例談在圓面積教學中滲透數學思想方法

　　《數學課程標準》在總體目標中指出：“通過義務教育階段的數學學習，學生能夠獲得適應未來社會生活和進一步發展所必需的數學基本知識、基本技能、基本思想、基本活動經驗?！币虼?，我們在小學數學教學中要根據教學內容，挖掘教學內容中包含的數學思想方法，適時向學生滲透這些數學思想方法。如我在“圓面積”教學中，力求滲透轉化、極限和寓算于理的數學思想方法。
　　教學片斷一：情境導入，滲透轉化思想
　　1.多媒體出示：學校草坪中間的噴水龍頭灑了一圈水。
　　師：看了剛才的演示，你想提出哪些與數學有關的問題？
　　（結合學生的提問，抓住有關周長和面積的問題，引導學生區分圓的周長和面積，同時引出課題“圓的面積”，明確“圓面積”的含義）
　　2.確定轉化策略。
　　師：我們還不會計算圓的面積。同學們，你們想一想，當我們還不會計算平行四邊形面積的時候，是利用什么方法推導出了平行四邊形的面積計算公式呢？
　　生1：我們是用“割補法”將平行四邊形轉化成長方形推導出平行四邊形的面積計算公式。
　　師：同學們再想想，我們又是怎樣推導出三角形的面積計算公式的呢？
　　生2：我們同樣可以用“割補法”將三角形轉化成長方形推導出三角形的面積計算公式。
　　師：對了，當我們不會求平行四邊形、三角形的面積時，可以先將平行四邊形、三角形“轉化”成我們已經會求面積的其他圖形（如長方形）的方法來推導出它們的面積計算公式。這種把新知轉化為舊知的方法，是我們解決新問題的一般方法。
　　分析：通過復習平行四邊形、三角形面積公式的推導過程，讓學生回憶舊知，引導學生應用舊知類比遷移，使學生對轉化思想有了初步的感知，明確化未知為已知的解決問題的策略，有意識地對學生進行學法指導?；粗獮橐阎霓D化思想，利于學生運用已有知識解決新問題。
　　教學片斷二：探究新知，滲透轉化和極限思想
　?。ㄗ寣W生通過猜測、操作、驗證的策略探究圓面積的計算方法）
　　1.猜測。
　　（通過數方格的方法猜測圓的面積）
　　師：請同學們看屏幕（出示圖一），在正方形中，每一小格表示1平方厘米，這個正方形的邊長是幾厘米？
　　師：你能通過正方形紙片數出每個圓的面積大約是多少平方厘米嗎？
　　
　　圖一
　　師屏幕出示：正方形的面積 =（）平方厘米
　　 個圓的面積 ≈（）平方厘米
　　圓的面積 ≈（）平方厘米
　　（引導學生數后進行交流）
　　生1：正方形的面積 =r2=16。
　　生2：個圓的面積 ≈ 一個正方形的面積 ≈ 13。
　　生3：整個圓的面積是它半徑平方的3倍多一些。
　　屏幕出示：圓的面積大約是正方形面積的3倍多一些。
　　師：我們通過一個圖形的研究得出的結論不一定正確，要想證明結論正確，還要再多研究一些邊長不同的正方形面積與圓面積的關系。請同學們進一步研究下面兩個圖形，并填表。（大屏幕出示圖二、圖三）
　　
　　圖二圖三
　　
　　根據學生填表的數據，師生共同猜測、歸納、總結：圓的面積大約是正方形面積（圓半徑平方）的3倍多一些。
　　2.操作。
　　師：請同學們用準備好的剪刀和紙想辦法剪出一個圓，看誰剪的最圓。（學生動手操作后交流展示）
　　生1：我是先用圓規在紙上畫一個圓，然后沿著圓的周長剪出一個圓。
　　生2：我將一元的硬幣放在紙上，然后沿著硬幣的一周畫出它的周長，再沿周長就可以剪出一個圓。
　　師：還有其他的剪法嗎？
　　生3：我先把紙對折一次，這樣，只要剪半圓，把紙展開后就能剪出一個圓了。（教師對這種剪圓的方法予以肯定）
　　生4：我把紙對折兩次后再剪，只要剪四分之一的圓，剪起來更方便。
　　師：從上面第三種、第四種剪法中，你受到什么啟發？你能改進一下你們剪的方法嗎？請試一試吧?。▽W生開始嘗試對折后再剪，剪后再次進行交流）
　　生5：我對折四次后剪了一刀，展開后像一朵花，為什么不是圓呢？
　　師：其他同學對于這個問題是怎么想的？
　　生6：我發現“平著”剪一刀，展開后就是圓。
　　師：這個發現很重要。同學們用這種方法再試一試。（學生嘗試后再次進行交流）
　　師：圓是個曲線圖形，為什么把一張紙對折若干次后剪一刀展開后會變成圓，而且對折的次數越多，剪出的越圓呢？
　　生7：我國古代數學家在計算圓周率時，就是把圓看成是近似的正六邊形、正十二邊形……內接正多邊形的邊數越多，周長越接近圓的周長。所以，我們只要把紙進行多次對折，對折的次數越多，剪的兩點就越近，剪出的就越圓。
