本構模型對復合材料中X射線熱擊波數值模擬結果的影響＊

黃 霞，湯文輝，蔣邦海

（國防科技大學理學院技術物理研究所，湖南 長沙 410073）

近年來，復合材料以低密度、高模量、良好的隔熱和防熱性能廣泛應用于航空、航天等領域，成為國防工業部門的一種重要工業材料。例如導彈的頭錐和蒙皮，航天飛機的鼻錐、機翼和尾翼等關鍵部件均采用碳纖維增強復合材料。在航空、航天等領域中，航天器的外部環境非常復雜，可能面臨高速碰撞、X射線輻照等動載荷環境。在脈沖X射線輻照下，大量射線能量迅速沉積在材料表層，由外向內迅速下降，材料內有很大的溫度、壓力梯度。另外，受照材料由于比內能的快速增大而發生絕熱膨脹，當輻照量足夠大時，迎光面的物質會發生汽化，汽化了的物質向外噴射，并對材料產生反沖作用。這些因素的共同作用將在材料內部形成非定常的應力波，即X射線熱擊波［1］。隨著復合材料在導彈或航天器中的大量應用，了解X射線脈沖輻照引起的熱擊波在復合材料中的傳播規律，并正確地評估它對熱激波的防護能力就顯得越發重要。但長期以來很多這方面的研究工作都是針對金屬材料的，或將各向異性材料近似利用各向同性理想彈塑性本構模型進行數值模擬計算。20世紀90年代以來，有關研究結果表明，利用各向同性本構模型進行數值模擬得到的金屬中X射線熱擊波應力峰值衰減曲線與實驗符合較好，而在復合材料中則是實驗得到的峰值衰減比數值模擬快，實驗獲得的應力峰值比數值模擬低，這是數值模擬時把復合材料用各向同性本構模型近似所帶來的偏差［2］。

實驗表明各向異性和應變率相關性是大多數復合材料的力學特性，那么他們不可避免地將對X射線熱擊波的傳播規律帶來影響，因此數值模擬中使用的本構模型應該計及這些特征。本文中，以碳酚醛中的一維X射線熱擊波數值模擬為例，定量分析修正的各向異性PUFF物態方程、率相關的Tsai－Hill屈服準則對熱擊波傳播規律的影響，試圖證明利用各向異性動態本構模型獲得的結果，比各向同性理想彈塑性、各向異性理想彈塑性本構模型，與實驗結果更接近。

1 本構模型

1.1 修正的各向異性PUFF物態方程

在一維應變的假設條件下，εy＝εz＝εxy＝εxz＝εyz＝0，σxy＝σxz＝σyz＝0，各向異性材料彈性階段應力與應變之間的關系可用廣義 Hooke定律表示為σx＝cxxεx，σy＝cxyεx，σz＝cxzεx，其中cij為與彈性模量、泊松比和剪切模量相關的剛度矩陣系數。

在大多數流體動力學程序中，將容變律和畸變律解耦處理，反映在算法上就是將應力分解為平均應力和偏應力，即σij＝pδij＋sij，并分別利用物態方程和本構關系來計算。若定義壓為正，彈性階段平均應力可表示為

由于式（1）的線性關系只在壓力很低的情況下才成立，通常引入物態方程來計算平均應力，以考慮材料體積變化的非線性特征。對于X射線輻照問題，材料狀態比較復雜，要求所使用的物態方程既要能描述溫度相對較低的沖擊壓縮狀態，又要能處理X射線能量沉積和流體動力學相互耦合所形成的狀態。即在受光面附近，在能量沉積比流體動力學過程快得多時，材料處于高溫高壓，但密度接近于初始值的狀態，以及當流體動力學稀疏發展后，體積膨脹的高溫低密度狀態［3－4］。通常采用PUFF物態方程來描述，在壓縮區

在膨脹區

式中：p是壓力，v是比體積，ρ＝1／v為密度，e是物質的比內能，Γ0是Grüneisen系數，γ為比熱比，es為升華能，N＝／（Γ0es）。式（2）為Grüneisen物態方程，與式（3）在v＝v0處連續，式（3）能很好地從固態區過渡到氣態區［5］。

將式（2）～（3）展開成關于μ的多項式級數形式，在壓縮區

在膨脹區

式中：μ＝（v0－v）／v，表示體積的相對變化，近似等于體應變θ＝εx；c0、s為沖擊波速關系式中根據實驗擬合的材料常數。

式（4）～（5）是適用于各向同性材料的物態方程的級數形式，沒有反映材料的各向異性特點。結合式（1）可得到彈性階段體現材料各向異性特征的修正物態方程［6－7］，在壓縮區

