夾心式復合變幅桿換能器頻率方程的推導

秦 雷，王麗坤，唐會彥，孫百生

(北京信息科技大學 傳感器重點實驗室，北京 100101)

夾心式換能器是一類大功率發射換能器，這類換能器以較小的重量和體積獲得大的聲能密度，其發射靈敏度高，在水聲、超聲換能器領域應用較為廣泛［1]。因此，其研究方法也多種多樣，如:等效電路法［2]、有限元法［3－5]等。有限元法目前較常用，但在優化結構參數時由于需要大量改變某些參數，所以每改變一次參數都要進行全局運算，工作量較大［6]。等效電路法是分析夾心式換能器的解析法解法，理論較為成熟，計算簡便并且容易被人接受，但由于引入過多的簡化誤差較大。為減少這種誤差，研究者進行了許多理論研究。四川大學黃振偉［7]考慮了預應力螺栓對系統建模的影響，對33.66kHz的換能器進行了計算，其計算結果將誤差由原來的2.69%降低到0.86%。北京大學欒桂冬［8，9]考慮了損耗對壓電陶瓷的常用振動模的等效電路的影響，對于夾心式換能器的等效電路的推導有一定指導意義。傳統等效電路法是將每一片壓電陶瓷的六端等效網絡推導出來，再根據電路中串并聯關系得出多層壓電陶瓷疊堆結構整體等效電路，然后同樣根據電路串聯理論，再疊加發射端、背襯以及預應力螺栓等影響，最后得出總體換能器等效電路。這樣做有一定的缺陷。首先，沒有考慮電極片的影響。在超聲換能器以及頻率較高的水聲換能器中，陶瓷片的厚度不能遠遠大于電極片厚度時，電極片的影響是不能忽略的。其次，沒有考慮多層陶瓷片經疊堆后，已經由一片薄圓片振動模態轉化為長度伸縮振動模態，其振動方程已不能用原來薄圓片的振動方程來代替。本文首先根據傳統等效電路方法推導了這種夾心式復合變幅桿換能器的等效電路，并得出頻率方程。然后考慮電極片的影響，將多層壓電陶瓷疊堆等效為一個由陶瓷和電極片構成的2－2型壓電復合材料，應用壓電復合材料的串并聯理論以及等效參數理論，求出壓電陶瓷疊堆的等效密度以及等效縱波聲速等參數。將這些等效參數帶入換能器頻率方程，對其進行理論修正，提高了換能器頻率方程的計算精度，可以更好的指導換能器制備。

1 夾心式復合變幅桿換能器結構

圖1 換能器結構Fig.1 Structure of transducer

壓電陶瓷疊堆以及由其構成的夾心式換能器的結構如圖1所示，壓電陶瓷晶片堆由多個壓電陶瓷晶片機械上串聯疊堆而成，有獨立正負電極，相鄰兩片陶瓷之間極性相反構成電學并聯結構。夾心式換能器包括:發射端、壓電陶瓷晶片堆、背襯、預應力螺釘以及防水透聲聚氨酯層，陶瓷晶片堆前后分別粘接發射端和背襯，發射端用輕金屬制成，背襯由重金屬制成，陶瓷片、發射端及背襯材料之間夾有薄銅片作為焊接電極引線用，其間均用環氧樹脂粘接，以實現良好的振動傳遞。預應力螺釘用于固定發射端、晶片堆和背襯，同時施加一定的預應力于晶片堆，以增加晶片堆的抗張強度，提高發射功率。發射端采用倒喇叭變幅桿加小截面圓柱頭復合結構，由于圓柱頭的面積較晶片堆振動面減小，使輻射波束的開角增大，從而增大了換能器的指向性開角［1]。

圖2 換能器的簡化模型Fig.2 Simplified model of transducer

2 夾心式復合變幅桿換能器的等效電路

實際的換能器由于結構復雜，在以下的討論中，假定在所討論的頻率范圍內，振子可以近似看作一維復合棒，即振子只沿軸向作一維振動。應用等效電路理論［5]，把機械振動、電振蕩以及機電轉換過程用機電類比的原理，形象地組合在一個等效電路圖中。根據以上近似條件，將換能器簡化成圖2所示四個部分，分別是:背襯、壓電陶瓷晶片堆、圓錐形變幅桿以及圓柱形等截面桿，同時忽略其它邊界條件的影響。

