讓數(shù)學(xué)理解不斷深入

數(shù)學(xué)理解以數(shù)學(xué)知識的結(jié)構(gòu)化、網(wǎng)絡(luò)化和豐富聯(lián)系為本質(zhì)，以生成性和發(fā)展性為特征，以重新組織為形成機(jī)制，以自主活動為形成條件，在數(shù)學(xué)教學(xué)中起著至關(guān)重要的作用。在面向?qū)W生、引領(lǐng)學(xué)生的數(shù)學(xué)理解不斷向前發(fā)展的教學(xué)設(shè)計中，以下幾個方面值得關(guān)注：

一、從本質(zhì)出發(fā)

教學(xué)設(shè)計的前提是教師先把數(shù)學(xué)理解好，數(shù)學(xué)理解不到位，不可能設(shè)計出好課。教師要想提高數(shù)學(xué)理解水平，就必須了解概念的背景，知道概念的邏輯意義；理解內(nèi)容所反映的思想方法，懂得知識所蘊含的科學(xué)方法、理性思維過程和價值觀資源；區(qū)分核心知識和非核心知識等等。在致力于“讓學(xué)生到哪里去”的目標(biāo)設(shè)計上，要實施“兩主”策略。

1. 設(shè)計“主問題”。問題是教學(xué)的心臟，教學(xué)過程的延伸需要問題來支撐。“主問題”是一種觸及本質(zhì)的、可以拉動整體的問題，一節(jié)課可以有一個或多個“主問題”。每一個“主問題”都能構(gòu)建起課堂的教學(xué)板塊，具有“一問抵多問”的效果。

例如，在“解決問題的策略——替換”教學(xué)中，主問題有兩個：“為什么要替換”和“怎么替換”。不少教師用“曹沖稱象”的故事來引入替換策略，但僅僅指出“曹沖稱象”中運用了替換策略是不夠的。教師還必須要求學(xué)生思考：（1）曹沖為什么要將大象替換成石頭？（2）為什么要在船舷上刻上那道線？這兩個主問題直指“替換”的實質(zhì)：替換的目的是為了化難為易，替換必須等量。教學(xué)過程中，教師要不斷設(shè)問“替換和不替換有什么不同？”“為什么一定要替換？”“替換后什么變了，什么沒變？”……這些問題一方面讓學(xué)生不斷感受替換的價值，另一方面讓學(xué)生深刻理解在變與不變的背后，遵循的是等量替換原則：雖然倍數(shù)關(guān)系替換的結(jié)果份數(shù)變了，但總量不變；相差關(guān)系替換的結(jié)果總量變了，但份數(shù)不變。

2. 設(shè)計“主環(huán)節(jié)”。實際上每節(jié)課的內(nèi)容大部分是舊知，僅有小部分是新知。因此，教學(xué)過程的展開就是要集中“火力”進(jìn)攻新知的“要塞”。這就需要教師安排概念的精致過程，對概念進(jìn)行“深加工”，讓學(xué)生充分體驗、感悟和理解。“克服以往那種在教學(xué)中零散片段的內(nèi)容和活動，聚焦于基本概念和基本結(jié)構(gòu)，以少勝多（less is more），鼓勵學(xué)生在重要的概念上花更多的時間深入透徹地理解”。

例如，在《認(rèn)識平行》一課中，畫平行線是教學(xué)的難點，要經(jīng)歷“貼、靠、移、畫”四個步驟。其中“靠”這一環(huán)節(jié)，是學(xué)生畫平行線的關(guān)卡。學(xué)生不知道“為什么要靠”“用什么靠”和“怎樣靠”。于是，我們設(shè)計了下列程序：①摸底：你準(zhǔn)備怎樣畫平行線？（想到描和移，但發(fā)現(xiàn)用移的方法容易移歪）②質(zhì)疑：怎樣移，畫出來的就一定是原直線的平行線呢？（學(xué)生感到困惑無助）③原型啟發(fā)：（觀看紗窗平移）是什么保證窗戶邊平移前后所在的直線一定互相平行？（靠著軌道滑行）④移植：能不能在畫平行線時也安裝個軌道，讓它有個依靠？怎么安裝？安裝時要注意什么？⑤定位：畫平行線要經(jīng)歷哪些步驟？（貼、靠、移、畫）。我們以“窗戶軌道”作為載體，以“靠”為核心設(shè)計主環(huán)節(jié)，把生活原型提煉成數(shù)學(xué)模型，較好地突出了重點，突破了難點。

