基于鍵圖的交流感應電動機建模與研究

陳煥明，劉衛國，肖 喆

(西北工業大學，陜西西安710072)

0 引 言

交流感應電動機的能量轉換是通過旋轉磁場來進行的。研究交流感應電動機動態特性的實質就是研究旋轉磁場的變化過程及其相互作用，目前大都采用數值法，因其涉及電、磁、機械以及內能等多種能量領域，使得其研究比較困難。

本文采用鍵圖理論來研究交流感應電動機的磁場及其動態特性。鍵圖基本理論是美國麻省理工學院的H.Paynter教授在運用方塊圖和信號流圖深入研究伺服控制和仿真問題時提出的一種全新的鍵圖表示法，用以研究各個工程領域的系統動態性能。它有四種狀態變量:勢、流、位移和動量;九種鍵圖元:阻性元、容性元、慣性元、勢源、流源、變換器、回轉器、0－結和1－結，以及相應的鍵圖規則。鍵圖理論從功率和能量的觀點來反映系統中信號的流向、功率的流向以及控制信號的因果關系，后經D.C.Karnopp和 R.C.Rosenberg兩位教授的進一步完善，目前已成為一門新型的科學，廣泛應用于多能域的復合系統研究。

電機的鍵圖研究始于1980年，Sahm和Karnopp等人在研究電機和運動控制及仿真時，根據電機的動態方程，按照鍵圖理論初步建立了一個電機鍵圖模型。Ghosh和Bhadra等人在1993年對Sahm的電機鍵圖模型進行了更深一步研究，用慣性元來描述電機的旋轉磁場。M.D.Bryant和 J.L.Stein等人在其基礎上又進行了完善和推廣，使鍵圖理論更加廣泛應用于電磁領域。國內許多專家和學者也在開展鍵圖研究，但對于電機的鍵圖研究剛剛開始起步。

1 電機鍵圖模型

交流電機的基本類型及其穩態運行理論在20世紀初已基本建立，隨著計算機的發展，交流電機理論又進入一個新的時期，可以進行電機的動態和電磁瞬態分析，但電機旋轉磁場的研究仍是難點。旋轉磁場是電機進行能量轉換和傳遞的基礎。當電機的定子線圈通以三相對稱正弦波電流時，在電機定子線圈中就會產生在空間上按正弦分布的旋轉磁動勢，形成旋轉磁場。該磁場在其運動過程中切割轉子導體，轉子導體中就會產生相應的感應電動勢，形成感生電流。感生電流的方向是隨著旋轉磁場的旋轉而變化。載流導體在磁場中受力，從而產生運動，使轉子沿著旋轉磁場方向旋轉。這樣三相交流感應電動機就將電能通過旋轉磁場的作用而轉換成機械能輸出，能量的轉換和傳遞就是通過場來實現的。這個實現電機功率輸入與輸出之間關系的旋轉磁場，在數學上用磁鏈矩陣方程來描述。坐標系上的磁鏈矩陣方程如下:

Ghosh和Bhadra等人根據α、β坐標系上的電壓方程、電磁轉矩方程和機械運動方程，建立了電機鍵圖模型，而旋轉磁場是根據磁鏈矩陣方程采用鍵圖理論中的多通口慣性I場來描述。如圖1所示。圖中 Rαs和 Rβs表示定子線圈等效電阻，Rαr和Rβr表示轉子線圈等效電阻。

圖1 Ghosh電機鍵圖模型

對于鼠籠式異步電動機，根據Hancock研究結果，轉子在旋轉過程中，轉子導條中的電流特性如下:

轉子上的電磁轉矩如下:

式中:irk代表轉子上第k根導條中的電流，k=1，2，3，…，n;θ為機械角位移;n為轉子導條數;p為電機極對數。

圖2 鼠籠式異步電動機鍵圖模型

根據式(3)和式(4)，西北工業大學在Ghosh等人的電機鍵圖模型基礎上對鼠籠式異步電動機做了進一步的研究，建立了轉子鍵圖模型及鼠籠式異步電機鍵圖模型，如圖2所示。圖中R表示定子線圈電阻，Rr表示轉子導條電阻。因電機的三相定子繞組和轉子導條都是對稱分布設計的，故定子各繞組的電阻相等，轉子導條的電阻也相等。

2 電機鍵圖模型修正

圖2中定子線圈和轉子導條之間的磁場的相互作用，是通過兩通口慣性元件I場來表示的，但其物理意義不明確。鍵圖理論將涉及能量的多種物理參量統一歸納為四種狀態變量，即勢、流、位移和動量，對于電、機械和液壓等而言，這四種狀態變量物理意義很明確。而對于磁場而言，一般將磁路中的磁阻看作類似于電阻，把磁通看作類似于電流，而磁勢類似于電動勢。但根據其物理特性而言，電阻都是消耗功率的，對于一個呈現磁阻的線圈卻貯存能量。事實上，在鍵圖理論中磁場的廣義流不是磁通，而是磁通的時間變化率。

