以“交換律”教學例談小學數學“聯通”藝術

　　聯通，聯系、貫通之意。“聯通”在學習及應用數學知識時的作用非常明顯。因為小學數學本身是一個相對完整的體系，一旦把它分解到12本書、100多個單元、近千個課時中，就顯得有些“支離破碎”。所以在數學學習過程中，尤其應當重視“聯通”，因為聯通可以使學生的數學學習由表及里、由此及彼，在比較中鑒別，在融匯中貫通。
　　一、教材分析及教學設想
　　“交換律”是人教版四年級下冊的內容，學生第一次正面接觸運算定律。這部分教材是這樣安排的：加法交換律→加法結合律→乘法交換律→乘法結合律→乘法分配律，減法和除法中交換的情形未做涉及。為了便于學生的比較與理解，本課將同時研究加、減、乘、除中交換的情形，溝通加法交換律、乘法交換律、減法性質、除法性質之間的聯系。
　　交換律知識本身淺顯易懂，不少學生在這之前都有所應用。關鍵在于要充分創設條件，發揮學生的主體性、主動性，經歷交換律的探究過程，習得合情推理、驗證的方法與習慣，理解加法交換律、乘法交換律、減法性質、除法性質之間的區別與聯系，從算理上來解釋加法和乘法交換律、減法和除法性質存在的理由，使學生的理解與感悟由表及里、由此及彼。
　　打算這樣安排教學：在課前談話中滲透有些事物是有規律的，有些事物是沒規律的；直接揭題，出示35+18+15，引出問題，在教師指導下探究加法交換律；通過問題鏈接到減法中的交換會是怎樣，探究減法性質；從算理上來理解為什么有加法交換律而沒有減法交換律；通過乘法和除法中誰會與減法中的交換情形比較相似，相似在哪里，引出除法性質；引導學生用在探究加法交換律中習得的方法去驗證乘法交換律；從算理上來理解為什么有乘法交換律而沒有除法交換律；接著是學習小結和回顧；最后通過設問“除了交換律你還知道什么運算定律”來進一步引申到課外學習。
　　二、教學實踐及感悟
　　（一）由表及里，步步深入
　　1.由個別到一般
　　（課中點擊之一：是不是所有的加法中都是交換加數位置和不變呢？）
　　（投影顯示）二年級下冊《口算練習》第2頁：35+18+15。
　　師：這道題會做嗎？說說你是怎么做的。
　　生1：35+18=53，53+15=68。
　　生2：35+15=50，50+18=68。
　　師：也就是說，35+18+15=35+15+18（投影顯示），從中你發現了什么？
　　師：是不是所有的加法中都是交換加數位置和不變呢？
　　（學生爭議）
　　案例透視：
　　學生從一年級開始，就在加法的計算和驗算中接觸過四則運算中的一些性質與規律，有較多的感性認識，這是學習加法交換律和結合律的基礎。而本課的學習，教材安排不完全歸納推理，屬于理性的總結和概括。所以，課始通過投影呈現二年級的題目，激活學生已有的“交換律”。但這很明顯只是表象上的認識，一方面只知道在具體的題目中可不可以交換；另一方面對于為什么可以交換很少有學生去思考過。所以，當教師問“是不是所有的加法中都是交換加數位置和不變呢”時，就引發了學生之間的爭議，也正是這個爭議引導學生的認識逐步走向深入。學生們在研究提示的幫助下，展開了充分的驗證。從反饋中發現，既有一位數+兩位數、兩位數+三位數……以及含0的式子，也有整數加法、分數加法，還舉出了小數加法。在再也沒有相反例子的時候，師生一起總結出了“任何兩個加數交換位置，和不變，叫做加法交換律”。
　　在后來的練習 （）+（ ）=（）+（）時，教師提出：“好像隨便填哪兩個數交換位置都可以，同學們能不能用一個式子把大家想說的都說出來？”學生有的用圖形、用字母、用文字……最后說明數學上統一用a+b=b+a表示，把學生對加法交換律的認識進一步引向深入，實現對加法交換律的本質上把握。
　　在接著的課堂學習中還用了以下幾個例子：89-50-9、96÷3÷8。
　　2.由偏到全
　?。ㄕn中點擊之二：減法中交換位置結果都要變嗎？）
　　生3：因為減法中交換位置結果要變。
　　師：能舉例說明嗎？
　　生4：5-2≠2-5，還有……
　　師：請同學們想一想，減法中交換位置結果都要變嗎？
　　（學生議論紛紛）
　　生5：當兩數相同時交換位置結果不會變。
　　師：請舉例說明
　　生5：3-3=3-3。
　　師：還能舉出這樣的例子嗎？
　?。▽W生紛紛舉手）
　　師：那么，在減法中除了這種情況外，還有交換位置結果不變的嗎？
　　……
　　案例透視：
