在地理教學中“巧用”數學方法

廣東省汕尾市城區田家炳中學（516600） 倪步平

高中地理教學對學生綜合素質要求不斷提高，而地理學科與其他學科的知識聯系緊密，在地理教學中“活用”和“巧用”跨學科知識，能夠使教學效果更加良好，使教學過程更加簡潔。在高中地理教學中，“巧用”數學方法可為地理教學相關計算提供可靠的“捷徑”。

一、在比例尺的相關計算中巧用數學方法

比例尺是高中地理教學的重要內容，而對于比例尺的基礎知識及其基本運算，是地理教學的基本要求，但是這部分知識學生感到抽象和難于理解。

【例1】在下列表格的①—⑥處填上恰當的內容：

序號 地圖圖幅 實地范圍 比例尺 內容詳略A相同 ① 越大 ②B③相同 ④ 詳細C ⑤越大 相同 ⑥

【例2】如果將一幅地圖的比例尺擴大到原圖的2倍，則擴大后的地圖是原圖的( )倍。

A. 1倍 B. 2倍 C. 4倍 D. 8倍

對于上面2例有關比例尺的知識，如果用常規方法對學生講述，學生難于理解，并且容易導致學生死記硬背，教學效果很差。

在教學中如果從比例尺的本質入手，用數學方法求解，列出比例尺的數學表達式，學生就容易理解比例尺與圖上距離、實地距離三者間的關系，從而得出相關的結論。根據比例尺定義：比例尺是圖上距離與實地距離的比值，即：

在例1的A題組中，依據題意：地圖圖幅相同，即圖上距離相同(長和寬都相同)，比例尺越大，要求比較實地范圍的大小(即實地的長和寬)和地圖內容的詳略程度。根據比例尺的數學表達式，將其簡化為分母、分子與商三者之間的數量關系，就十分簡潔明了，即分子相同，商越大，則分母的值越小，從而快速得到實地范圍越小。再依據比例尺與地圖內容詳略的關系，比例尺越大，內容越詳細，比例尺越小，內容越簡略，比例尺相同，內容詳略相同。B、C題組解法完全相同，即可得到：①—越小 ②—詳細 ③—越大 ④—越大 ⑤—越大⑥—相同。

在例2中，要注意地圖是在圖上占據一定長度和寬度的面積，而比例尺是指長或寬方向上1cm的線段所代表的實地距離。根據題意，擴大后的地圖與原圖的實地范圍相同。依據比例尺的數學表達式，比例尺擴大2倍，則圖上距離為原圖的2倍，即長和寬分別為原圖的2倍，所以擴大后地圖圖幅(2X?2Y)為原圖(X?Y)的4倍，如右圖1所示，故答案為C。

圖1

二、在百分率、比重等相關計算中巧用數學方法

在教學中，要求學生根據提供的信息來回答問題。在所給的信息中，以“某事物的比重變化”或“百分率的變化”來回答問題占有很大的比重。

【例3】讀圖2“山西省能源轉換”圖，解釋2000年至2002年山西省能源轉換率下降的原因？

圖2 山西省能源轉換

很多同學在回答該問題時跟著感覺走，如“能源開采量下降”、“煤炭的轉化量下降”等，不能準確回答其原因。由圖可知自1952年至2002年，山西省發電量不斷增加，焦炭的轉化量也不斷增加，但2000至2002年的轉換率為什么反而下降？我們寫出能源轉換率的數學表達式，則有：

在數學表達式中發電量和焦炭量增加，即分子增大，而能源轉換率下降，即商減小，得到分母增加量一定大于分子增加量，即煤炭開采總量的增長幅度大于能源轉換量的增長幅度，故2000至2002年的轉換率反而下降。

【例4】讀“2002—2007年我國汽車產量走勢圖”(圖3)，可知我國汽車產量變化特點是（ ）。

圖3

（注：同比增速=（本年的某個指標的值-去年同期這個指標的值）/去年同期這個指標的值*100%；環比增長速度=（本期數一上期數）／上期數*100%）

A. 汽車產量增長速度持續上升

B. 汽車產量持續增加

C. 2002年以來，每年增加的汽車產量數持續增加

D. 汽車產量的同比增長率仍低于我國人口增長率

本題首先需要理解產量增長速度、產量增加、產量數增加、同比增長率等相關概念，再分別列出其數學表達式，就可以準確地得到選項B。

“某事物比重的變化”或“某事物百分率的變化”，其本質是數學中量與量間的變化，用數學的方法求解更容易理解，方便快捷。

三、在等值線相對值的計算中運用數學方法

等值線的類型多(如等高線、等溫線、等深線、等降雨量線等)，涉及計算的內容也多，如兩地間的相對高度(或氣溫、氣壓等)的范圍計算等，下面以等高線的相關計算為例說明。

在教學中，相對高度的計算多運用公式(n-1)h＜H＜(n+1)h(n—兩地等高線數值不相同的條數，h—等高距)進行計算。懸崖的相對高度將公式修改為(n-1)h≤H＜(n+1)h(n—相交等高線的條數，h—等高距)。

