不同承諾能力下可耗竭資源的最優消耗*

周 偉 武康平

(清華大學經濟管理學院，北京100084)

不同承諾能力下可耗竭資源的最優消耗*

周 偉 武康平

(清華大學經濟管理學院，北京100084)

通過對可耗竭資源經濟學的文獻回顧，目前尚沒有發現在可變時間偏好理論框架下探討可耗竭資源的最優消耗等問題。該文嘗試在雙曲線貼現的可變時間偏好下，對一個可耗竭資源的純消耗問題進行分析，討論在不同承諾能力下資源的最優消耗速度及對資源的保護效果。模型結果證明，在國家的完全承諾能力下，資源的最優消耗速度最慢，選擇的初始資源消耗最低，與時間偏好不變情況下的社會計劃者問題等價。相反，在完全無承諾能力下，資源的最優消耗速度最快，選擇的初始資源消耗最高，其短視的資源消耗行為必然會導致可耗竭資源的過度消耗。部分承諾能力下的情況則介于完全承諾能力情況與完全無承諾能力情況之間。因此，在雙曲線貼現的時間偏好下，資源消耗的最優速度依賴于承諾能力，承諾能力的提高會導致更低的有效時間偏好率，從而導致更低的資源消耗速度和初始資源消耗。承諾技術糾正了人們的不耐心程度與短視行為，從而達到保護可耗竭資源的目的。

可耗竭資源;時間偏好;雙曲線貼現;承諾能力

當今人們已認識到，有些資源一旦開發殆盡就永遠無法再生，人類必須反思以往開發與使用可耗竭資源的行為方式是否恰當。從可持續發展的角度考慮，既要做到適度開發以保證經濟社會對可耗竭資源的需求，又要避免掠奪性開采，在沒有找到可替代資源之前，防止當代人過度開發利用而使子孫后代面臨資源枯竭。為了讓資源枯竭耗盡在新替代資源出現之后，人們想出了諸多方案。譬如，積極尋找新的礦藏，開發更有效的技術，用可再生資源替代可耗竭資源，調整生產過程和消費習慣以對可耗竭資源進行保護和節約使用等。該文基于最后一種方案，在更符合人類行為的可變時間偏好理論框架下構建動態一般均衡模型，來討論可耗竭資源的開發與使用。由于承諾是糾正人類缺乏耐心、短視和自我控制能力不足問題的最廣泛使用的技術，比如資源開采方式的改變與人們消費習慣的調整就可用承諾來解決，因此本文將采用承諾技術來糾正人類的行為偏差，通過在可變時間偏好框架中引入一個代表不同承諾能力的時間T，從社會計劃者角度來探討可耗竭資源的最優消耗。本文在 Dasgupta 和 Heal［1，2］所建模型的基礎上，采用Barro［3］的方法，分析了在雙曲線時間偏好下的可耗竭資源的最優消耗問題，不僅得到了時間偏好不變情況下Dasgupta和Heal在純消耗問題中討論的可耗竭資源的最優消耗速度(“吃蛋糕”問題首先由Hotelling［4］在1931年中討論)，而且改進了原模型不能分析承諾對資源消耗路徑影響的缺點，并進而分析了不同承諾能力下對可耗竭資源的不同保護效果。

1 可耗竭資源與時間偏好理論文獻綜述

早在1931年，經濟學就開始關心可耗竭資源問題了，但直到20世紀70年代，對資源耗竭的理論研究才活躍起來。Hoteling的經典論文使用可耗竭資源的社會價值來判斷該種資源的抽取方式的合理性，發現在完全競爭條件下的最優抽取路徑等同于社會最優抽取路徑，還發現資源壟斷企業的壟斷產出是次優的，并且特別傾向于資源保護。Stiglitz［5］證明，如果資源需求彈性隨時間推移而遞增(譬如，發現了替代品)，或者如果在資源抽取成本每單位是常數，但隨著時間推移而遞減(譬如，擁有了新的技術)的情況下，那么壟斷者仍趨向于比社會最優情況下更加保護資源。縱觀全球的資源性企業，他們一般由國家所壟斷，這就為本文提出的可耗竭資源的開發利用應由社會計劃者壟斷以保護資源提供了理論依據。

