少？比0少多少？

生1：哦，我知道了。164-174的得數(shù)比0少，少10，就是我們剛才說的-10。

生2：164-174=-10。

師：上面我們分別以郭晶晶和丁俊暉的身高為標準，得到了一些有意思的新數(shù)。據(jù)說，姚明身高224cm，鄧亞萍身高155cm，看看表格你知道下面我們以誰的身高為標準進行比較？

生：以郎平的身高為標準，因為郎平的身高已經(jīng)記作“0”了。

師：嗯，以郎平的身高為標準進行比較，我們又會得到哪些新的數(shù)呢？請大家先在表格里填一填，然后在帶有刻度的直線上找一找這些數(shù)應該在哪里？

（學生按照要求，先填表，然后在直線上找點，最后交流，在交流中隨機板書相關內容）

四、提煉

師：剛才我們以不同的明星身高為標準，進行相互間比較，得到了這些數(shù)（手指黑板上的板書：0，5，10，30，-10，-20，-34）。在這過程中，丁俊暉的身高可一直是1７4，可為什么在不同的比較中，一會兒被記作10，一會兒被記作-10呢？

生：因為比的標準不一樣。被記作10，是拿郭晶晶的164為標準的；被記作-10，是以郎平的184為標準的。

師：那誰來說說這些正負數(shù)是怎么來的（手指板書中的數(shù)）？

生：都是和標準比出來的，比標準身高高的就是正數(shù)，比標準身高矮的就是負數(shù)。

師：好，既然如此，老師站在這里不動作為標準，如果向前走3步，記作3，那么負數(shù)就是？

生：就是向后走幾步。

師：（走到學生桌前，拿起一個學生的鉛筆盒）如果以這個鉛筆盒的價錢為標準，那么比這個價格貴的是什么數(shù)？比這個價格便宜的記作什么數(shù)？

生：比標準價格貴的就是正數(shù)，便宜的就是負數(shù)。

師：（走到另一學生前，拿起他的數(shù)學書）如果以數(shù)學書的頁數(shù)為標準，那么正數(shù)就是什么？負數(shù)又是什么？

生：正數(shù)就是比數(shù)學書多的頁數(shù)，負數(shù)就是比數(shù)學書薄的頁數(shù)。

師：是啊，先定標準，把標準看做0，比這個標準多的、貴的、厚的、重的、高的就是——

生：（齊聲）正數(shù)。

師：那負數(shù)表示——

生：比標準少的、便宜的。

生：比標準矮的、薄的、輕的。

五、運用

師：到這會兒，我們對正負數(shù)有了很好的理解，不妨來練一練。

1.先讀一讀，再說說這些數(shù)哪些是正數(shù)？哪些是負數(shù)？-5 +26 8 -160.6 +1101

師：編題的時候，有個數(shù)老師沒有寫上，就是零，它到底是正數(shù)還是負數(shù)呢？請大家發(fā)表意見。

生1：0是比的標準，把0看做正數(shù)或者負數(shù)好像都不合適。

生2：0在正數(shù)和負數(shù)中間，是正數(shù)也可以是負數(shù)，還不如兩個都不是。

師：的確如此，數(shù)學中的約定首先不能有多種解釋。也正因為如此，我們就約定0既不是正數(shù)，也不是負數(shù)，它是正負數(shù)的分界點。

2.氣溫情境中正負數(shù)的運用與歷史。

師：先定標準，再通過比較來確定數(shù)量的性質，這種思考方法大有用處。比如氣溫高低的確定。

師：（用課件配合）氣溫的變化不能用增添衣服來表示，要用量化的數(shù)據(jù)來說明。所以，500多年前就有了溫度計。但一開始沒有標準點，所以同一個溫度，不同的溫度計上的讀數(shù)不一樣。因此，確定一致公認的標準點就是關鍵。很多科學家為此作出貢獻，比如我們熟悉的牛頓把雪融化時的溫度定為0度，人的正常體溫定為12度，但此方案沒有得到認同。300多年前，瑞典物理學家安德斯·攝爾修斯提出，將水的冰點作為一個標準溫度點，把水的沸點作為另一個標準溫度點，并把冰點和沸點之間等分100份。在1948年國際計量大會上，這種方法得到認可，為紀念攝爾修斯，人們就把溫度單位定為“攝氏度”，用符號℃表示。

