從數(shù)學(xué)史中探尋數(shù)學(xué)智慧

上海師范大學(xué)袁小明先生，從1971年起從事自然辯證法和科學(xué)史的研究和教學(xué)，1976年起專(zhuān)攻數(shù)學(xué)史兼及數(shù)學(xué)教育科學(xué)，1991年3月由廣西教育出版社出版《數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論》一書(shū)。作者在“序言”中寫(xiě)道：本書(shū)的寫(xiě)作歷經(jīng)整三年，其間所遇到的困難和艱辛已不是三言?xún)烧Z(yǔ)所能說(shuō)清楚的了。書(shū)中的許多章節(jié)數(shù)易其稿，全書(shū)的草稿用紙是謄清后用紙的三倍。毫不夸張地說(shuō)，書(shū)是集先生20年研究成果的嘔心瀝血之作，這一點(diǎn)也不為過(guò)。

怎么淘得此書(shū)的細(xì)節(jié)已無(wú)從想起，但有一點(diǎn)是肯定的，書(shū)買(mǎi)回后，曾經(jīng)在書(shū)櫥里躺過(guò)很長(zhǎng)一段時(shí)間。經(jīng)典的東西，時(shí)間是掩藏不住其光芒的。有意識(shí)地去精讀品味它，是從備《用字母表示數(shù)》開(kāi)始的，而一旦拿起了此書(shū)，便從此再?zèng)]有長(zhǎng)時(shí)間地放手過(guò)。

數(shù)學(xué)哲學(xué)說(shuō)，問(wèn)題不在于教學(xué)的最好方式是什么，而在于數(shù)學(xué)到底是什么……如果不正視數(shù)學(xué)的本質(zhì)問(wèn)題，便解決不了關(guān)于教學(xué)上的爭(zhēng)議。備《用字母表示數(shù)》，我們首先琢磨的也就是此：用字母表示數(shù)對(duì)學(xué)生來(lái)說(shuō)到底意味著什么？從認(rèn)識(shí)的此岸到彼岸，到底要建構(gòu)哪些新的認(rèn)識(shí)？因此，就從書(shū)櫥里翻看各種相關(guān)的書(shū)籍。袁先生的力作，闡述了從史前時(shí)代到十九世紀(jì)的數(shù)學(xué)思想史的大概輪廓和基本內(nèi)容，沒(méi)有糾結(jié)于表面的數(shù)學(xué)史實(shí)如何，而是側(cè)重于重要概念、數(shù)學(xué)方法與思想的形成和演變過(guò)程，特別是對(duì)數(shù)學(xué)思想新舊交替的數(shù)學(xué)革命給予了較大的關(guān)注。把數(shù)學(xué)思想還原到發(fā)生發(fā)展的過(guò)程中，艱澀難懂的意義也便變得生動(dòng)而又具體。原來(lái)，代數(shù)作為一門(mén)分支的發(fā)展在歷史上可以劃分為“文辭代數(shù)、縮寫(xiě)代數(shù)、符號(hào)代數(shù)”三個(gè)時(shí)期，縮寫(xiě)階段和符號(hào)階段雖然都在使用字母，但兩者間的本質(zhì)區(qū)別還是明顯的。縮寫(xiě)階段用字母表示特定的數(shù)，不具有概括性，每個(gè)字母都表示特定的意思。而符號(hào)階段對(duì)字母的使用已經(jīng)具有了一般性，是概括地表示了一類(lèi)數(shù)量，字母本身沒(méi)有任何特定的意思，只是一個(gè)符號(hào)，超越了直觀事物的具體意義。在習(xí)慣上，人們能理解：一個(gè)量不知道，那就用字母來(lái)替代它。現(xiàn)在從字母的縮寫(xiě)使用到符號(hào)概括，需要突破的也就是：一個(gè)量明明知道它是多少，但還要用字母表示它。理解了此，也就把握了字母的概括性。這樣一梳理，教學(xué)用字母表示數(shù)何去何從，也就一目了然了。

作為數(shù)學(xué)史方面的著作，《數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論》可能并不全面和權(quán)威，但它在我面前打開(kāi)了一扇窗：從數(shù)學(xué)史中探尋教學(xué)智慧。這一路走來(lái)，對(duì)數(shù)學(xué)史與數(shù)學(xué)課堂的價(jià)值有了更為真切的感悟。