可耗竭資源的開發利用涉及到人們的時間偏好。人們在進行選擇時，總是希望盡早盡快得到收益，而不愿意推遲消費，其耐心程度呈現前低后高特征，因此人們的時間偏好應當是變化的。時間偏好反映在效用貼現率ρ上:ρ越大，消費的未來效用越小，人們的耐心程度也就越低，越愿意當前更多消費而不愿意推遲消費。但在新古典的最優增長和內生增長模型中，效用貼現率ρ都被當作常數看待。比如，Ramsey［6］認為在一個確定的世界里，效用貼現率應該為零，這意味著人們給未來效用和當前效用相同的權重。P.A.Samuelson［7］的指數貼現模型也將效用貼現率看成是固定的，很明顯，指數貼現模型以完全理性人假設為前提的。對這種理想的貼現技術，Samuelson也承認這種設定沒有理論依據，僅僅是為了計算上的方便。如何恰當設定貼現率ρ，便成了應當研究的問題。

20世紀80年代以來，隨著實驗經濟學的興起，人們開始運用高度控制的實驗來推算效用貼現率，發現效用貼現率隨時間推移而變化，呈現出先高后低的遞減趨勢。此外，Bauer et al［8］還研究了年輕人、窮人、農民和受教育程度低的居民，發現他們更容易表現出不一致的時間偏好，表現出較低的自我控制能力。他們很少去對消費進行承諾，造成了他們的儲蓄率很低，積累財富過低。這種現象在Jones和 Rachlin［9］的研究中也得到了證實。

作為貼現率遞減的一種結果，Laibson［10］得出了引人關注的關于時間偏好變化的擬雙曲線貼現模型:U(t)=ut+βδs－tus，(0 ＜ β 1，0 ＜ δ＜ 1)(這里，β 可看成短期貼現因子，δ可看成長期貼現因子，β=1時，就是指數貼現模型)。他發現個人對于今天和明天的消費表現出極度不耐心，但對于未來選擇卻表現出更有耐心，例如對于今后第365天和第366天的選擇就表現得基本無差異。Laibson用雙曲線貼現模型，成功地解釋了歐美發達國家普遍的過度消費行為。由于短期內人們極度缺乏耐心和自我控制力，雙曲線貼現模型便能很好地模擬人們沉溺于當前誘惑而過度消費的特點。Laibson進一步指出，承諾(commitment)有助于糾正時間偏好不一致所帶來的行為偏差(例如有人承諾去參加一場學術研討會，以克服個人懶惰去致力于寫一篇論文等)，從而抑制當期的過度消費。Ashraf et al［11］根據這個原理為菲律賓銀行設計金融產品，確實顯著地刺激了當地居民的儲蓄。

總之，由于短視行為和缺乏自我控制力，人們消費的時間偏好是可變的，并且基本上可用雙曲線貼現模型來模擬。通過引入承諾技術來糾正時間偏好變動引起的行為偏差，便可達到抑制過度消費的目的。這一點對于可耗竭資源的開發利用研究具有很大的啟發性:在時間偏好可變的行為方式下，用承諾來糾正人類的行為偏差，便有可能獲得可耗竭資源的最優利用效果，進而得出正確的資源保護政策和策略。本文的研究正是基于這種考慮。

2 承諾與可耗竭資源的最優消耗

可耗竭資源的最優利用對經濟社會的可持續發展至關重要。依據雙曲線貼現的可變時間偏好理論，如果對人們消費行為不加約束，將會造成對可耗竭資源的過度開采和消耗，危及可持續發展。采用承諾技術來糾正人們在消費中的短視和缺乏耐心等引起的行為偏差，便可能抑制過度開采和消耗，取得有益于可持續發展的效果。下面就來分析承諾對資源開發利用的作用，構建不同承諾能力下的資源最優消耗模型。

2.1 基本假設

在一個社會計劃者經濟中，國家壟斷著資源開采。國家在考慮代際之間資源分配的公平問題時，為了達到可持續發展目標，是能夠采用承諾技術來達到資源保護目的的。我國近期出臺的十二五規劃對稀缺資源的保護，充分展示了這一點。