換能器發射時等效電路可畫成圖3的形式。

圖3中Zs0，Zr分別表示背襯向外界輻射阻抗以及發射端向外界的輻射阻抗。

在以下討論中，為計算簡單，只考慮換能器在空氣中的情況，即Zs0=Zr=0。圖3所示的等效圖又可進一步簡化，令Zm1為背襯端施加于壓電陶瓷疊堆的等效機械阻抗，Zm2為發射端施加于壓電陶瓷疊堆的等效機械阻抗。其值分別為:

圖3 換能器的等效電路圖Fig.3 Equivalent circuit diagram of transducer

其中 F=r1/(r2－r1)為變幅桿延展系數，Zm4=jρ3vs3S2tan k3l4為發射端圓柱型等截面桿施加于圓錐型變幅桿的等效機械阻抗，腳標1表示背襯材料參數，腳標3表示發射端材料參數，ρ為材料密度，l為長度，S為面積為縱波聲速，k=w/vs為波數。

3 夾心式復合變幅桿換能器的頻率方程

在共振頻率下，對于一個半波長振子，振動時兩端振幅最大，中間存在一個振速為零的截面，稱為節面。根據共振頻率下動態回路中總機械抗為零，設Zm=Rm+jXm，又因為推導過程中未涉及損耗即機械阻為零，所以Zm=jXm，對節面左右兩部分分別列方程得:

式中:le1，le2分別為振子截面兩邊陶瓷晶片堆的長度，le=le1+le1為陶瓷晶片堆的長度。化簡(2)式得到換能器的頻率方程:

4 夾心式復合變幅桿換能器頻率方程的理論修正

由于壓電陶瓷晶片堆之間引入了黃銅墊片作為電極，而當電極片的厚度與單個陶瓷片的厚度可以相比時，電極片對壓電陶瓷晶片堆性能的影響則不可忽略。因此對于公式(3)給出的換能器振子頻率方程需要進行修正。公式中包含三個相關的參數ρ2、vse和ke，分別表示振子中壓電晶堆的密度、縱波聲速以及波數。引入黃銅墊片會導致這三個參數發生變化。公式中密度ρ2應修正為等效密度:

其中v1為壓電陶瓷晶片堆中陶瓷體積百分比，ρ4為黃銅墊片密度。如圖4所示，等效密度隨著壓電陶瓷體積百分比增加而線性減小。

陶瓷薄片經過疊加后構成長條形晶片堆，其振動模為電場平行于長度的長度伸縮模，對于晶片堆構成的壓電體的縱波聲速=，因此只要再求出壓電體的等效彈性柔順系數，就可求出壓電晶堆的等效縱波聲速。根據壓電復合材料的串聯理論［11]，壓電陶瓷片與黃銅墊片構成的壓電振子可以等效成一種新的壓電材料，從而求出這種新的壓電材料的等效彈性柔順系數

考慮到壓電陶瓷片z向極化，只有z方向有電場，并且假設壓電陶瓷片與黃銅墊片不存在切向應變。因此得到簡化的壓電陶瓷本構方程:

簡化的黃銅墊片本構方程:

壓電振子作為一個壓電體，具有與壓電陶瓷類似的本構方程:

壓電振子由壓電陶瓷片和黃銅墊片在厚度方向串聯，在其它兩方向并聯，因此可以作以下假設:

(1)電場加在壓電陶瓷片和黃銅墊片串聯結構上，且黃銅墊片內部電場為零，即作用于壓電振子的電場等于壓電陶瓷片電場，并沿z軸方向。同時，考慮將振子等效為壓電體，那么在振子上與在相同體積的純陶瓷上施加的電壓一樣的情況下，等效的振子內部電場為E″3=U/d，壓電陶瓷片內部電場為 E3=U/(d·v1)，其中U為施加在陶瓷上的電壓，d為陶瓷片厚度。壓電振子等效電位移等于兩相材料電位移之和，且黃銅墊片內部電位移為零。所以:

(2)壓電振子的垂向應變為各相垂向應變之和，應力與兩相材料的應力相等，即:

(3)壓電振子的橫向應變與兩相材料各自的橫向應變相等，兩相材料的應力之和為總應力，即:

其中上標“″”代表壓電振子等效參數，上標“＇”代表黃銅墊片材料參數，無上標參數代表壓電陶瓷參數。

綜合(1)、(2)和(3)三條假設可得:

將式(5)、式(6)和式(7)以 T3，S1，D3為獨立變量表出后，帶入式(11)可得:

其中 s'11，s'12為黃銅材料的彈性柔順系數為壓電陶瓷材料的彈性柔順系數。由公式(12)可以看出，陶瓷晶片堆作為一個整體其等效彈性柔順系數只與兩相材料的固有彈性柔順系數以及兩相材料體積百分比有關。圖4給出等效彈性柔順系數與壓電陶瓷圓片體積百分比的關系，從圖中可以看出隨著壓電陶瓷圓片體積百分比的增加，等效彈性柔順系數呈線性減小。

圖4 壓電晶堆等效密度與彈性柔順系數與體積百分比關系Fig.4 The equivalent density and the elastic compliance constant with volume fractions

將以上三個修正的參數代入式(3)的頻率方程后就可得到修正的頻率方程:

5 換能器頻率方程的實驗驗證

夾心式復合變幅桿換能器中壓電陶瓷選用PZT－4，它具有低的機械損耗和介電損耗、大的交流退極化場，并具有較大的介電常數、機電耦合系數和壓電常數，適合于強電場、大機械振幅的激勵，常用作發射換能器的換能材料。環氧樹脂要有良好的粘接性、抗張強度，大功率發射時具有良好的性能，因此選用北京航空材料研究院的SY－37型透明環氧膠作為膠粘劑。發射端和背襯材料分別選用鋁和鋼，這樣根據動量守恒定律，發射端與背襯的位移比約為3∶1。銅墊片選用0.2mm厚的黃銅片，以上五種材料的性能列于表1。

表1 換能器中用到的原材料性能Tab.1 Parameters of example used in transducer

圖5 修正前后le隨頻率變化曲線對比Fig.5 The frequency depends on length of stack

將表1中提供的材料參數代入式 (1)、式(12)和式(13)，并設定背襯和發射端的尺寸分別為 l1=5.3 mm， l3=6 mm，l4=5 mm，r1=10 mm，r2=4 mm，考慮修正前后兩種情況，可計算得到如圖5所示的le隨諧振頻率變化規律曲線。由圖中數據可看出，修正前后le隨諧振頻率變化規律基本相同，但得到的壓電陶瓷晶片堆尺寸相差較大，這是由于在壓電陶瓷和銅片構成的串聯結構中，縱波聲速相比純陶瓷有明顯降低。分別將兩條曲線擬合為如下方程:

其中，leb表示未修正前計算出的壓電晶堆尺寸，lea表示修正后計算出的壓電晶堆尺寸，單位均為mm。x為晶堆預期的諧振頻率，單位為kHz。

為驗證以上頻率方程，本文選取75 kHz為換能器的目標設計頻率，選擇8片1 mm厚的壓電陶瓷片與8片0.2mm厚的黃銅片組成壓電陶瓷疊堆，其總厚度為9.6 mm，實驗制備出兩個樣品，用阻抗分析儀測試其空氣中諧振頻率均為75.6 kHz。將75.6 kHz分別帶入(14)式的兩個方程，可以得出修正前后壓電晶堆的理論長度，修正前計算得到的厚度應為9.8mm，與壓電陶瓷疊堆厚度相比誤差為2.09%，修正后計算得到的厚度為9.66 mm，與壓電陶瓷疊堆厚度相比誤差僅為0.64%，可見上述理論推導以及修正較為合理，可以用來指導換能器的制備。

6 結論

本文對發射端疊加變幅桿式復合棒發射換能器進行了理論研究。推導了等效電路，并得出頻率方程。同時考慮到黃銅電極片對振子密度以及等效聲速等參數的影響，提出頻率方程的理論修正。分析了換能器中壓電振子尺寸隨諧振頻率變化的關系。研究表明，應用經過理論修正的頻率方程可以得到誤差為0.64%的計算結果，比未修改的誤差有大幅下降，可以更好的用來指導實際換能器的實際制備。

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