對(duì)于教師，數(shù)學(xué)史是先進(jìn)數(shù)學(xué)觀念的建構(gòu)基礎(chǔ)。一個(gè)教師的潛意識(shí)中，對(duì)數(shù)學(xué)的根本看法會(huì)自覺(jué)不自覺(jué)地?fù)饺肫浣虒W(xué)行為中。讀過(guò)數(shù)學(xué)史，就明白一個(gè)數(shù)學(xué)知識(shí)最原始的部分，既不神秘也不嚴(yán)謹(jǐn)，沒(méi)有一點(diǎn)形式邏輯的印記，認(rèn)識(shí)的提升恰恰帶有濃重的按照生活事理邏輯自然衍生的痕跡。在哲學(xué)上，這可以概括為數(shù)學(xué)的兩重性，即數(shù)學(xué)內(nèi)容的形式性和數(shù)學(xué)發(fā)現(xiàn)的經(jīng)驗(yàn)性。有了這樣的認(rèn)識(shí)，就會(huì)在數(shù)學(xué)的具體源頭和抽象形式之間來(lái)回穿行，關(guān)注兒童生活經(jīng)驗(yàn)的現(xiàn)實(shí)，尋找數(shù)學(xué)知識(shí)的邏輯源頭，領(lǐng)悟其間的數(shù)學(xué)過(guò)程和思想方法，于是，組織的數(shù)學(xué)教學(xué)順應(yīng)著生活事理的邏輯走向，孩子們的學(xué)習(xí)可以像呼吸一樣自然。

對(duì)于學(xué)生，數(shù)學(xué)史是把握思維歷程的獨(dú)特視角。關(guān)注數(shù)學(xué)歷史中人類(lèi)認(rèn)識(shí)的挫折和失敗，可以據(jù)此琢磨人類(lèi)認(rèn)識(shí)提升所經(jīng)歷的階段，其中走過(guò)的彎路、碰到的認(rèn)知障礙等，為準(zhǔn)確把握學(xué)生學(xué)習(xí)的思維歷程提供了可能。這樣讀數(shù)學(xué)史，帶來(lái)的另一個(gè)好處是，數(shù)學(xué)在孩子們的心目中變得溫情起來(lái)：數(shù)學(xué)家們?cè)瓉?lái)在歷史上也遇到過(guò)失敗和挫折，數(shù)學(xué)上的點(diǎn)滴發(fā)展原來(lái)都是在迷霧中摸索前行的結(jié)果。事實(shí)上，數(shù)學(xué)史的確傳遞著這樣的信息：數(shù)學(xué)不過(guò)是人類(lèi)的一種文化活動(dòng)，人人可學(xué)，人人可做，盡管并非人人都有數(shù)學(xué)家的才能。學(xué)生能體會(huì)到這些，將會(huì)獲得頑強(qiáng)地深究問(wèn)題的勇氣，不會(huì)因?yàn)樽约旱乃妓幸粫r(shí)還模糊而產(chǎn)生學(xué)習(xí)焦慮和失敗感。這些對(duì)于學(xué)生的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)來(lái)說(shuō)，同樣是很有價(jià)值的。

對(duì)于教學(xué)內(nèi)容，數(shù)學(xué)史是厘清數(shù)學(xué)本質(zhì)的厚實(shí)背景。教學(xué)中，我們所接觸到的數(shù)學(xué)知識(shí)體系，是經(jīng)過(guò)精心組織的公理化的結(jié)果，已經(jīng)和其歷史過(guò)程割裂開(kāi)來(lái)。但一個(gè)數(shù)學(xué)概念，作為人類(lèi)千百年思維抽象的結(jié)晶，僅僅看它的最終形式化表述，普通人就很難深入把握其確切的本質(zhì)意義。而不能把握所學(xué)知識(shí)的數(shù)學(xué)本質(zhì)，那也就失去了數(shù)學(xué)學(xué)科的立足根基。抽象的數(shù)學(xué)概念只有放在歷史背景中，和抽象活動(dòng)的歷史過(guò)程結(jié)合起來(lái)，才能把握知識(shí)發(fā)生發(fā)展的歷史脈絡(luò)，也就能篩選出真正的教學(xué)重難點(diǎn)，以及捕捉到建構(gòu)數(shù)學(xué)理解的關(guān)鍵點(diǎn)，否則，可能只是在隔靴搔癢。

有歌唱得好：一句話(huà)，一輩子。好書(shū)的意義，何嘗不是如此呢？

我推薦的10本書(shū)：

１.《兒童學(xué)習(xí)心理與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)》，張興華，江蘇教育出版社

２.《PME：數(shù)學(xué)教育心理》，李士锜，華東師范大學(xué)出版社

３.《數(shù)學(xué)哲學(xué)》，林夏水，商務(wù)印書(shū)館

４.《數(shù)學(xué)哲學(xué)與數(shù)學(xué)教育哲學(xué)》，鄭毓信，江蘇教育出版社

５.《數(shù)學(xué)思想史導(dǎo)論》，袁小明，廣西教育出版社

６.《作為教育任務(wù)的數(shù)學(xué)》，弗賴(lài)登塔爾，上海教育出版社

７.《高觀點(diǎn)下的初等數(shù)學(xué)概念》，沈剛，浙江大學(xué)出版社

８.《數(shù)學(xué)教與學(xué)研究手冊(cè)》，D.A.格勞斯，上海教育出版社

９.《教育的理想與信念》、《教育的智慧與真情》、《教育的情趣與藝術(shù)》，肖川，岳麓書(shū)社

１０.《中國(guó)哲學(xué)簡(jiǎn)史》，馮友蘭，生活·讀書(shū)·新知三聯(lián)書(shū)店