假定可耗竭資源的當前存量為S0，時刻t的存量為St且St0。用Ci表示時刻t的資源消耗量，并假定資源的消耗等于資源的存量變化:S·t=－Ct。用u(C)表示資源消費的瞬時效用函數，從而人們在時刻t的資源消費效用為u(Ci)。假定u'(C) ＞ 0，u″(C) ＜ 0，且人們的時間偏好如雙曲線貼現模型所述:

因此在效用最大化目標下，可變時間偏好的雙曲線貼現模型可設置如下(不變時間偏好下的模型可參看［1，2］):

其中 ρ＞ 0， (t)0， (0)=0，且 (·)二階連續可微， (ν) ＞ 0，n(ν) ＜ 0，以及lim0'(ν) →∞，lim '(ν) →0。ν→ν→∞則ρ+ '(ν)為ν時的瞬時偏好率。這些屬性隱含了時間偏好率在近期高，但是隨著ν的增長，瞬時偏好率漸進接近常數ρ，因此，本文所構建的模型是雙曲線貼現的連續時間模型。另外，假設lcim0U'(Ct)=∞。定義相對風險規避系數t→，為簡單起見，本文假定沒有人口增長，效用函數為對數函數logu(Ct)，則有η(c)=1。

假定國家為了克服缺乏耐心、短視的資源消耗行為而向社會承諾，即在τ以后Τ的時期內承諾對資源的保護性開采，因此可由時間Τ的大小來衡量承諾能力的大小。如果Τ趨向于0，用ε表示一個無窮小的量，從而表示國家沒有做出任何承諾，完全無承諾能力。當Τ趨向于無窮大時，表示國家對資源的保護性開采完全承諾，具有完全承諾能力。用介于這兩者之間的Τ表示國家對社會的部分承諾，具有部分承諾能力。

2.2 完全承諾能力下的可耗竭資源的最優消耗

如果國家能以完全承諾能力的方式確定τ時刻以后的資源消耗，即在任意時刻τ選擇資源的消耗路徑以最大化未來的貼現效用和。由于在完全承諾能力方式下的資源消耗具有時間一致性，即當ν→∞， '(ν)→0，ν時的瞬時偏好率ρ+ '(ν)=ρ，此時又回到時間偏好不變下的情形，故仍可采用時間偏好不變的方法求解，因而根據最大值原理，Hamiltonian方程如下:

(其中λt，μt為拉格朗日乘子，μt＞ 0，μtSt=0)，從而可得出:

數為對數logU(Ct)，有 η(C)=1，從而

因此，可得出:

定理1:在雙曲線貼現的時間偏好下，如果國家具有完全承諾能力，當效用函數為對數效用函數時，最優的資源消耗速度為ρ，初始的資源消耗C0=ρS0，(詳情參見2.3節中的解釋)，與時間偏好不變下的社會計劃者問題等價。

2.3 完全無承諾能力下的可耗竭資源的最優消耗

由于國家對可耗竭資源的消耗完全沒有承諾，因此，代表承諾能力的T→0，用ε表示這個無窮小的量。由于在可變時間偏好情況下，完全無承諾能力下的資源消耗具有時間不一致性，不能再采用最優控制原理來處理這類問題。在此，可利用動態規劃的思想，來考慮完全無承諾能力時的國家對資源的消耗決策。當國家(即社會計劃者)在時刻τ選擇資源消耗Cτ時，這會影響到時刻τ+ε的資源存量 Sτ+ε，進而影響到時刻 τ+ ε 上的資源消耗量 Cτ+ε。因此為了決定資源消耗的最優路徑C(t)，必須首先知道Cτ與Sτ+ε之間以及當tτ+ε時的Sτ+ε與Ct之間的關系。

現在假設國家在時刻τ選擇了C(τ)的資源消耗，當ε→0時，由于在區間［τ，τ+ε］內Ct可看作不變，因此

分寫成兩部分后有:

從而

現在先推測:在完全無承諾能力的情況下，可耗竭資源以λ0的增長速度進行消耗，即－λ0，(后面的推導將證明其推測成立)，從而可得到Ct=λ0St，(此過程的推導可采用猜解和待定系數法，先猜測Ct=ASt，然后兩邊對t求導比較后可知A=λ0，從而有Ct=λ0St)。因此當tτ+ε時，兩邊取［τ+ε，t］定積分后再對等式重排有

log Ct=logCτ+ε－ λ0(t－ τ－ ε)，

從而(1)可進一步寫為:

根據前面的分析，社會計劃者(即國家)一旦選擇了Cτ，就決定了Cτ以后的資源消耗路徑，所以就(3)對Cτ求導有:

從而可得出λ0是瞬時偏好率ρ+ '(ν)的加權平均值，從而可知λ0是常數。由于 '(ν) 0， ″(ν) 0，以及當ν→∞， '(ν)→0，可以得出ρ λ0ρ+ '(0)。由此可得出:定理2:在擬雙曲線貼現的可變時間偏好下，如果國家完全無承諾能力，當效用函數為對數效用函數時，最優消耗速，且介于［ρ，ρ+ '(0)］之間，初始資源消耗的選擇為C0=λ0S0，其加權平均值越靠近區間右邊，其消耗速度越快，初始資源消耗越高。與前面的完全承諾能力和后面的部分承諾能力比較，顯然，在完全無承諾能力下，可耗竭資源的消耗速度最快，選擇的初始資源消耗最高。因此證明了在雙曲線貼現的時間偏好下，如果國家對資源消耗行為不加以承諾，其短期缺乏耐心、短視的資源消耗行為必然會導致可耗竭資源的過度消耗。

此外，從模型的構建中可看出，當對任意的ν有 (ν)=0時，此時又回到了時間偏好不變的跨期消費模型，(4)式可寫為，從而可知在不變時間偏好情況下，國家在完全無承諾能力下的資源最優消耗速度為ρ，與有無承諾及承諾能力大小無關。因此，如果采用時間偏好不變的貼現率來模型現實的經濟世界(本文討論的是可耗竭資源的最優消耗)，則可能得不出政府想要保護可耗竭資源的政策，因為在這樣一個理想世界里，資源的消耗速度已經達到最低。

2.4 部分承諾能力下可耗竭資源的最優消耗

對于部分承諾能力下可耗竭資源的消耗問題，可以用T(其中T＞0)來代替2.3節中模型的ε，重新求解上面的問題即可得到。由于

從(5)可看出，當T=0時，結果與完全無承諾能力時一致，由于資源消耗速度λT隨著T從0趨向無窮大時單調遞減，即從λ0降到ρ，從而ρ λTλ0。由此可得出:

定理3:在雙曲線貼現的可變時間偏好下，如果國家有部分承諾能力，當效用函數為對數效用函數時，可耗竭資源的最優消耗速度為，且介于［ρ，λ0］之間，要慢于完全無承諾能力情況下的速度λ0，快于完全承諾能力下的速度ρ，初始資源消耗的選擇為C0=λTS0，介于完全承諾能力情況與完全無承諾能力情況之間。而且，如果社會計劃者(國家)有更強的承諾能力(即T的值越高)，則可耗竭資源的消耗速度越低，選擇的初始資源消耗就越低，越能達到資源保護的效果。

同理上述的完全無承諾情形，當模型對任意的ν都有 (ν)=0時，此時又回到了時間偏好不變的跨期消費模型，(5) 式可寫為=ρ，從而可知在不變時間偏好情況下，國家在部分承諾能力下的資源最優消耗速度仍為ρ，與承諾能力大小無關。

當Τ趨向于無窮大時，則代表國家具有完全承諾能力。根據筆者對此問題所做的數值模擬，當承諾能力Τ=5時，與完全承諾能力情況下的結果基本接近，從而為規劃一般為5年提供了科學的理論根據(有興趣的讀者也可嘗試通過設定具體的滿足上述假設的 (ν))來對本模型進行模擬)。模擬的結果進一步告訴我們，由于承諾約束了對承諾期T的資源消耗，從而給承諾期的經濟主體造成了福利上的損失，因此須對承諾進行一定的補償。我們可以通過數值模擬來得出不同承諾能力下所應該得到的補償值。就如何補償問題，筆者認為，可以借鑒代際迭代模型(OLG)中的思想，以達到動態有效的結果。

