實驗模態綜合法若干問題的研究

宋 攀，董興建，孟 光

(上海交通大學 機械系統與振動國家重點實驗室，上海 200240)

模態綜合法是一種縮減自由度的動力學分析方法。它可以化整為零，先進行各個子結構的模態分析，然后通過模態綜合得到全結構的模態信息［1]。由于僅采用了各個子結構的低階模態信息和必要的補償模態信息，因而使所建立整體結構動力模型的自由度數大大降低。自上世紀 60 年代 Hurty［2]和 Gladwell［3]分別提出經典的自由界面模態綜合法以來，該技術引起大量力學工作者的關注。

隨著現代工程技術的飛速發展，以大飛機和大型運載火箭為代表的結構系統越來越龐大且復雜，而工程中常需要快速準確地計算、分析和預測其動態特性。由于此類結構邊界條件復雜，材料特性和裝配誤差存在較大的分散性，結構全尺寸實驗分析代價太大，單純依靠有限元方法或者現代實驗模態分析技術都不能很好地解決上述結構動態分析問題。因此目前更有工程意義的模態綜合法應用方案應是發展實驗模態綜合技術［4，5]，對于某些不能或者不便于進行有限元建模的子結構用實驗模型取代分析模型，對于其它子結構建立其有限元方法分析模型，最后通過模態綜合獲得整體結構的動力學模型。然而現有的將模態綜合法應用于實驗領域的研究，也都停留在理論數值分析階段［6]，或者單純的對模態試驗進行研究［7]，很少真正的將實驗測量模態數據與有限元數據進行綜合得到半試驗半有限元模型。將實驗模型引入模態綜合法中將導致以下三個與實驗技術有關的難題:① 難以通過實驗方法獲得剩余模態;② 難以計算子結構的剩余質量陣和剩余剛度陣;③ 難以測量轉角模態，難以施加集中力矩載荷。雖然以MacNeal方法［8]為代表的經典自由界面模態綜合法和高階的Rubin方法［9]對于理論模型的綜合非常有效，但是對于解決上述實驗模態綜合中的技術難題并無多大幫助。為解決上述技術難題，提出了定頻剩余動柔度的概念，基于定頻剩余動柔度定義了定頻剩余慣性釋放附著模態，其意義在于動柔度的測量與靜柔度相比要容易得多，從而很容易通過實驗方法得到定頻剩余慣性釋放附著模態;基于剩余質量的理論分析，證明其影響可以忽略，而剩余剛度可以由剩余動柔度表達，從而回避了基于實驗數據辨識質量陣和剛度陣這一比較困難的動力學反問題，大大簡化了實驗和計算過程;基于諧波集中力系的等效原理，提出了一種全新的轉角動柔度間接測量方法，在一定程度上解決了實驗模態綜合中的界面對接信息不足問題。以上解決方案克服了將實驗模型引入模態綜合法時可能遇到的困難技術難題，針對混合建模中技術問題提出了一套完整的解決方案。整個實驗和計算過程簡單易行，且具有一定的計算精度。

1 基本理論

1.1 基于剩余動柔度的剩余慣附模態

任一無阻尼子結構受諧波激勵的動力學方程可表示為:

將結構的位移列向量x按照內部自由度和界面自由度分為xi和xj，同樣將載荷f也分為非界面載荷分量fi和界面載荷分量fj，且對于結構特征值問題，非界面載荷分量fi=0，以上向量之間滿足:

其中B為布爾矩陣，標志了界面自由度在總體自由度中的位置。Φ和Λ分別為自由界面子結構的主模態矩陣和特征值矩陣，將它們劃分為可通過實驗模態分析得到的低階保留主模態部分(ΦlΛl)和未知的高階截斷模態部分(ΦhΛh)。設f為一簡諧激勵力，于是方程(1)的穩態解可寫為:

其中 Gd(ω)，Gl(ω)和 Gh(ω)分別為動柔度，保留動柔度和剩余動柔度:

定義Gh在ω0處的值Gh(ω0)為準剩余動柔度:

式(7)的右端各項可通過實驗模態分析獲得，而且對于半正定結構動柔度的測量無需作任何特別處理。所以采用實驗方法獲得高階剩余動柔度不僅在計算方面更方便，同時在擴大模態綜合技術的運用領域方面也有特殊的意義。

從Gh(ω0)中取與邊界自由度相對應的列向量，得到基于剩余動柔度的剩余慣性釋放附著模態(以下簡稱剩余慣附模態)Ψd:

