例談在圓面積教學中滲透數(shù)學思想方法

　　《數(shù)學課程標準》在總體目標中指出：“通過義務教育階段的數(shù)學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發(fā)展所必需的數(shù)學基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經(jīng)驗。”因此，我們在小學數(shù)學教學中要根據(jù)教學內(nèi)容，挖掘教學內(nèi)容中包含的數(shù)學思想方法，適時向?qū)W生滲透這些數(shù)學思想方法。如我在“圓面積”教學中，力求滲透轉化、極限和寓算于理的數(shù)學思想方法。
　　教學片斷一：情境導入，滲透轉化思想
　　1.多媒體出示：學校草坪中間的噴水龍頭灑了一圈水。
　　師：看了剛才的演示，你想提出哪些與數(shù)學有關的問題？
　　（結合學生的提問，抓住有關周長和面積的問題，引導學生區(qū)分圓的周長和面積，同時引出課題“圓的面積”，明確“圓面積”的含義）
　　2.確定轉化策略。
　　師：我們還不會計算圓的面積。同學們，你們想一想，當我們還不會計算平行四邊形面積的時候，是利用什么方法推導出了平行四邊形的面積計算公式呢？
　　生1：我們是用“割補法”將平行四邊形轉化成長方形推導出平行四邊形的面積計算公式。
　　師：同學們再想想，我們又是怎樣推導出三角形的面積計算公式的呢？
　　生2：我們同樣可以用“割補法”將三角形轉化成長方形推導出三角形的面積計算公式。
　　師：對了，當我們不會求平行四邊形、三角形的面積時，可以先將平行四邊形、三角形“轉化”成我們已經(jīng)會求面積的其他圖形（如長方形）的方法來推導出它們的面積計算公式。這種把新知轉化為舊知的方法，是我們解決新問題的一般方法。
　　分析：通過復習平行四邊形、三角形面積公式的推導過程，讓學生回憶舊知，引導學生應用舊知類比遷移，使學生對轉化思想有了初步的感知，明確化未知為已知的解決問題的策略，有意識地對學生進行學法指導。化未知為已知的轉化思想，利于學生運用已有知識解決新問題。
　　教學片斷二：探究新知，滲透轉化和極限思想
　　（讓學生通過猜測、操作、驗證的策略探究圓面積的計算方法）
　　1.猜測。
　　（通過數(shù)方格的方法猜測圓的面積）
　　師：請同學們看屏幕（出示圖一），在正方形中，每一小格表示1平方厘米，這個正方形的邊長是幾厘米？
　　師：你能通過正方形紙片數(shù)出每個圓的面積大約是多少平方厘米嗎？
　　
　　圖一
　　師屏幕出示：正方形的面積 =（）平方厘米
　　 個圓的面積 ≈（）平方厘米
　　圓的面積 ≈（）平方厘米
　　（引導學生數(shù)后進行交流）
　　生1：正方形的面積 =r2=16。
　　生2：個圓的面積 ≈ 一個正方形的面積 ≈ 13。
　　生3：整個圓的面積是它半徑平方的3倍多一些。
　　屏幕出示：圓的面積大約是正方形面積的3倍多一些。
　　師：我們通過一個圖形的研究得出的結論不一定正確，要想證明結論正確，還要再多研究一些邊長不同的正方形面積與圓面積的關系。請同學們進一步研究下面兩個圖形，并填表。（大屏幕出示圖二、圖三）
　　
　　圖二圖三
　　
　　根據(jù)學生填表的數(shù)據(jù)，師生共同猜測、歸納、總結：圓的面積大約是正方形面積（圓半徑平方）的3倍多一些。
　　2.操作。
　　師：請同學們用準備好的剪刀和紙想辦法剪出一個圓，看誰剪的最圓。（學生動手操作后交流展示）
　　生1：我是先用圓規(guī)在紙上畫一個圓，然后沿著圓的周長剪出一個圓。
　　生2：我將一元的硬幣放在紙上，然后沿著硬幣的一周畫出它的周長，再沿周長就可以剪出一個圓。
　　師：還有其他的剪法嗎？
　　生3：我先把紙對折一次，這樣，只要剪半圓，把紙展開后就能剪出一個圓了。（教師對這種剪圓的方法予以肯定）
　　生4：我把紙對折兩次后再剪，只要剪四分之一的圓，剪起來更方便。
　　師：從上面第三種、第四種剪法中，你受到什么啟發(fā)？你能改進一下你們剪的方法嗎？請試一試吧！（學生開始嘗試對折后再剪，剪后再次進行交流）
　　生5：我對折四次后剪了一刀，展開后像一朵花，為什么不是圓呢？
　　師：其他同學對于這個問題是怎么想的？
　　生6：我發(fā)現(xiàn)“平著”剪一刀，展開后就是圓。
　　師：這個發(fā)現(xiàn)很重要。同學們用這種方法再試一試。（學生嘗試后再次進行交流）
　　師：圓是個曲線圖形，為什么把一張紙對折若干次后剪一刀展開后會變成圓，而且對折的次數(shù)越多，剪出的越圓呢？