3 不足之處與進一步的研究方向

綜上所述，在考慮可耗竭資源在代際之間公平分配以維持社會可持續發展的背景下，采用了更符合現實情況的雙曲線貼現的可變時間偏好范式，討論了可耗竭資源的最優消耗問題。模型結果得出，由于社會計劃者的行為偏差(短期缺乏耐心與短視行為等)，如果不對其資源消耗行為進行承諾，則會導致可耗竭資源的過度消耗。由于資源的最優消耗速度依賴于承諾能力，而承諾能力的提高會導致更低的有效時間偏好率(貼現率)，因此將導致更低的資源消耗速度和更少的初始資源消耗。因此，承諾技術能糾正社會計劃者(國家)的不耐心程度與短視行為，從而達到保護可耗竭資源的目的。

但是，筆者為簡單起見，簡化了模型的很多因素，譬如，沒有考慮人口增長，假定效用函數為對數效用函數，當然這只是為了求出更簡潔的顯式解，如果假定效用函數為一般的CRRA效用函數，不影響模型命題的性質，當然結果會更復雜一點。另外，模型只單純討論了固定存量下的“吃蛋糕”問題。雖然模型對可耗竭資源的保護有一定的政策指導意義，但由于模型沒有考慮產品生產下的可耗竭資源的消耗，因而模型設置仍與現實經濟情況相差較遠。

今后可考慮更為現實的問題是，由于以前在對生產函數的一般討論中，通常隱含的一個假設是所有的投入不可耗盡。但是很多投入(例如石油和礦產)都是最終可耗盡的。因此，資源最終枯竭的前景必須被考慮進去，因而需要社會計劃者在消費品的生產和資源的消耗之間進行權衡(tradeoff)，以便滿足社會可持續發展前提下的效用最大化目標。在這種情況下，需要添加一個資本積累演化的約束方程，但仍可按照前面的思路重新求解不同承諾能力下資源與消費品的最優消費路徑，分析不同承諾能力對最優消費路徑的影響。

自Laibson提出規范的擬雙曲線貼現模型以來，可變時間偏好理論已經取得了長足的進展。本文通過運用Barro可變時間偏好的雙曲線貼現模型，對國家的資源保護規劃(承諾)做出了較為完全的經濟學解釋，用數理模型證明了政府新近出臺的這些保護可耗竭資源的政策的科學性。此外，本文通過一個可耗竭資源的最優消耗的問題，對可變時間偏好的雙曲線貼現模型進行了詳細的分析，希望能引起讀者對承諾在可變時間偏好框架下建模的重視。

References)

［1］Dasgupta P， HealG.TheOptimalDepletion ofExhaustible Resources［J］.The Review of Economic Studies，1974，(41).

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The Optimal Depletion of Exhaustible Resources Under Different Commitment

ZHOU WeiWU Kang-ping
(School of Economics and Management，Tsinghua University，Beijing 100084，China)

There is yet no literature focusing on the issue of the optimal dephetion of exhaustible resources in the fromework of variable time preference.This paper attempts to analyze pure consumption of exhaustible resources under hyperbolic time preference，and to discuss the optimal depletion rate and the effect of the protection of exhaustible resources under different commitment abilities.The results of the model show that the case of the hyperbolic discount with the full commitment of the country is equivalent to the case of constant discount of the social planner problem.In this case，the optimal depletion rate and the initial consumption of exhaustible resources are the slowest.On the contrary，they are the highest and the near-sighted behaviors inevitably lead to excessive consumption of exhaustible resources without commitment.Besides，in the case of partial commitment，the results are between the cases of full commitment and those of no commitment.Therefore，with the hyperbolic time preference，the optimal depletion rate of resources depends on the commitment ability.Higher commitment ability leads to lower effective rate of time preference，and consequently，lower depletion rate and lower initial depletion value.The improvement of commitment ability can decrease men’s impatience and nearsighted behaviors，and contribute to the protection of exhaustible resources.

exhaustible resources;time preference;hyperbolic discounting;commitment ability

F061.1

A

1002－2104(2011)05－0021－05

10.3969/j.issn.1002－2104.2011.05.004

2011－02－26

周偉，博士生，主要研究方向為資源與環境經濟學。

*高等學校博士學科點專項科研基金資助。

(編輯:李 琪)