Markov過程在股票市場中的應用

摘要：本文以上證指數漲跌幅度的歷史數據為例，運用Markov過程理論，對股價綜合指數的漲跌幅度進行狀態分類，并對股票市場運行的周期進行分析。

關鍵詞：Markov過程 股價綜合指數

股價的運動受到許多因素的影響，如宏觀基本面的變化、短期消息面的刺激，隨著市場供應關系的轉換而上升或下跌，呈現隨機過程的特征。分析股價指數在一定時期的運行規律，尋找其運行的特征和漲跌的時間周期，對其

后的發展做出短期預測，對于投資者具有極其重要的意義。

一、Markov過程

1. 數學模型的建立

設Xn為第n個交易日股價綜合指數對比前一個交易日的收盤指數漲跌幅度的百分數，假設股價指數在某一日的漲跌僅與前一日的收盤指數有關，而與股價指數過去的運行態勢無關，即該過程具有Markov性。時間參數 以一個交易日為單位，此時{Xn，n=0，1…}為離散時間Markov鏈。

當Xn＜-1時，對應的狀態為1，即下跌；-1＜Xn＜1時，對應的狀態為2，即小幅振蕩調整；Xn＞1時，對應的狀態為3，即上漲。給定Xn在狀態i時Xn+1處于狀態j的條件概率P{Xn+1=j｜Xn=i}稱作是Markov鏈的一步轉移概率，記作Pijn，n+1。當這一概率與n無關時稱該Markov鏈有平穩轉移概率，并記之為Pij，其轉移概率矩陣P為

P=P■P■P■P■P■P■P■P■P■

具有如下性質

（1）pij＞0（i，j=1，2，3 ） （2）■p■=1 （i=1，2，3）

轉移概率矩陣P描述了由狀態i出發，下一時刻轉移到狀態j的概率分布狀況，可對股價綜合指數未來的漲跌做出短期預測。

2. Markov鏈的周期性

設由狀態i出發首次到達狀態j的時間為，而由狀態i出發下一時刻到達狀態j的一步轉移概率為Pik。當K=j時，Nij=1；當K≠j時，到達狀態平均所需的時間為Nij，建立方程組 N■=1+■P■·N■（i，j=1，2，3） （1）

求解方程組可得由狀態1（下跌）到狀態3（上漲）所需的平均天數N13和由狀態3（上漲）到狀態1（下跌）平均所需的天數N31，N13+N31， + 給出了由下跌到上漲，再由上漲到下跌平均所需時間，即系統運行的周期。

二、實例分析

根據上證指數2010年12月31日至2011年5月19日91個交易日收盤指數每日的漲跌幅度數據資料，得轉移概率矩陣

p=0.080.770.150.150.700.150.190.560.25

利用周期性的分析及公式（1）可得方程組①

N13=1+0.08N13+0.747N23

N23=1+0.15N13+0.70N23

同理解方程組②

N31=1+0.56N21+0.25N31

N21=1+0.70N21+0.15N31

即股價綜合指數完成一個周期平均需12.76個交易日。

通過以上分析，可得以下結論

(1)上海股票市場在2010年底到2011年5月份91個交易日，狀態共轉移了90次，進入狀態2的次數最多，為62次，進入其他狀態的次數為15（狀態3）、13次（狀態1），說明股票市場在大部分時間內為小幅振蕩調整的狀況。

(2)從轉移矩陣中可看出，無論從哪個狀態出發經一步轉移后，進入狀態2（小幅振蕩調整）的概率較大，而進入狀態3（上漲）、狀態1（下跌）的概率相對較小。

(3)根據方程組①②可知，由跌到漲平均需6.67個交易日，由漲到跌平均需6.09個交易日，說明上證指數下跌的速度略快于上升的速度。

(4)上證指數由狀態1（下跌）到狀態3（上漲），再由狀態3（上漲）到狀態1（下跌）平均需12.76個交易日，說明在該段時間股票市場波動較為平穩。

參考文獻：

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