淺談可能世界語義學與模態代數語義學

吳 迪

一、語義學簡述

給定一個形式語言系統L，關于L的語義解釋的理論就是L的語義學。這些由抽象符號構成的系統自身沒有意義，而在給定形成規則后，抽象符號就構成了特定的符號串—良構串。良構串中的符號表現出一定的聯系和規律，但只是符號在排列組合的規律，沒有任何實際意義，于是可以賦予它們任何意義。

L的邏輯解釋可以分為直觀的邏輯和形式的邏輯兩種解釋。為了使L中良構串的意義不僅取決于其中單個符號的意義要采用某種方法。論域由直觀的對象構成且賦予邏輯常元的意義和方法也是直觀的是直觀的邏輯解釋；論域由抽象的對象構成，確定L的非邏輯符號、邏輯常元與對象相聯系的方法都用形式化的規則給出是形式的邏輯解釋。

二、可能世界語義學

可能世界語義學是為了解釋模態邏輯的形式系統而提出的一種邏輯語義學。二十世紀初，數理邏輯研究進入了現代模態邏輯的階段，通過符號化和公理化在語法的研究方面取得了重要進展。美國邏輯學家劉易斯，創立了五個嚴格蘊涵系統S1、S2、S3、S4、S5標志著現代模態邏輯的正式建立。隨之而來的是人們對語義解釋的要求。這個時期，克里普克在可能世界語義學的研究上取得了很大的成就。

他的模型用有序的三元組來表示。其中W表示所有可能世界的集合；R表示W上的二元關系；V是賦值函數，通過遞歸的方式給出每個公式在各個可能世界中的真假情況。如果P在ωi中為真，就記作V(P, ωi)=1，如果為假，就表示為V(P, ωi)=0。而一個公式P可能在某個可能世界ωi中為假，在另一個世界中為ωj真。那么，一個公式在所有的相應模型結構的每個可能世界中都是真，它才能是有效的，才具有邏輯必然性，記作V(□P, ωi)=1。事實上，從純邏輯的角度這種語義模型，對于W是否是一個可能世界的集合已經顯得無關緊要，不影響與語義有關的重要邏輯特性的考察和證明。

模態算子“必然”可解釋為“知”或“可證”。模態系統S4在兩種解釋下，既說明了人們在可證性方面的規律和有效推理模式也說明人們認知中的規律和有效推理模式。從而產生認知邏輯和可證性邏輯兩種不同的邏輯類型。

三、代數語義學

模態代數語義學是模態形式及其系統的代數解釋。由真值表發展而來，實質上真值表也是一種僅以0和1為元素的矩陣。代數語義解釋，放棄了古典真值表中的真值聯系，值域可以是各種對象，將對象以矩陣化的方法發展了代數表達和處理問題的能力，擴展了應用的范圍。如果在一個矩陣中加入用以解釋模態算子的運算這樣的矩陣則叫做模態矩陣。模態代數矩陣通過設立適用的矩陣，規定矩陣及其性質，然后對系統中的對象進行驗證。再規定對象的特指值，通過矩陣對所屬的公式進行變換，如果特指值在變換過程中發生變化了，那么不具有該矩陣的性質，反之若特指值不變，則具有該矩陣所代表的性質。

代數語義學利用矩陣的多樣性，如果能夠確立好恰當的矩陣規定其系統與矩陣相應的性質，那么在驗證一個系統的完全性、可靠性、獨立性及多個系統的比較等許多方面都能夠發揮出巨大的作用。

四、兩種模態語義學的比較

（一）可能世界語義學和模態代數語義學同樣是對模態邏輯所建立的系統進行語義上的解釋。前者是根據萊布尼茨的“可能世界”觀念，進一步嚴格與精確化，通過建立一個有序三元組的方法，加之以不同的可能世界變元，側重與對模型的直觀的表述，與傳統的語義解釋有著相類似的形式。

模態代數語義學在傳統語義學的基礎上加入了代數矩陣的方法。重點將整個模型的特征融合在一個矩陣和若干解釋中，通常要比前者加入更多的算子。從某中角度上看，實際上代數語義解釋的模型也可以算作一個“系統”，我們在模態邏輯中所建立的正規系統都能在這個“系統”中被“驗證”和解釋。

（二）模態代數語義學的矩陣是從真值表發展而來的，但放棄了元素之間的這種真值聯系，僅保留了矩陣的代數形式本身。元素代以各種對象，可以通過定義和規定來進行，所代入的對象當然也可以是真值。而可能世界語義學所注重的仍然是0、1的真假值問題，它的值域就是{0，1}。因此，如果我們將可能世界語義學按照模態代數語義的方法，建立一個僅以{0，1}為元素的矩陣，是可以將這種直觀的語義解釋轉化成形式的語義解釋的。

（三）從語義學上的分類來看，可能世界語義學屬于直觀語義學。立足于人們的日常思維，即在直觀解釋下，它的邏輯系統符合人們日常思維形式中的推理模式。從這個角度看，如果邏輯學是研究推理的形式，那么邏輯的目的就把有效的推理形式從各種推理形式中提取。

代數語義學沒有對其建立的模型進行直觀解釋。它在證明系統的可靠性和完全性等必要的性質中具有直觀的語義不能取代的重要性，但是它不能把一定范圍內的有效推理形式和其他推理形式區分開，勢必造成人們的混淆。

人們利用“可能”和“必然”，使一些在傳統邏輯中不能解決的問題在模態邏輯里得以解決。但抽象的模態系統必須加以語義解釋才有意義。任何形式化的系統都是為了更好的服務與直觀現實的，因此，在模態邏輯多樣化的語義學中，要求解釋模型的嚴謹可靠，也不能忽視它的直觀化，以便于人們理解和把握。

［1］何向東.廣義模態邏輯及其應用［M］.人民出版社.2005.

［2］陳波.邏輯哲學［M］.北京大學出版社.2005.