1.2 模態綜合

假設完整結構由子結構A和子結構B構成，對子結構A基于實驗模態分析可得到其低階保留主模態和剩余慣附模態，對于子結構B則基于有限元方法建模。由低階保留主模態和基于剩余動柔度的剩余慣附模態組成子結構A的Ritz基底，并用此基底對式(1)進行坐標變換。并注意到與低階保留主模態對應的為低階模態坐標pl，與剩余慣性釋放附著模態對應的廣義坐標為界面力向量fj。

其中MG和KG分別稱之為剩余質量和剩余剛度:

采用有限元方法得到子結構B的模型:

對于子結構A，由上面提到的Ritz基底得到其界面位移的表達式:

由子結構A和子結構B的位移協調條件及力平衡條件:

得到坐標轉換公式:

聯立式(9)和式(12)，并考慮到式(15)，得到綜合以后的耦合方程:

其中，

由式(19)和式(20)可以看出，整體結構與子結構A有關的運算單元是BΨd和BΦl，它們分別是剩余慣附模態和保留模態中與界面自由度對應的行。可見子結構A的界面上的保留模態和動柔度的測量至關重要。若能采用實驗手段得到子結構A的界面上的模態參數，那么式(16)就可以通過模態綜合法得到。

2 轉角模態的間接測量方法

然而，由于現有傳感器技術只能測得的平動自由度再加上傳感器放置位置的限制，實驗測量往往僅能得到子結構A界面兩個方向平動自由度的模態參數;而通過有限元分析則得到子結構B包括轉角自由度在內的全部六個自由度模態參數。所以在對實驗分析模型和有限元分析模型進行模態綜合時將會出現界面對接信息不足的問題，該問題自1972年首次提出至今仍然難以解決。

我們通過數值微分計算實驗中不易測得的轉角模態。當界面比較復雜時，以板結構為例，假設振型連續且振型含有二階導數。如圖1所示，在平板變形前X方向上取點1，2，3等距，結構振型中Y方向和Z方向的位移參數可直接通過實驗模態分析得到。對三個點進行數值微分即可得到邊界點3的轉角位移。θ36是指測點3的Z方向的轉角位移，θ35是測點3的Y方向的轉角位移。

頻率響應函數可以看作單位激勵力下的位移響應，基于式(21)和式(22)可以得出由平動位移頻響函數表示的轉角頻響函數，其中平動位移頻率響應函數可以方便的由實驗測量得到。

圖1 邊界附近的測點分布圖Fig.1 Measurement points near the interface

該方法雖然僅僅是靜力學等效的自然延伸，但對于測量卻是非常有效的改進:可以不用施加諧波形式的集中力矩，也不用施加諧波形式的集中力系，只需要做幾次錘擊實驗或者掃頻實驗，就可以將集中力矩作用下的轉角動柔度用多個集中力作用下的平動動柔度線性表示。

3 剩余質量陣和剩余剛度陣

在以上的推導過程中，假設子結構A的一切參數都由實驗獲得。在式(9)中可以看出，子結構A的待定參數有:低階模態參數(ΦlΛl)，剩余慣性釋放附著模態Ψd，剩余質量陣和剩余剛度陣MG和KG。其中低階保留模態和基于剩余動柔度的剩余慣附模態可方便的由實驗獲得，然而現在的困難在于式(17)和式(18)中的剩余質量陣和剩余剛度陣未知，且目前尚無可靠的方法通過實驗手段識別質量和剛度陣，從而子結構A的模型無法建立。我們從另外一個角度考慮這個問題:

將式(8)代入式(11)，并考慮到式(4):

由于ω0遠小于子結構的截止頻率，那么:

于是:

將式(27)帶入式(19)的第二行，得到:

至此，由式(27)和式(28)就推導出了剩余質量和剩余剛度矩陣KG和MG的近似表達式。如此一來，就不必刻意去求解結構的質量矩陣和剛度矩陣，從而回避了動力學反問題。事實上，式(27)成立的前提假設是部分地忽略高階模態的動態效應，而式(28)不過是上述假設在模態坐標下的表現形式。

4 數值分析與實驗驗證

4.1 數值分析

考慮一根如圖2所示底端固定的L形管，外徑19.05 mm，壁厚1.0 mm。將其劃分為子結構A和子結構B兩部分。L形管的材料參數為:直管楊氏模量E=134.4 GPa，密度ρ=8 905 kg/m3，泊松比 μ =0.33;彎頭部分楊氏模量E=102.9 GPa。