在膨脹區

式中：＝＝（cxx＋cxy＋cxz）／3，反映材料的各向異性，稱為等效體積模量。在各向同性的極限條件下，和退化為體積模量K＝，物態方程退化為經典的PUFF物態方程。

在塑性變形階段，變形依賴于歷史，應力應變關系用增量形式表示，則平均應力增量可表示為

同樣，將式（8）引入到式（4）～（5）中，可得到塑性階段體現材料各向異性特征的修正物態方程的增量形式，在壓縮區

在膨脹區

至此，給出了適用于各向異性材料的修正PUFF物態方程，據此物態方程計算得到的平均應力既考慮了體積變化的非線性特征，又體現了材料的各向異性性能。

1.2 率相關的Tsai－Hill屈服準則

屈服準則是判斷材料處于彈性階段還是塑性階段的準則，是材料本構模型的重要組成部分，在數值模擬中，屈服準則的選取對材料塑性階段的應力計算具有很大影響。對于各向異性材料，常用的屈服準則有Tsai－Hill準則和Tsai－Wu準則，由于Tsai－Hill準則在參數確定上比較簡單，因而應用得更為廣泛。在一維應變條件下Tsai－Hill準則基本形式為

由于大多數各向異性材料都具有明顯的應變率相關性特點，引入率相關的Tsai－Hill屈服準則［8－9］，屈服強度依賴于應變率

式中：R（˙ε）為應變率因子，β為實驗獲得的參數為參考應變率，并且認為應變率˙ε為等效塑性應變率。則率相關的Tsai－Hill屈服準則可寫為－1＝0，得到率分離形式的屈服準則為

2 算例及分析

以碳酚醛靶中的一維應變熱擊波為例，討論本構模型對熱擊波數值模擬結果的影響。碳酚醛（簡稱TF）是一種正交各向異性復合材料，3個材料主軸方向分別為纖維布經向、緯向和纖維鋪層厚度方向。假設初始時纖維布經向沿x方向，緯向沿y方向，鋪層厚度沿z方向，材料x方向的尺寸為1cm，其他2個方向的尺寸為無限大，X射線平行于x方向入射。能譜為1keV的黑體譜，能通量為200J／cm2、時間譜為0.1μs的矩形譜。數值模擬采用3種本構模型，即各向同性理想彈塑性本構模型1、各向異性理想彈塑性本構模型2和各向異性動態彈塑性本構模型3。模型1采用傳統的PUFF物態方程與Mises屈服準則，模型2采用修正的各向異性PUFF物態方程與率無關的Tsai－Hill屈服準則，模型3采用修正的各向異性PUFF物態方程和率相關的Tsai－Hill屈服準則。3種模型均采用相同的物態方程參數，TF材料物態方程參數分別為：ρ0＝1.38g／cm3，c0＝2.35km／s，s＝1.66，Γ0＝2.32，γ＝1.4，es＝5.15kJ／g，本構參數如表1所示。數值模擬所用程序采用顯式有限元方法編寫，網格單元的空間步長為10μm，時間步長為0.1ns。

表1 TF材料本構參數Table 1Constitutive parameters of TF material

圖1 不同本構模型的σx應力剖面圖Fig.1The profiles ofσxby different constitutive models

圖2 應力峰值隨靶厚的衰減曲線Fig.2Attenuation curves of peak stress versus thickness of target

圖3 應力峰值的相對差值隨靶厚的變化曲線Fig.3Relative error curves of peak stress versus thickness of target

在材料的X射線輻照問題中，熱擊波應力峰值及其衰減趨勢是衡量材料抗輻照能力好壞的重要指標。材料x方向主應力σx的剖面圖，如圖1所示；材料中x方向熱擊波峰值隨輻照深度的衰減曲線，如圖2所示；應力峰值的相對差值隨靶厚的變化曲線，如圖3所示，其中σi，m表示根據第i種模型模擬得到的應力峰值；坐標分別為3.75和6.25mm的2個單元的σx應力歷史曲線，如圖4所示。

