高中數學應充分重視課本題的教學

　　摘 要： 課本題的教學是高中數學教學的重要方法之一，課本題的教學設計關系到教學的達成度。本文通過分析課本題的提問示例，指出目前數學教學中常見的誤區，并結合實例探討了問題導學在閱讀教學中使用的原則和方法。
　　關鍵詞： 高中數學 課本題教學 誤區 問題設計 教學啟示
　　
　　普通高中課程標準實驗教科書數學必修5（2007年6月第3版）第24頁第7題，本題在解三角形這一章中的復習題中，屬于思考運用的范疇.本文就本題的幾種解法作如下思考。題目為：如圖1，已知∠A為定角，P、Q分別在∠A的兩邊上，PQ為定長．當P、Q處于什么位置時，△APQ的面積最大？
　　解法一：利用基本不等式
　　設PQ=a（a為定值），AQ=x，AP=y
　　由余弦定理：cosA=，可知：x+y=a+2xycosA≥2xy．
　　所以xy≤，當且僅當x=y=時，等號成立．
　　所以S=xysinA≤．
　　所以當AP=AQ=時，△APQ的面積最大，最大值為．
　　點評：本題應用基本不等式求最值，顯得比較簡單，但是在課本中基本不等式是在學完解三角形之后學習的，所以本題用此法有點不妥．
　　解法二：利用正弦定理及三角函數的相關知識
　　設PQ=a（a為定值），AQ=x，AP=y，∠APQ=α，∠AQP=β
　　在△APQ中，==，則x=，y=
　　所以S=xysinA=sinαsin（α+A）
　　=-cos（A+2α）
　　當A+2α=π時，即α=β，cos（A+2α）=1，△APQ的面積最大，所以S=+=．
　　所以當AP=AQ=時，△APQ的面積最大，最大值為．
　　點評：應用三角函數求最值的相關知識解決本題，看起來非常符合本題，此法也是常規解法．但是化簡過程中易出錯．
　　解法三：利用三角形的外接圓
　　作△APQ的外接圓圓O，如圖2所示，PQ是定值，點A在優弧上不斷變化，∠A始終為定值，在變化過程中，僅當點A到PQ邊的距離最大時（即AO⊥PQ），此時AP=AQ，△APQ的面積最大．故可令AP=AQ=x，由cosA=，可得x=，所以S=xsinA=.
　　所以當AP=AQ=時，△APQ的面積最大，最大值為．
　　點評：由定角的對邊是定值想到圓（同弧所對的圓周角相等，同弧所對的弦長相等）．
　　在閱讀完以上三種解法后，對于這樣的問題“在△ABC中，cosA=，邊a=，則△ABC的面積S的最大值為?搖?搖?搖?搖．（答案：）”則可輕松解決，很顯然讀者會選擇解法三．
　　以上是我在本學年度教學中遇到的一個問題，總結出來與所有同仁共享。我們知道課本中的絕大多數題目都是經典題目，每年的高考題大多選自書本題，只有書本題才不超綱，而我們在平常教學中，往往對書本題注視程度不夠，導致很多問題被忽略，而恰恰這些不起眼的題目有時會給我們開一個大玩笑，因為我們平時對它們研究的不深入，不夠扎實，忽略了題目所蘊含的思想方法．本文所選的題目就是我根據平時教學總結出來的，教學時若不深入，導致遇到時學生會感覺困難，它給我一個教學啟示，就是要對課本題多做深入細致的研究。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”