論大學數學教學中數學思想方法的融入

大學數學已逐漸成為大學的基礎課程。但目前大學數學教學呈現低效和難教的狀況，學習數學有什么用及怎樣學好數學是大學生學習數學中存在的普遍問題。盡管已有不少高等數學教育改革(如教學內容、教學手段、實踐環節、評價方式等)的理論探索和實驗研究，但是關于高等數學為什么教、教什么和怎樣教的問題，仍需進一步研究和探討。本文結合教學實踐，對數學教育觀念和方法作了一些思考和探索以期對改善教學現狀有一定的借鑒意義。

一確立正確的數學觀和數學教育觀

關于“數學是什么”和“為什么學數學”這樣的問題，相當多的數學教師缺乏思考和深層次的理解。而數學觀對數學教育的影響是客觀存在的。教師的數學觀直接影響到學生的數學學習，不當的數學觀念和教育方法對于學生的思維發展的影響是負面的。為了提高數學教學質量，一個數學教師對數學科學有什么樣的認識是十分必要的。林夏水先生從本體層面指出：數學不僅是一門論證的科學，具有演繹性，而且從數學的創造過程看，需要通過觀察、類比、歸納形成猜想，所以又具有經驗性；數學研究的這種二重性是辯證統一的關系。曹之江教授提出：數學雖然具有超現實性的品格，然而決不是脫離現實的。按照辯證唯物論的觀點，它盡管有十分抽象的形式，但追本溯源，它仍源于現實，是現實的更高理性抽象與概括。鄭毓信教授從文化角度認為“數學不應簡單地被等同于數學知識的匯集，而主要地應被看成人類的一種創造性活動”。上述觀點從不同側重闡釋了數學的本質，體現了數學觀的多樣性特征，也就蘊含著數學研究和數學教育方法的多樣性。數學觀和數學教育觀指導下，教師采取相應的教學策略和方法，不僅傳授數學知識，而且要進行數學觀念的灌輸、數學思想的滲透和理性精神的普及。

二聯系文化背景，倡導理性精神

大學數學內容高度抽象，似乎與現實世界中感覺所及的直接經驗相距甚遠，而之前由于高考指揮棒的引導和數學教育的功利性，學生認為學習數學就是為了考試。要使學生對數學形成正確的認識，需要教師從文化背景和思維方式著手。

現在大學數學課程的許多內容都是在18世紀、19世紀形成的。西方數學、甚至西方現代文明最主要起源于希臘。希臘文明承認人的理性(人腦經過一系列抽象、概括、分析和綜合形成的推理、判斷)力量，而不屈從于傳統、教條的權威和宗教的神秘希臘人憑借著理性，運用演繹推理，發現宇宙的規律，而又認為宇宙規律乃是數學的規律。他們認為數學中的一切結論都應該用邏輯方法加以證明，并堅持演繹推理是數學證明中唯一的方法，從而數學在人們的頭腦中形成一個演繹的思維體系。由于數學與哲學密不可分，因此數學備受重視。比如，歐幾里得幾何的創立，它由幾條公里推導出幾百條定理，使當時已有的幾何知識以公理體系形式組成了一個有機整體，體現了一種理性精神和力量。古希臘追求真理者紛紛效仿歐幾里得的公理體系和推演過程，把理性運用于建筑、藝術、宗教、文學等各種領域之中。所以，“古希臘所代表的西方數學一直處于文化系統的上層，從而影響著整個民族文化的發展”。從古希臘時代、文藝復興時代、工業革命時代一直到現在的信息時代，數學對自然和社會的改造有著重要的作用。

反觀我國的情況，雖然我國古代有光輝的數學成就和卓越的算法思想，但只是作為一種使用的方法和技術。以經驗、直觀、歸納、類比為主要特征，缺少推演，即使在幾何圖形研究中創造出的概念(如陽馬、塹堵等)也絕不是為了邏輯演繹，而只是為了直觀的類比運用。所以，中國的數學文化傳統先天就缺乏理性因素和科學精神，沒有上升為一種哲學思考的理性規律，一直處于文化系統最下層的技術層面。而我們現今的數學教育也僅僅局限于數學學科本身的知識和技能，即使注重“邏輯訓練”，也是局限于“技術”層面而已，缺乏數學理性的發揚和深層價值觀念的發揮，沒有給予人們關于數學與自然、社會等方面的關系的比較完整的認識，只是把數學堪稱附加于社會的一種知識、技能和工具。