請大家看左邊的表格，思考和討論下面的問題：

（1）哪個城市的氣溫最低？哪個城市的氣溫最高？

（2）能把這幾個氣溫按照由冷到暖的順序排一排嗎？

（3）如果要把這幾個溫度在溫度計上表示出來，根據(jù)正數(shù)、負數(shù)、0之間的關系，應該最先確定誰的刻度？為什么？

（4）哪個溫度的刻度離0刻度最遠？哪幾個刻度和0之間的距離是相等的？

六、拓展

師：先定標準，再通過比較用正負數(shù)來表示數(shù)量，這種思考方式在數(shù)學中同樣有很好的運用。我們看下題：

某小組5位同學的體重如下表，他們的平均體重是多少？

生：（28+35+29+31+27）÷5=30，平均體重30千克。

師：能用今天領悟的方法來解決它嗎？

生：把小明的身高作為標準，那小明的體重記作0，小馬的——

師：對不起，老師打斷你的發(fā)言，大家一起來動動腦。沿著這位同學的思路，如果把小明的體重記作0，那其他同學的體重怎么記錄？用算式說清楚數(shù)據(jù)是怎么來的？

生1：小馬的體重記作7，因為35-28=7。

生2：29-28=1，小剛的體重記作1。

生3：31-28=3，小利的體重記作3。

生4：27-28=-1，小峰的體重可以記作-1。

師：以28千克為標準，相當于假設每個人的體重都是28千克，下面怎么調整呢？

生：以28千克為標準，實際上還超過了：0+7+1+3=11，剩下的“-1”，相當于少1，所以一共超過10，10÷5=2，所以5人的平均體重是30千克。

師：兩種方法相比，無疑后面的方法更為簡潔，當數(shù)據(jù)更多時，這樣做的優(yōu)越性就更為突出。同學們在課后可以設不同的千克數(shù)為標準，試著算一算。好，下課！

【課后感懷】

感性與理性，其本質是兒童與數(shù)學的另一種表達。立足于數(shù)學來說，教學需要從感性出發(fā)，逐步提升為數(shù)學的理性認識；立足于兒童來說，教學需要從理性出發(fā)，幫助兒童尋找合適的感性方式以支撐所學。這兩個方面，對于一個小學數(shù)學教師來說都是基本功。教學既不能從兒童們的生活世界起步，最后還停留于經(jīng)驗世界里；也不能認為演繹比歸納高明，抽象比感性高級，而用抽象來蹂躪兒童們的心智。數(shù)學家龐加萊說：“沒有直觀性，年輕人在數(shù)學科學的理解上就不會有一個開端；他們就不能學會熱愛它；他們將在其中看到一個空洞的字謎游戲；沒有直觀性，他們將永不會應用數(shù)學?！币斡?，兒童們只能學兒童數(shù)學，所以，“直觀地抽象”，這才是高境界。只要找到了貼切的直觀形式，那么兒童們對于理性的認識可以前進幾大步，本課例就是一個極好的例證。

數(shù)學哲學告訴我們，對于一個小學的數(shù)學教師來說，教什么遠比怎么教來得更為重要，而數(shù)學史的確是這樣的利器，它猶如望遠鏡，一只眼透過歷史的紛繁看懂怎樣從過去來到現(xiàn)在，另一只眼也就看到了教學應該怎樣超越現(xiàn)在，走向新的未來。不過與此同時，閱讀數(shù)學史并不必然地給你的課堂帶來新的思路，數(shù)學史和數(shù)學終究是兩個不同的學科領域。斟酌再三，我不得不說，思考才是課堂突破的關鍵。而什么是思考？思考應該意味著能夠從不同角度對那些習以為常、熟視無睹的現(xiàn)象作出新的解釋；意味著能夠對那些天經(jīng)地義、理所當然的事物進行審視；意味著能夠對那些似是而非、盲目偏激的做法進行自覺的反思。這樣，在閱讀與斟酌中，你就可以感受到自己原有的認識在剝離脫落，而新的東西在悄然生長。而滋生起來的新的東西，意味著你已經(jīng)站在了某個視角的前沿。

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