二、與經(jīng)驗對接

數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)從學(xué)生已有的生活經(jīng)驗出發(fā)，讓他們親身經(jīng)歷將實際問題抽象成數(shù)學(xué)模型并進(jìn)行解釋與應(yīng)用的過程，進(jìn)而使學(xué)生在獲得對數(shù)學(xué)理解的同時，在思維能力、情感態(tài)度與價值觀等多方面得到進(jìn)步和發(fā)展。

1. 借助“事理”理解“數(shù)理”。數(shù)學(xué)教學(xué)活動的設(shè)計可以從學(xué)生熟悉的生活背景中甄選適切的、典型的、鮮活有趣的素材作為基本內(nèi)容，并有機(jī)地融入教學(xué)的某些環(huán)節(jié)。為數(shù)學(xué)找個原型，把常識提煉為數(shù)學(xué)，能使抽象的“數(shù)理”獲得“事理”的支持，并使具體經(jīng)驗在梳理和提煉后上升為數(shù)學(xué)模型，從而更好地促進(jìn)學(xué)生理解。

例如，在學(xué)習(xí)“135-98=135-100+2”中，學(xué)生對“多減去的要加”這一算理感到困惑。我便借助買東西時“付整找零”的生活常識，幫助學(xué)生理解算理。又如，在學(xué)習(xí)“循環(huán)小數(shù)”時，我通過創(chuàng)設(shè)“春夏秋冬”反復(fù)交替的生活原型，幫助學(xué)生理解“依次不斷，重復(fù)出現(xiàn)”循環(huán)的含義。再如，在教學(xué)“植樹問題”時，我把手指選作“模式的原型”，選它作為“教學(xué)的起點”，讓學(xué)生學(xué)唱《數(shù)手指》兒歌。

2. 借助“形象”理解“抽象”。數(shù)學(xué)理解一般要經(jīng)過“直觀感知——建立表象——抽象本質(zhì)——建立模型”的過程，其中直觀感知是建立表象的前提，表象積累是抽象本質(zhì)的向?qū)В橄蟊举|(zhì)則是構(gòu)建模型的關(guān)鍵。顯而易見，數(shù)學(xué)理解必須實現(xiàn)直觀感知與數(shù)學(xué)抽象的深度融合，這樣才有利于知識的記憶和遷移。

例如，在“倒數(shù)”的教學(xué)中，我借助線段圖，突出一個數(shù)與它的倒數(shù)相互依存的關(guān)系及真分?jǐn)?shù)、假分?jǐn)?shù)的倒數(shù)和“1”的關(guān)系。在小學(xué)階段所學(xué)習(xí)的整數(shù)、小數(shù)和分?jǐn)?shù)中，除“零”以外，其他任何數(shù)都有相應(yīng)的“倒數(shù)”，這是它們的共性。這些數(shù)因此與“1”建立了聯(lián)系，“1”是不變的，它相當(dāng)于一座永恒的橋梁，這座橋承載了幾乎所有的數(shù)。（如下圖）

出示線段圖后，我增加了讓學(xué)生想象長方形的環(huán)節(jié)，其目的就是再次借助幾何直觀原型，在線段一維直觀的基礎(chǔ)上，計入到面積二維直觀，將“1”置于不同的直觀的環(huán)境下，再一次讓學(xué)生感悟“倒數(shù)”這個概念的意義。

3. 借助“已知”理解“未知”。數(shù)學(xué)活動必須建立在學(xué)生的認(rèn)知發(fā)展水平和已有的知識經(jīng)驗基礎(chǔ)之上，教師在設(shè)計教學(xué)進(jìn)程時要整體把握教材的知識結(jié)構(gòu)，弄清新舊知識的縱向延伸和橫向聯(lián)系，抓住新舊知識的連接點，巧妙運用類比轉(zhuǎn)化，促進(jìn)知識的遷移和概念的形成。

例如，借助比、分?jǐn)?shù)和除法之間的關(guān)系，通過類比轉(zhuǎn)化將學(xué)生的思維順勢推向“比的基本性質(zhì)”的探究中去，學(xué)生在知識的類比和遷移下，形成了“比的基本性質(zhì)”的概念，有效地完成了知識的建構(gòu)。另外，學(xué)生對“比”、“分?jǐn)?shù)”和“除法”三者之間的內(nèi)在聯(lián)系也有了更為深刻的理解，既完善了自身的認(rèn)知結(jié)構(gòu)，又自然地領(lǐng)略到了數(shù)學(xué)中的統(tǒng)一美。