　　師：仔細觀察我們剪出的沒有展開之前的圖形，是什么圖形？
　　生：等腰三角形。
　　師：比較展開后的圓和等腰三角形，你發現了什么？
　　生8：圓是由許多這樣的等腰三角形組成的圖形，其中兩條相等的邊，即等腰三角形的腰就是圓的半徑，所剪出的線段就是等腰三角形的底。
　　3.探究。
　　師：你們能推導出圓面積的計算公式嗎？請同學們以小組為單位試一試。（學生小組合作、嘗試推導圓面積計算公式后交流匯報）
　　生9：我們組發現圓是由許多個同樣的等腰三角形拼成的圖形，只要求出其中一個三角形的面積，再用一個三角形的面積乘三角形的個數就能得到圓的面積。
　　生10：我們小組把一張紙對折四次剪出一個圓，設圓的周長為C，三角形的底就是八分之C，三角形的高為圓的半徑r，圓面積等于一個三角形的面積乘8。
　?。◣煾鶕W生說明進行板書：圓面積=×r××8=×r× ×8=πr2）
　　生11：我們小組想象把一個圓分成n個極小的三角形，每個小三角形的面積為×r×，則圓的面積=×r××n=×r××n=πr2 。
　　師：誰還有其他的推導方法嗎？
　　生12：上面的算法太麻煩了。我們知道圓是由許多同樣的等腰三角形組成的圖形，可以把圓等分成32個等腰三角形，再拼成一個近似的長方形，圓的面積就等于拼成的近似長方形的面積，長方形的長是圓周長的一半（πr），寬是圓的半徑（r）。
　　教師展示課件（圖四）：
　　
　　圖四
　　師板書：長方形的面積= 長×寬
　　↓↓
　　圓的面積=πr×r=πr2
　　 S=πr2
　　4.驗證。
　　師引導學生對通過探究得到的圓面積（半徑平方的π倍）和前面猜測的圓面積（圓的面積是它半徑平方的3倍多一些）進行比較，驗證猜測的正確性。
　　5.欣賞。
　　師：通過把圓轉化成近似長方形可以推導出圓的面積計算公式，還可以轉化成其他圖形嗎？請同學們欣賞圓還可以轉化成哪些我們已經學過的圖形。（課件展示：把一個圓平均分成16份）
　?。?）把圓轉化成一個近似的三角形（如圖五）。
　　三角形的底是圓周長的，高是4r，圓面積=三角形面積=×2пr×4r×=пr2。
　?。?）把圓轉化成一個近似的梯形（如圖六）。
　　梯形的上底是圓周長的3/16，下底是圓周長的5/16，高是2r，圓面積=梯形面積=（c+c）×2r×=×2пr×2r×=пr2。
　　分析：讓學生在剪圓的過程中逐步意識到把一張紙對折次數越多，“平著”剪一刀剪出的圓越圓，從中發現圓是由許多等腰三角形組成的，這樣就把抽象的極限思想轉化為學生看得見、摸得著的具體剪圓的操作過程。通過剪圓，也為把圓轉化為已知的圖形作鋪墊，幫助學生理解剪圓時剪出的等腰三角形可以拼成一個近似的長方形，從而推導出圓的面積公式。同時，在實施把圓（未知圖形）轉化為長方形、三角形、梯形等（已知的圖形）這一解決問題的策略時，也滲透了“觀察——猜測——驗證——得出結論”的數學思想方法。
　　教學片斷三：拓展運用，滲透寓理于算的思想
　　在拓展練習中，出示：正方形的面積是5平方分米，求這個正方形內最大圓的面積。（學生練習后交流）
　　師：你是怎樣想的，能把求圓面積的方法說出來和大家分享嗎？（大部分學搖頭）
　　師：為什么搖頭？
　　生1：要求圓面積，就要知道圓的半徑、直徑或周長，從題中的條件看，找不到其中的任何一個條件。
　　師：不知道圓的半徑，無法求圓的面積，要是知道圓的半徑的平方能不能求出圓的面積呢？
　?。ù蟛糠謱W生思考后都能正確地完成）
　　分析：中科院院士、著名數學家張景中指出：“推理是抽象的計算，計算是具體的推理，圖形是推理和計算直觀的模型?！睆挠嬎惆l展到推理，逐步滲透寓理于算的重要數學思想，而寓理于算的思想卻容易被人們忽視。從表面上看，只告訴正方形的面積，小學生無法求出正方形內最大圓的面積，因為要求圓的面積，一般要知道圓的半徑、直徑或周長，而本題中這三個條件一個都沒有告訴。事實上，我們只要利用半徑的平方就能求出圓的面積，即S=πr2=3.14×5=15.7(平方分米)。學生不能求出圓面積，是因為學生不能把計算轉化為推理。因此，我們要引導學生認識計算和推理的關系，從計算發展到推理，逐步滲透寓理于算的數學思想。
　?。ㄘ熅廃S海）