　　探究加法交換律后，學生認為減法中交換位置結果要變是第一直覺，在三次“交換律”的教學中都是同樣的結果。但同時也體會到，只要給學生些許時間或教師稍加提醒，學生的思維就會從表象認識逐步走向深刻。出現了兩數相同時交換位置結果不變，如3-3=3-3，還有在連減時可以交換兩個減數的位置，如12-3-4=12-4-3，由此知道減法中有不同情況，因此沒有減法交換律，數學上稱為減法性質。這樣，學生對于減法中交換的情況有了一個全面、客觀的認識。
　　這樣由表及里，促使學生去聯通減法中幾種交換的不同情形，經歷一個建構→解構→重構的過程。引出減法時，多數學生有一個初步感知：減法中不能交換。這就是第一次建構。有學生提出減數、被減數相同是可以交換的，把第一次建構給解構了。大多數學生有了第二次建構：減數、被減數相同是可以交換，其他情況下不行。隨著追問又解構了，在連減時兩個減數可以交換位置，這是第三次建構。這樣的教學設計梯度，推進學生的思維發展。
　　3.由感性到理性
　?。ㄕn中點擊之三：為什么式子不同，結果會相等呢？）
　　 師：同學們剛才通過驗證，已經知道了在乘法中交換因數位置積不變，比如4×8=8×4。為什么式子不同，結果會相等呢？
　　生6：因為還是這兩個數相乘，只是交換了位置而已。
　　生7：因為相乘的兩個數沒有變，結果也不會變。
　　師：還有不同說法嗎？我們一起來看一看（投影顯示）。
　　師：看著圖你想說什么？
　　生8：每行4個小圓圈，有3行，一共12個。
　　師：有不同說法嗎？
　　生9：每豎3個小圓圈，有4豎，一共12個小圓圈。
　　師：也就是說，3個4和4個3的意義是相同的，同樣都是表示這12個小圓圈。
　　案例透視：
　　在小學數學中，限于學生的知識水平，很多結論可以不用嚴格推理，而用不完全歸納法得到。交換律的驗證采用的就是不完全歸納法，相關的例子是舉不完的，而我們知道在驗證過程中只要有一個反例就可以推翻結論的成立，這就需要算理的理解做支撐。所以，當學生通過舉例并計算，認為“在乘法中交換因數位置積不變”這個結論成立時，教師進一步提出了“為什么式子不同，結果會相等呢”，引導學生從算理上去理解乘法交換律成立的理由。當學生的理解有困難時，教師通過畫有12個小圓圈的圖，引導學生橫著看發現有3個4，豎著看有4個3，都是12個，形象生動地幫助學生把理解從感性認識走向理性認識。
　　師：與此相類似的問題還有：在減法中，一般情況下兩個數不能換，為什么卻能在連減時交換減數位置？請同學們舉例說明。
　　生10：比如從10元零用錢中拿出3元是可以的，交換位置以后變成了從3元零用錢中拿出10元，顯然行不通！
　　生11：我有5本書，借給同學3本，還剩2本；交換位置以后變成了我有3本書，借給同學5本，這是笑話，根本不可能。
　　生12：從整體中取一部分是可以的，如果變成從一部分中取出整體，顯然行不通。
　　生13：而在連減時，比方說用10元錢買3元的水果和5元的書，可以先買3元的水果，再買5元的書；也可以先買5元的書，再買3元的水果。
　　
　　這樣可使學生的數學學習既聯通了數理，又回歸了生活，用生動活潑的生活實例來解讀抽象的數學，把握了交換律的內質，更進一步的明確有加法交換律和乘法交換律，沒有減法交換律和除法交換律。
　?。ǘ?由此及彼，層層推進
　　1.從加法到減法
　?。ㄕn中點擊之四：哪一樣運算會與加法運算中交換的情形比較相似？）
　　師：除了加法，我們還學過哪些數學運算？
　　生：減法、乘法、除法。
　　師：那么，哪一樣運算會與加法運算中交換的情況比較相像？
　?。ù蟛糠謱W生認為是乘法）
　　師：怎么就沒人認為是減法呢？
　　生：因為減法中交換位置結果要變。
　　案例透視：
　　這是在研究完加法交換律之后向研究減法中交換情況的一個過渡，在程序上實現了研究加法交換律向減法交換情況的轉變，更是在思維發展上為學生提供了比較鑒別的機會。在大部分學生通過比較認為是乘法與加法中交換的情形比較相似，似乎理所應當研究乘法中交換的情況時，教師卻拋出了“怎么就沒人認為是減法呢”這么一個問題，使教學峰回路轉，再一次激活學生的思維。學生的思維從對“比較相似”的思考轉向了對“怎么就不相似呢”的思考，讓學生想著學。應該說，這樣的教學設計緊緊地抓住了學生的思維，在這樣的課堂中，學生的“等、靠、要”顯然是行不通的，而是要不斷地主動思考。
　　2.從減法到除法
　?。ㄕn中點擊之五：在乘法與除法中，誰與減法中交換的情形相似？相似在哪里？）
　　師：我們通過討論已經知道，在減法中，一般情況下交換位置結果要變，當兩個數相同時交換位置和連減時交換兩個減數位置結果不變。那么，在乘法與除法中，誰與減法中交換的情形相似？
　　生14：除法與減法中交換的情形相似。
　　師：相似在哪里？（學生紛紛舉手）請同學們仔細思考，考慮的盡量完整一些。