圖2 L型銅管實驗模型示意Fig.2 The geometrical model of a L shape pipe

數值計算用有限元方法，每個結點具有6個自由度，假定有限元模型是精確的，因而可將完整L形管的有限元解作為標準解。

對于子結構A，基于有限元分析得到其模態參數、精確的質量陣和精確的剛度陣，計算其動柔度矩陣且基于準剩余動柔度計算其剩余慣附模態，然后按照式(9)得到其基于模態參數的子結構模型。對于子結構B則建立其自由界面有限元模型。現按三種方案作模態綜合:

方案(1):基于子結構A精確的質量陣和剛度陣，由式(10)和式(11)計算得子結構A的剩余質量和剩余剛度，與子結構B綜合后得整體結構模態綜合結果;

方案(2):基于子結構A精確的質量陣和剛度陣，按照式(27)和式(28)對子結構A的剩余質量和剩余剛度作近似處理，與子結構B綜合后得整體結構模態綜合結果;

從表2可以看出，方案1完全采用有限元結果未有任何近似，用剩余動柔度代替舍去的高階模態，所得綜合結果十分精確。方案2的力學本質是忽略剩余質量，并且在計算剩余剛度時部分地忽略高階模態的動態效應，經過這種近似處理后，計算精度雖有所下降，但誤差仍在允許的范圍以內。

表1顯示基于式(21)和式(22)計算出子結構A界面的轉角模態位移誤差小，結果具有相當的精度。

表1 子結構A邊界點的轉角模態位移Tab.1 Rotational modal displacement of the interface point

表2 整體有限元結果和模態綜合結果/HzTab.2 Frequency results of the full structure/Hz

4.2 實驗分析

對于子結構A基于LMSTest.Lab模態分析系統采用錘擊法進行單點激勵多點測量的模態實驗得到其振型，頻率等模態參數，在實驗過程中由于傳感器位置分布限制，僅能夠得到子結構A邊界點Y和Z方向的平動位移，對于子結構B則建立其自由界面有限元模型。現按第3種方案作模態綜合:

方案(3):基于實驗得到的準剩余動柔度計算子結構A的剩余慣附模態;按照式(27)和式(28)對子結構A的剩余質量和剩余剛度作近似處理;按照式(21)和式(22)求出子結構A邊界點Y，Z方向轉角位移，與子結構B的自然邊界有限元模型進行模態綜合，其中子結構A未知的X方向平動和轉角位移在有限元軟件中用彈簧與子結構B的邊界點對接。

在以上三種方案中，子結構A的保留4階模態，ω0=350 rad/s，介于第2階固有頻率和第3階固有頻率之間。

表2中的數據可以看出，方案(3)得到的前四階頻率及振型與精確值基本吻合，而在第5階頻率以外不能給出滿意的結果。可見子結構A被截去的模態以及對邊界面缺失信息的處理對結構高頻模態影響很大。總體看來所得到的數據在低階與精確值基本一致，且該方法的實驗實施確實是可行且方便。

5 結論

針對將實驗模型與有限元模型進行綜合時可能遇到的困難，結合有限元建模和實驗建模的優勢，首次提出了一種自成體系的將實驗模型與有限元模型進行綜合的模態綜合法。該方法導出了基于剩余動柔度的剩余慣附模態，回避了基于剩余靜柔度的剩余慣性釋放模態難以測量的困難;推導了剩余質量和剩余剛度的近似表達式，回避了基于實驗數據辨識質量陣和剛度陣這一動力學反問題;并通過數值微分間接計算轉角模態，在一定程度上解決了界面自由度不匹配情況下的子結構對接問題。雖然目前的研究尚屬初步，但是以上解決方案具有很強的可操作性，為解決混合建模中的技術難題提供了一個有價值的嘗試。通過分析，結論如下:

(1)與傳統的剩余慣性釋放附著模態相比，基于準剩余動柔度的剩余慣性釋放附著模態更容易通過實驗獲得;

(2)當ω0遠小于子結構的截止頻率時，質量矩陣可以被忽略，剩余剛度也可以被簡化，這樣大大降低了實驗建模的難度，且不會引起較大的誤差;

(3)所提出的轉角模態的間接測量方法，可以繞開彎矩的施加和轉角的測量，試驗簡單，解決了界面對接信息不足的問題，使邊界面對接信息不足情況下的模態綜合成為可能。

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