區(qū)間值收益率的投資組合問題研究

　　【摘要】 投資者利用市場信息進行投資時，可以在每天選取一個數(shù)據來分析股票的增長率。由于市場具有隨機性，一個數(shù)據不能充分地反映出一天的波動情況，所以利用股票增長率的最大、最小值來確定一個區(qū)間，即增長率的區(qū)間。文章研究區(qū)間值收益率的投資組合問題，利用均值—偏差模型討論投資組合，并進行數(shù)據模擬。
　　【關鍵詞】 Hausdorff距離； 期望收益率； 風險； 投資組合； 均值—偏差模型
　　
　　一、問題提出
　　
　　Markowitz于1952年提出的均值—方差模型，在他的工作之后，很多人也做了關于投資組合模型的研究。如Markowitz， H.M等（1993）用半方差度量風險，因為實際收益高于平均收益時的方差不是風險，所以用半方差更合理；為了減少高損失的風險，Duffie和Pan（1997)引入了用Value-at-risk（VaR）度量風險，在VaR后，Rockafellar和Uryasev（2000）首次利用最小化CVaR研究了投資組合問題。近年來，Tanaka等（2000），研究了在模糊（Fuzzy）理論基礎上的投資組合問題。在區(qū)間值收益率的方面，M.Ida(2003)，S.Giove，S.Funemi和C.Nardelli（2006），Jinping Zhang和Shoumei Li（2009）進行了研究。
　　上述研究的不足在于在收益率的選取上多數(shù)為離散型單變量數(shù)據。由于市場具有隨機性，一個數(shù)據不能充分地反映出一天的波動情況，本文擬利用偏差（區(qū)間之間的距離用Hausdorff 距離）作為風險的度量方式，通過模型設計和上市公司數(shù)據模擬來確定投資組合。
　　
　　二、預備知識和記號
　　
　　（一）經典的Markowitz模型
　　（二）區(qū)間之間的運算
　　首先介紹區(qū)間之間的線性運算，令R表示全體實數(shù)。
　　定義1：設閉區(qū)間A=[a，a]，B=[b，b]，其中a，a，b，b∈R，則加法定義為：
　　A+B=[a+b，a+b]
　　定義數(shù)乘為：
　　λ∈R，λ·A[λa，λa]，若λ?莛0[λa，λa]，若λ<0
　　接下來定義區(qū)間之間的距離，記（X，□·□X）是一Banach空間，P0（X）為X的所有非空子集的全體，下面介紹P0（X）中的Hausdorff距離。
　　進一步，定義區(qū)間[a，a]和[b，b]之間的Hausdorff距離為區(qū)間[a，a]和[b，b]的偏差。
　　
　　三、區(qū)間值收益率的投資組合模型及求解
　　
　　利用歷史數(shù)據推斷股票增長率的最小值和最大值，構成股票增長率區(qū)間，這里討論均值—偏差模型投資組合，并進行數(shù)據模擬。
　　（一）模型介紹
　　（二）求解模型
　　利用拉格朗日方法對上述問題求解，簡略過程如下：
　　1.構造拉格朗日函數(shù)
　　則上述方程組轉化為：A?滋=B。顯然A可逆，記其逆矩陣為A-1，則有?滋=A-1B·?棕為?滋的前n項，即得最優(yōu)解?棕。
　　
　　四、數(shù)據模擬
　　
　　在金融界網（www.jrj.com）股票數(shù)據中選取三支股票從1月20日到3月10日的數(shù)據，由收盤值計算得到的單點平均收益率作為經典Markowitz模型中的收益率值。（數(shù)據見表1）
　　利用經典的Markowitz模型和本文的均值—偏差模型對上述三支股票的收益區(qū)間和投資組合比例（表2）進行計算。●
　　
　　【參考文獻】
　　［1］ Anders