在這種文化背景迥異、思維方式不同的情境下，學生要接受帶有強烈西方理性主義色彩的文化，必將會導致認知心理的阻礙和認知難度。那么，讓數學文化融入我國固有的文化傳統，打破學生傳統思維方式的限制，建立理性思維，其有效途徑是以世界數學文化為背景，揭示數學背后隱藏的文化價值，重建對數學理性精神的認識。

例如，張奠宙先生以“對頂角相等”為例，指出在數學教學中要突出數學的文化價值。《幾何原本》中的命題：對頂角相等。

證明：A+C=B+C=平角

根據公理3：等量減等量，其差相等。因此，A=B這是典型的用公理進行邏輯推演的結果，展現了古希臘文明在探求真理上的理性思維。為什么中國古代數學里沒有對頂角相等這樣的數學定理呢？主要在于古希臘數學和中國數學是兩種不同文化的影響下產生的。中國古代數學崇尚實用，以服務于帝王統治需要而產生，顯然不需要“對頂角相等”這樣的問題。

了解數學的文化背景，加強邏輯推演訓練，使學生更能客觀地、邏輯地去思考，增強利用理『生思維推理獲得成功的信心。比如，極限的“ε-δ”定義。學生難理解，有些教師甚至討論要不要講。這正是變量數學的精華，是人類理性思維的巨大勝利，為什么舍棄不講呢？只要問“為什么這樣定義？”這就要追溯到古希臘窮竭法的哲學思辨、阿基米得的平衡法、求積的不可分量，到Fermat明確提出極限過程。“ε-δ”定義使人們認識到極限就是一個數，無窮小不再神秘，只是以0為變量的極限而已。從而整個微積分都放在了極限的基礎上了。極限概念的發展軌跡，反映了社會發展變革之下的數學演變，充分體現了數學家不畏強權、追求真理的科學態度和對理性的執著追求。當然，強調理性思維，并不是否定直覺的作用。歸納、類比、猜想常常是數學思想和理論的來源之一。因此，數學中要講好西方文化與我國傳統文化的交互影響，既要學習和吸收人類的一切優秀文化，同時也要繼承和發展我國傳統文化的精華，兼收并蓄，這是數學教育觀需要堅持的方向。

三貫穿數學思想方法的教學

數學思想方法是數學的“真”，即是數學的本質和精神。宏觀的數學思想方法如數學哲學思想、美學觀念、公理化方法等；一般的數學思想方法如化歸方法、函數思想、極限方法、統計方法、歸納與演繹、類比、抽象化等等。也就是說，數學思想方法是思維模式，它以一種隱性的方式存在于數學知識中。教學過程中揭示數學的本質，讓學生理解數學精神、把握思想方法、體驗數學之美，應該從以下方面著手。

(一)具備豐富的數學知識，理解數學的本質和精神，具有一定的藝術修養

我們常說：教師先有一桶水，才能給學生一杯水。教師沒有足夠的知識儲備，沒有對數學重大發現的歷史了解和掌握，不理解數學原理的核心，怎么能在傳授“灰色”的理論中給學生注入鮮活的思想？又怎么能讓學生生成思想的思考行動呢？CCTV《百家講壇》大師們的講述之所以感染聽眾，回味無窮，在于他們帶著厚重文化底蘊的思想、對美的鑒賞力以及對事物本質的探究和認識，是與聽眾在心靈和思想上的交流。他們不僅講知識，更注重講思想的源泉、生成過程和結果，是鮮活思想的不斷流淌。娓娓道來，使聽眾思想上獲得啟發、產生共鳴，獲得美的享受。數學教師以追求真、善、美的執著，以精益求精的態度，用心去做好教學，讓火熱的思考、鮮活的思想在課堂中流淌。因此，數學教師一要真正懂得數學，具有深厚扎實的數學功底；二要更新觀念，更新知識，學習有關數學哲學、數學方法論、數學史和數學文化的課程；三要搞科研，用自己發現的經歷，去講授數學的精神、思想和方法，更生動、更具說服力。

(二)在解題實踐中提煉思想方法

數學思想方法的領悟和運用不是一下就能達到的，需要教師有意識的不斷滲透和強化。比如，面對一個數學問題，引導學生首先判斷問題的類型，它所問的數學實質是什么？是優化、證明等哪一類？這些大方向的判斷就是數學思想方法的運用。再比如掌握一些基本方法：如逼近法，當不能直接得到問題的解答時，先滿足部分條件，在滿足更多條件……，逐步接近最后解答。還有微元法，把復雜問題拆成簡單問題等。鍛煉學生多問個“為什么”，不再為解題而解題，或應付考試。當他離開學校之后，數學公式、定理或許很快會忘記，但是銘刻于大腦的數學思想方法將長期在他的工作和生活中發揮作用。

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