　　生15：兩個數相同時可以交換。
　　師：請你把這句話講完整。
　　生15：在除法中，當兩個數相同時交換位置商不變。
　　師：有同學補充嗎？
　　生16：這是第一個相似的地方；第二個相似的地方是在除法中，一般情況下交換位置結果也要變；第三個相似的地方是連除時，交換兩個除數位置結果也不變。
　　案例透視：
　　這是在研究完減法中交換的情況之后向研究除法中交換情況的一個過渡?！俺?、除中哪一個和減法交換的情況相類似”與教師說“除法和減法中交換的情況相類似”，效果顯然是不一樣的。后者是教師的講授，學生無需主動思考，記著就行了。記住了只是一個知識點，學會了才是一種智慧。就像前者的提問，促使學生去主動思考、去甄別。尤其是“相似在哪里”的進一步提問，還要“考慮的盡量完整一些，可以把它寫下來”，促使學生的思考變得更為冷靜和有序，這一點也顯得尤為重要。因為在教學實踐中我們發現很多學生往往想到一點就把小手舉得老高，“我！我！我”的急于表現自己，缺少把問題考慮周詳的習慣。
　　教師的要求提出后，教室安靜了一分鐘左右，這是學生積極、主動思維的一分鐘。同時也是一種等待，照顧全體。如果馬上回答，中下生是沒有思考余地的，因為他們的數學思考會相對慢一拍，等他們剛開始想，優等生已經把結果說出來了。所以，在數學課堂教學中一定要提倡“先獨立再合作”，特別給思維慢一拍的學生以思考的機會。
　　3.從學法到用法
　?。ㄕn中點擊之六：用研究加法交換律的方法研究乘法中交換的情形會怎樣？）
　　師：那么，乘法中交換的情形又會怎樣呢？
　　生17：乘法中交換位置結果應該不會變。
　　生18：應該也會有結果發生變化的情況。（學生中有爭議）
　　師：那么，乘法中交換的情形到底是怎樣的呢？請同學們用研究加法交換律的方法研究乘法中交換的情形。（學生獨立思考）
　　師：四人小組交流一下，有困難的請舉手示意一下。
　　（教師巡回指導）
　　師：哪位同學來說一說？要求有過程、有結果，講完整。
　　生19：我舉兩個例子（實物投影）。第一個是6×8=48，交換位置后8×6也等于48；第二個是7×0=0，交換位置后0×7也等于0，所以說在乘法中交換位置積不變。
　　……
　　師：把你認為與眾不同的一個，寫在黑板上。
　　生20：2×3×4=4×3×2。
　　生21：1×12=12×1。
　　……
　　案例透視：
　　認識交換律的同時又習得運算定律驗證的方法，是本課的主要目標之一。所以，本課設計是這樣考慮的，先讓學生在教師指導下經歷加法交換律的猜想——驗證——結論這樣一個過程，從中習得驗證、歸納的基本思想和能力。然后將習得的方法、能力在探索乘法交換律時得以體現和鞏固，在整個過程中積累活動和探索的經驗。在教學中我們發現，這個設想基本達成。在研究加法交換律時出示的研究提示，學生在研究乘法交換律基本體現，他們無一例外地都舉了好幾個例子，并絕大多數有計算過程。在盡量考慮各種情況方面，學生中出現了1乘以任何數、0乘以任何數、相同兩個數、不同三個數等各種情況。在反饋即將結束的時候，有一個學生說“我仔細想過，沒有一個例子可以證明在乘法中交換因數位置積會變”，說明“反證”思想在學生腦中留下了根。
　　這種由此及彼實際上是方法的聯通，是研究方法的當堂鞏固。因為對于小學生來講，及時性是尤為重要的，否則學生是很容易遺忘的，這堂課充分考慮了“學以致用”。另一方面，學生實現了方法的遷移也是最令人欣慰的。在課堂小結“通過今天的學習你有什么收獲”時，一位學生的回答“當表達不完時，可以用字母表示”贏得了全場的掌聲。
　　三、課后綜述
　　教學過程和數學本體知識的聯通，能有效促進學生的主動思考。這一節課將原來的“加法交換律”置換成了“交換律”，把主要目標定位于溝通加法交換律、乘法交換律、減法性質、除法性質之間的區別與聯系。敢這樣處理的原因是學生對加、減、乘、除運算中交換的情形并不陌生，只是缺乏理性的認識?！笆遣皇撬械募臃ㄖ卸际墙粨Q加數位置和不變呢”“減法中交換位置結果都要變嗎”“為什么式子不同，結果會相等呢”等問題一波又一波、一折又一折，將學生的思考步步引向深入?！澳囊粯舆\算會與加法運算中交換的情形比較相似”“在乘法與除法中，誰與減法中交換的情形相似？相似在哪里”“請同學們用研究加法交換律的方法研究乘法中交換的情形”等問題由此及彼，把整個教學過程自然地銜接起來，顯得是那么的一氣呵成。此時的教學要遠遠超出“交換律”本身，這種由表及里和由此及彼的數學思考已經成為數學教學中超越于數學知識之上的更高追求。
　　 （責編黃桂堅）