如在圖4的等高線示意圖中，計算甲丙兩地間相對高度的范圍，首先計算甲丙兩地間等高線條數為2條，然后代入相對高度的公式為(2-1)×50＜H＜(2+1)×50，得到甲丙兩地間相對高度范圍為50 m～150m。同理甲乙間等高線條數為1條，乙丙間等高線條數為3條，再分別代入公式計算。由圖4可以看出，在計算兩地間等高線條數時容易出錯，需要十分謹慎。如果等高線條數計算錯誤，其計算結果顯然是錯誤的。

圖4

使用數學方法計算等高線圖中兩地間的相對高度，會讓學生一目了然。在計算圖4中甲丙兩地間的相對高度時，寫出其數學表達式：

H＝H甲－H丙 （H甲—甲地的海拔范圍，H丙—丙地海拔范圍）

由圖可知，甲地海拔范圍（200 m～250m），丙地海拔范圍（100 m～150m），相對高度最大值H最大＝H甲最大－H丙最小＜250－100＝150m，同理，相對高度最小值H最小＝H甲最小－H丙最大＜200－150＝50m。所以甲丙兩地間相對高度的范圍為50 m～150m。

使用數學方法計算等值線兩地間的相對值，可以化繁為簡，使學生計算的速度和準確度得到極大提高。

四、在晝夜長短、太陽高度的相關計算中運用數學方法

高中自然地理的晝夜長短和（正午）太陽高度計算，涉及的知識繁多復雜，如果僅給學生介紹一些結論、對一些試題進行講解，會使學生感覺學習很困難。

在教學中運用數學方法，假設地球是不透明、不發光的正球體。因為地球距離太陽約1.5億千米，所以照射地球的太陽光為平行光，太陽照亮地球的一半，照射的半球為晝半球，未能照射的半球是夜半球，晝夜半球的分界線—晨昏線所在的平面與太陽平行光線垂直，經過地心且平分地球。地球圍繞地軸勻速自轉，得到關于光照圖本質的知識點（如圖5）：

1. 太陽直射光線OA（A為直射點，O為地心）延長線通過地心。

2. 晨昏線（圈） EF通過地心并與太陽光線垂直。

3. 地球勻速自轉。

4. 地表各地沿當地緯線勻速轉動，其晝夜時長之比等于其晝夜弧長之比。

5. 太陽高度（角）由直射點A向四周遞減，與直射點球面距離相等，其太陽高度相等（如圖5中的等太陽高度線）。

運用數學方法并結合以上知識點，可以對晝夜長短和太陽高度進行準確計算。

【例5】當40°N某地晝長為14小時時，（40°S，75°E）某地日出地方時刻為：

A. 6：30 B. 7：00 C. 7：15 D. 5：00

由圖5知：同一日北半球某地晝弧長與南半球相同緯度夜弧長相等，時長相等（如圖中E與F點）。即40°N晝長與40°S夜長相等，故（40°S，75°E）夜長14小時，當地7：00日出，答案為B。

圖6

將正午和子夜所在的經線組成的經線圈簡化，可以得到圖6，利用數學相關知識可以解決許多有關太陽高度的問題。

【例6】當太陽直射20°N時，出現極夜的區域為（ ）

A. 北極圈以北 B. 南極圈以南

C. 70°S以南 D. 80°S以南

如圖6中直射點H的緯度為角∠α，出現極晝的A地緯度為∠β，則有∠α+∠β=90°，當太陽直射20°N時，70°N以北出現極晝，70°S以南出現極夜，故答案為C。

在地理教學中，恰到好處地運用數學方法，將數學方法“活用”和“巧用”于地理教學之中，可以將抽象問題具體化、復雜問題簡單化，提高教學效率，讓學生計算速度和準確度得到極大提高，達到良好的教學效果。