從圖1中可以看出，在輻照結束前，能量沉積的速度遠快于流體動力學過程，材料處于高溫高壓但密度接近于初始值的狀態，還來不及發生變形，應力主要由能量沉積控制，根據不同模型計算得到的σx峰值比較接近；輻照結束后，隨著熱擊波在靶中的傳播，應力值迅速衰減，各向異性強度效應顯現，由于模型2中的等效體積模量比模型1中的各向同性體積模量小，使得σx峰值較小；考慮了應變率強化效應后，σx峰值在率相關屈服準則的作用下進一步減小。

從圖2～3中可以進一步直觀地看出，相比各向同性理想彈塑性本構模型，根據各向異性動態模型模擬得到的熱擊波峰值較小，衰減速度更快，且這種差距隨熱擊波的傳播深度總體上呈逐漸增大的趨勢。根據圖4可知，3.75mm處模型3的應力峰值比模型1的峰值小24.5%，而6.25mm處相應的峰值則小34.1%。

圖4 不同模型定點位置的σx應力歷史曲線Fig.4The history curves ofσxat fixed positions by different constitutive models

通過以上對數值模擬結果的細致比較分析可知，TF材料的各向異性和應變率相關性對X射線熱擊波的傳播規律帶來的影響比較顯著。20世紀90年代以來，有關研究結果發現，對于復合材料利用各向同性本構模型模擬得到的應力峰值比實驗值高，峰值衰減比實驗慢，而我們采用各向異性動態本構模型計算得到的X射線熱擊波應力峰值的衰減規律在定性上和實驗結果比較一致。

此外，我們還改變數值模擬條件，分別對X射線譜為3keV的黑體譜，能通量為100、400J／cm2，沿TF材料厚度方向、纖維緯向輻照時材料中的X射線熱擊波進行了數值模擬，均得到了上述結論，表明該結論具有普適性。

3 結 論

以TF材料中的一維X射線熱擊波數值模擬為例，對材料的各向異性、率相關性給X射線熱擊波傳播規律帶來的影響進行了定量分析。數值模擬結果表明：與各向同性、各向異性理想彈塑性本構模型相比，利用率相關的各向異性動態彈塑性本構模型獲得的熱擊波峰值較小、峰值衰減較快，與相關實驗結果更接近。

［1］湯文輝，張若棋，趙國民.脈沖 X射線誘導的熱擊波［J］.高壓物理學報，1995，9（2）：107－110.

TANG Wen－hui，ZHANG Ruo－qi，ZHAO Guo－min.Thermal shock wave induced by impulsive X－ray［J］.Chinese Journal of High Pressure Physics，1995，9（2）：107－110.

［2］蔣邦海.正交織物復合材料的動態本構模型及熱激波研究［D］.長沙：國防科技大學，2006.

［3］張若棋，湯文輝，趙國民.影響 X光熱激波數值模擬結果的若干因素［J］.高壓物理學報，1998，12（3）：161－167.

ZHANG Ruo－qi，TANG Wen－hui，ZHAO Guo－min.Several influential factors on numerical simulated results for the X－ray thermal shock wave［J］.Chinese Journal of High Pressure Physics，1998，12（3）：161－167.

［4］張若棋，湯文輝，趙國民.X射線熱擊波的數值計算［J］.抗核加固，1993，10（1）：15－23.

［5］周南，喬登江.脈沖束與輻照動力學［M］.北京：國防工業出版社，2002：207－210.

［6］Anderson C E，Cox P A，Johnson G R，et al.A constitutive formulation for anisotropic materials suitable for wave propagation computer programsⅡ［J］.Computational Mechanics，1994，15：201－223.

［7］Lukyanov A A.An equation of state for anisotropic solids under shock loading［J］.The European Physical Journal B，2008，64：159－164.

［8］蔣邦海，張若棋.一種碳纖維織物增強復合材料應變率相關的各向異性強度準則［J］.爆炸與沖擊，2006，6（4）：333－338.

JIANG Bang－hai，ZHANG Ruo－qi.Strain rate－dependent Tsai－Hill strength criteria for a carbon fiber woven reinforced composite［J］.Explosion and Shock Waves，2006，26（4）：333－338.

［9］李永池，譚福利，姚磊，等.含損傷材料的熱粘塑性本構關系及其應用［J］.爆炸與沖擊，2004，24（4）：289－298.

LI Yong－chi，TAN Fu－li，YAO Lei，et al.Thermo－viscoplastic constitutive relation of damaged materials with application［J］.Explosion and Shock Waves，2004，24（4）：289－298.