　　生7：我國古代數(shù)學家在計算圓周率時，就是把圓看成是近似的正六邊形、正十二邊形……內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，周長越接近圓的周長。所以，我們只要把紙進行多次對折，對折的次數(shù)越多，剪的兩點就越近，剪出的就越圓。
　　師：仔細觀察我們剪出的沒有展開之前的圖形，是什么圖形？
　　生：等腰三角形。
　　師：比較展開后的圓和等腰三角形，你發(fā)現(xiàn)了什么？
　　生8：圓是由許多這樣的等腰三角形組成的圖形，其中兩條相等的邊，即等腰三角形的腰就是圓的半徑，所剪出的線段就是等腰三角形的底。
　　3.探究。
　　師：你們能推導出圓面積的計算公式嗎？請同學們以小組為單位試一試。（學生小組合作、嘗試推導圓面積計算公式后交流匯報）
　　生9：我們組發(fā)現(xiàn)圓是由許多個同樣的等腰三角形拼成的圖形，只要求出其中一個三角形的面積，再用一個三角形的面積乘三角形的個數(shù)就能得到圓的面積。
　　生10：我們小組把一張紙對折四次剪出一個圓，設圓的周長為C，三角形的底就是八分之C，三角形的高為圓的半徑r，圓面積等于一個三角形的面積乘8。
　　（師根據(jù)學生說明進行板書：圓面積=×r××8=×r× ×8=πr2）
　　生11：我們小組想象把一個圓分成n個極小的三角形，每個小三角形的面積為×r×，則圓的面積=×r××n=×r××n=πr2 。
　　師：誰還有其他的推導方法嗎？
　　生12：上面的算法太麻煩了。我們知道圓是由許多同樣的等腰三角形組成的圖形，可以把圓等分成32個等腰三角形，再拼成一個近似的長方形，圓的面積就等于拼成的近似長方形的面積，長方形的長是圓周長的一半（πr），寬是圓的半徑（r）。
　　教師展示課件（圖四）：
　　
　　圖四
　　師板書：長方形的面積= 長×寬
　　↓↓
　　圓的面積=πr×r=πr2
　　 S=πr2
　　4.驗證。
　　師引導學生對通過探究得到的圓面積（半徑平方的π倍）和前面猜測的圓面積（圓的面積是它半徑平方的3倍多一些）進行比較，驗證猜測的正確性。
　　5.欣賞。
　　師：通過把圓轉化成近似長方形可以推導出圓的面積計算公式，還可以轉化成其他圖形嗎？請同學們欣賞圓還可以轉化成哪些我們已經(jīng)學過的圖形。（課件展示：把一個圓平均分成16份）
　　（1）把圓轉化成一個近似的三角形（如圖五）。
　　三角形的底是圓周長的，高是4r，圓面積=三角形面積=×2пr×4r×=пr2。
　　（2）把圓轉化成一個近似的梯形（如圖六）。
　　梯形的上底是圓周長的3/16，下底是圓周長的5/16，高是2r，圓面積=梯形面積=（c+c）×2r×=×2пr×2r×=пr2。
　　分析：讓學生在剪圓的過程中逐步意識到把一張紙對折次數(shù)越多，“平著”剪一刀剪出的圓越圓，從中發(fā)現(xiàn)圓是由許多等腰三角形組成的，這樣就把抽象的極限思想轉化為學生看得見、摸得著的具體剪圓的操作過程。通過剪圓，也為把圓轉化為已知的圖形作鋪墊，幫助學生理解剪圓時剪出的等腰三角形可以拼成一個近似的長方形，從而推導出圓的面積公式。同時，在實施把圓（未知圖形）轉化為長方形、三角形、梯形等（已知的圖形）這一解決問題的策略時，也滲透了“觀察——猜測——驗證——得出結論”的數(shù)學思想方法。
　　教學片斷三：拓展運用，滲透寓理于算的思想
　　在拓展練習中，出示：正方形的面積是5平方分米，求這個正方形內(nèi)最大圓的面積。（學生練習后交流）
　　師：你是怎樣想的，能把求圓面積的方法說出來和大家分享嗎？（大部分學搖頭）
　　師：為什么搖頭？
　　生1：要求圓面積，就要知道圓的半徑、直徑或周長，從題中的條件看，找不到其中的任何一個條件。
　　師：不知道圓的半徑，無法求圓的面積，要是知道圓的半徑的平方能不能求出圓的面積呢？
　　（大部分學生思考后都能正確地完成）
　　分析：中科院院士、著名數(shù)學家張景中指出：“推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型。”從計算發(fā)展到推理，逐步滲透寓理于算的重要數(shù)學思想，而寓理于算的思想?yún)s容易被人們忽視。從表面上看，只告訴正方形的面積，小學生無法求出正方形內(nèi)最大圓的面積，因為要求圓的面積，一般要知道圓的半徑、直徑或周長，而本題中這三個條件一個都沒有告訴。事實上，我們只要利用半徑的平方就能求出圓的面積，即S=πr2=3.14×5=15.7(平方分米)。學生不能求出圓面積，是因為學生不能把計算轉化為推理。因此，我們要引導學生認識計算和推理的關系，從計算發(fā)展到推理，逐步滲透寓理于算的數(shù)學思想。
　　（責編黃海）