一類數列收斂的充分條件

[摘 要]本文分析了用于定義Euler-Mascheroni常數的數列，并在此基礎上給出了其收斂的兩個充分條件而非必要條件，這些條件較已有的條件更為簡潔。

[關鍵詞] 數列 收斂

數列 是收斂的[1]，且其的極限是Euler-Mascheroni常數C（C=0.57716…）。

數列 收斂的證明，最早由瑞士數學家Leonhard Euler給出[1]，在很多數學分析書[2][3][4]中都能看到，但其證明的過程比較復雜。

可以通過證明下面的定理，來得到一個判斷包含上述 在內的一類數列收斂情況的判定定理。

定理一：

對于數列 ，其中 的首項是a1，公差是d（d＞0）的等差數列；若f（x）在[a1，+∞] 上單調有界時，則 收斂。

證明：1）首先證明當f（x）單調遞減時，定理成立。

若f（x）單調遞減，且M為它的一個下界，則對任意數自然數n，當 時：

即： ，故數列 單調遞減。

同時， 時， ，

兩邊同時積分： ，

即

令 n=1，2，3，……n，由上述式子得到：

相加之得：

即

即 ，

故 故： 有下界。

由上知： 單調遞減且有下界，故 收斂。

2）當f（x）單調遞增時，同理可證 單調遞增有上界。

故： 收斂。

由于1），2）所以定理成立。

定理二：

對于數列 ，其中

是首項為 ，公差為 的等差數列，若 在

上單調有界時，則 收斂.

證明類似于定理一。下面，用定理來證明數列

收斂.

證明：數列 為首項是1，公差為1的等差數列，并且 在 上單調遞減有上界 ，由定理一知：

數列

收斂.

又如，在判斷以下兩數列收斂時，也可用上述方法.

1）

2）

此外 由兩部分之差構成。被減數是一個級數的前n項和，而減數是一個數列的第n項，那么當 收斂時，這兩部分的收斂性有如下關系：

推論一：在定理一條件下，級數 與數列

的斂散性相同。

推論二：當 滿足定量一條件時，級數 與數列

的斂散性相同。

如：判斷級數 與數列 的斂散性相同，而數列 發散，故 也發散。

由推論一、二可知若 滿足定理條件時，則 收斂；也就是說，定理一、二是判斷一類數列收斂的充分條件，但是其并不是必要條件，如反例所示：

分析：

前面已知證明 的收斂情況，故

收斂。

但是， 并不是單調有界的。因此，定理一、二是 收斂的充分條件而非必要條件。

參考文獻：

[1]Havil， Julian (2003). Gamma: Exploring Euler's Constant. Princeton University Press.

[2]同濟大學應用數學系.高等數學(第五版)[M].北京：高等教育出版社，2002.

[3]同濟大學應用數學系.微積分（第二版）[M].北京：高等教育出版社，2003.

[4]華東師范大學數學系.數學分析（第三版）[M].北京：高等教育出版社，2001.

作者單位：西安職業技術學院 陜西西安