三、讓思維歷險

情境的設(shè)計和表現(xiàn)形式必須新穎、生動，通過困惑、矛盾、好奇等心理情境的引發(fā)，使學(xué)生產(chǎn)生一種發(fā)自內(nèi)部的求知與探索欲望，讓思維歷險，從而推動數(shù)學(xué)理解的深入。

1. 學(xué)習(xí)材料的呈現(xiàn)從靜態(tài)提供到動態(tài)展現(xiàn)。例如，《角的度量》一課的傳統(tǒng)教學(xué)程序為認(rèn)識量角器——揭示量角方法——進(jìn)行量角練習(xí)，而我一改常規(guī)套路，讓學(xué)生回到知識的原點，把學(xué)生的角色從“量角器的使用者”轉(zhuǎn)換為“量角器的制作者”，并有針對性地設(shè)計了如下一組問題任務(wù)：①直觀比較角大小的不準(zhǔn)確——引出可以用單位小角來度量角的大小；②單位小角使用的不便——引出要把單位小角合并為半圓量角工具；③半圓量角工具度量不精確——引出要把單位小角分得更細(xì)些；④細(xì)分后的半圓工具讀數(shù)不便——引出要加刻度，進(jìn)而引出兩圈刻度。

由表及里、環(huán)環(huán)相扣的動態(tài)變化的問題任務(wù)情境，給學(xué)生提供了概念產(chǎn)生的思維“情境錨”，讓學(xué)生在追蹤量角器設(shè)計者思考軌跡的同時，真正理解量角器量角的原理，掌握量角的方法。

2. 學(xué)習(xí)過程的推進(jìn)從偏重解釋到引發(fā)碰撞。例如，六年級（上冊）《確定位置》一課描述了一個物體所在的位置涉及的三個要素：觀測中心點、方向（角度）和距離。具體分解落實為環(huán)環(huán)緊扣的三個層次來制造矛盾沖突：①無法用正北方向來描述怎么辦？——引出北偏東（西），南偏東（西）四個方向；②兩個點都在北偏東20千米處，位置不同如何精確區(qū)分？——引出看其偏的角度；③同一個位置，方向和角度的描述卻不相同，這是什么原因？——引出中心點在確定位置中的重要性。學(xué)生在“同化”和“順應(yīng)”作用下，通過外部新知的刺激及其與前知的認(rèn)知沖突，進(jìn)而完成了自主建構(gòu)新知識的過程。

在教學(xué)中，很多時候教師通過解釋和復(fù)現(xiàn)步驟來傳授知識。由于缺少了學(xué)生的經(jīng)歷和體驗，因此學(xué)生的理解難以深刻。如果從完善已有知識結(jié)構(gòu)網(wǎng)絡(luò)的角度創(chuàng)設(shè)動態(tài)任務(wù)情境，制造認(rèn)知沖突，讓學(xué)生不斷遭遇一個又一個問題，面對情境學(xué)生就會產(chǎn)生一種類似本能的反應(yīng)，不由自主地“跳”出填補(bǔ)空位的內(nèi)在需要，從而就能形成有意義的學(xué)習(xí)心向。

四、使認(rèn)知結(jié)網(wǎng)

數(shù)學(xué)是一門系統(tǒng)性很強(qiáng)的學(xué)科，它的前一個知識點往往是后一個知識點的基礎(chǔ)，而后一個知識點又是前一個知識點的延伸和發(fā)展。任何新知識的學(xué)習(xí)，總是在學(xué)生原有的認(rèn)知基礎(chǔ)上進(jìn)行的。學(xué)習(xí)活動是否有效，主要看新的學(xué)習(xí)內(nèi)容能否與學(xué)習(xí)者認(rèn)知結(jié)構(gòu)中原有的知識系統(tǒng)建立實質(zhì)性的聯(lián)系。知識縱橫交錯的脈絡(luò)結(jié)構(gòu)，對學(xué)生思維的索引性、整合性、發(fā)展性有著至關(guān)重要的作用，既便于學(xué)生在適當(dāng)?shù)臅r候快速提取，又利于學(xué)生的進(jìn)一步學(xué)習(xí)。例如，下圖所示的知識網(wǎng)。

由上圖可知，數(shù)學(xué)基本概念、基本原理、基本結(jié)構(gòu)和基本思想都蘊涵著豐富的內(nèi)涵，遷移力、再生力強(qiáng)，具有固化和同化新知識的功能與作用。因此，“為遷移而教”應(yīng)該成為教師平時處理教材的基本出發(fā)點。

（作者單位：江蘇省江陰市花園實驗小學(xué)）