對圖2的鍵圖模型按照C場的鍵圖法則進行修正，圖中的兩通口慣性I場應該用兩通口容性元件C場來表示。這樣應用鍵圖中的變換器和回轉器及其相應法則，相應地不改變其因果關系，可將兩通口慣性場I∶L變換成GY∶n－C∶P，變換器TF∶m－GY∶n變換成GT∶n－TF∶1/m。調整回轉器GY的位置后，回轉器的模數n就表示為定子線圈的有效匝數或轉子線圈的有效匝數，而P表示磁路的磁導。這樣，電機鍵圖模型中α軸和β軸上的兩通口慣性I場即用兩通口容性C場來代替。用C場來表示的交流感應電動機鍵圖模型如圖3所示。

圖3 修正后的交流感應電動機鍵圖模型

3 仿真與分析

3.1 模型仿真參數

對于修正后的交流感應電動機鍵圖模型進行仿真。模型仿真參數如下:三相正弦波電壓，其幅值Vm=220 V，頻率 f=50 Hz，相位差 θ=120°;定子線圈各相總電阻Rs=0.078 8 Ω;定子線圈各相匝數ns=100;轉子導條數n=5或n=9;轉子各導條電阻Rr=0.040 8 Ω;轉子各導條匝數nr=1;定子線圈自感 Ls=0.015 3 H;轉子自感 Lr=0.015 9 H;定、轉子等效繞組間的互感Lm=0.014 7 H;轉動慣量J=0.4 kg·m2;機械旋轉阻力系數 RB=0.15 N·s/m;電機極對數p=2。采用變步長四階龍格－庫塔法進行仿真，仿真步長10－6s，仿真時間為2 s。

3.2 仿真結果分析

圖4是電機鍵圖模型修正前后的轉速曲線的比較，圖5是電機起動階段轉速曲線的放大圖。從圖中可以看出，兩模型的轉速曲線比較吻合，但兩轉速曲線在速度上升階段和在振蕩衰減階段有差異。修正后的模型中考慮到了電機定子線圈的匝數，模型物理意義更加明確。通過兩模型的轉速曲線比較，說明本文用兩通口容性C場所建立的三相交流感應電動機鍵圖模型是正確的。

圖6是電機轉速曲線和定子線圈電流曲線，圖7是電機轉速曲線和轉子導條電流曲線。轉子在隨旋轉磁場旋轉的過程中，轉子導條在旋轉磁場中的相對位置不同，其感應電流方向也不一樣，感應電流的大小及方向是隨著轉子的旋轉而交替變化的，轉子上相鄰導條之間的感應電流相位差為2π/5。

在模型建立過程中，為研究方便，暫取轉子導條數n=5。相應地選取轉子導條數n=9進行建模和仿真，電機轉速曲線和定子線圈電流曲線如圖8所示。對于轉子導條數n=9的電機轉速曲線和對于轉子導條數n=5的電機轉速曲線進行對比分析，兩轉速曲線基本一致。而電機定子線圈電流曲線的波動有區別，轉子導條數越多，定子線圈電流曲線的波動越小。轉子上各導條中的電流曲線如圖9所示，圖10是各導條中電流曲線的放大圖。通過比較圖7和圖9可以看出，轉子上各導條中的電流峰值下降比較大，轉子導條數越多，轉子導條中電流就越小，相鄰導條之間的感應電流相位差為2π/9。

4 結 語

交流感應電動機中的電、磁與機械能之間的相互轉換是通過場來進行的，場是能量交換的基礎。本文在鼠籠式異步電動機鍵圖模型基礎上，應用鍵圖理論中有關場的理論，詳細分析和研究了交流感應電動機鍵圖模型，并對其進行了修正，用容性C場代替慣性I場建立起了交流感應電動機的鍵圖模型，這樣使得電機定子線圈匝數等物理參量在鍵圖模型中明確地顯示出來，模型物理意義更加明確。通過仿真對比兩模型的速度曲線，說明本文基于容性C場建立的交流感應電動機鍵圖模型是正確的。同時，本文也進一步分析了轉子導條數量對其動態特性的影響。轉子導條數量越多，定子線圈電流的波動越小，轉子導條中的電流也越小，這有利于降低轉子因導條電流而產生的熱效應，為交流感應電動機的優化設計提供參考。但轉子導條數的增加，也增加了電機轉子的物理尺寸，最佳轉子導條數有待于更進一步的研究。

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