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　　摘 要： 解三角形的問題關鍵是什么？本文從三個方面進行說明：知識體系要清晰；解的個數判斷及邊角關系的相互轉化；實際問題的模型轉化要到位。
　　關鍵詞： 解三角形 正弦定理 余弦定理 邊角關系
　　
　　解三角形是《普通高中課程標準實驗教科書?數學必修5》的一個重要章節，課本主要從實際問題出發引出相應的正余弦定理，雖然容易入手但上手難，特別是運用正余弦定理等知識和方法解決一些與測量和幾何計算有關的實際問題.那么解三角形的問題關鍵是什么？以下主要從三個方面進行說明.
　　一、知識體系要清晰
　　《標準》要求將解三角形問題作為幾何度量問題來解決，強調在已有的知識基礎上，通過對邊與角關系的探究發現，掌握邊與角之間的關系，形成清晰的知識體系.常見的三角形問題可分為幾種類型：三邊、兩邊一角、一邊兩角、三角.如何解決這些問題呢?我們可以把它們分成兩大類：正弦定理（兩邊一對角、一邊兩角）；余弦定理（三邊、兩邊一夾角、兩邊一對角）.結合以上這兩種分法，我們明確對應的類型的解決方法，對于解三角形起著事半功倍的作用.對于解三角形的問題我們只需分析好具體給出的條件，就能較快地找到對應的處理方式，甚至于只要明確對應條件，解題思路就一目了然，以下面的例子進行說明。
　　例1：在△ABC中，已知AB=4，AC=7，BC邊上的中線AD=3.5，求BC的長.
　　本例提供的條件中表面上只有邊的關系，其實隱含著兩個條件：∠ADC、∠ADB互補，BD=CD，屬于三邊及一角的問題，對應運用余弦定理解決:cos∠ADB+cos∠ADC=0，又因為BD=CD，可得BD=4.5，則BC=9.由此我們不難發現，當明確了知識體系及題目已知條件時，解題就水到渠成了.
　　二、幾種常見問題要掌握
　　1.解的個數判斷
　　在已知三角形的兩邊及一對角解三角形時得到一個角的正弦值，例如a，b，A，由正弦定理我們不難得出其值，但是對于三角形內角來講正弦值始終為正數，此時就可能出現互補的銳角和鈍角，此時就可能存在解的個數問題.以下主要以實例形式從三個角度來說明如何處理：
　　例2：根據下列條件解三角形，其中有兩個解的是:
　　A.b=10，A=45°，C=70°；
　　B.a=60，c=48，B=60°；
　　C.a=5，b=4，A=60°；
　　D.a=14，b=16，A=45°.
　　分析：選項A是一邊和兩角的問題，只有一解；選項B是兩邊一夾角問題，只有一解.
　　方法一：利用大角對大邊（前提是要注意先求出sina=m，只有當-1＜m＜1，此時才有意義）.選項C：由正弦定理可知sinB＜1且a＞b，此時只有一解.選項D：由正弦定理可知sinB＜1且a＜b，此時兩解.
　　方法二：利用圖像判斷。選項C：如圖所示可知CD=bsin60°，而BC=5，BC＞AC，所以B點在AA′的延長線上，故只有一解.選項D：同理可知CD＜BC＜AC，所以B點在DA′或AD上，故有兩解.
　　方法三：利用余弦定理。選項C：由余弦定理，即得c-4c+9=0，此時△＞0，方程有兩不等實根，且兩根之積為-9，只有一正根，所以方程只有一解；選項D：同理此時△＞0，方程有兩不等實根，且兩根之積為15，兩根之和為8，方程有兩不等正根，所以有兩解.
　　2.邊角關系的相互轉化
　　解三角形的本質就是：把“未知的邊角”轉化為“已知”，這就是求解過程.那么如何轉化角與邊呢？由正弦定理可知此時邊的比可以轉化為角的正弦比，由余弦定理可知角的余弦值可以轉化為邊的比值，同時從邊的關系如a=b+c-bc我們也能得出對應角的余弦值.
　　例3：△ABC中，若（2a+c）cosB=-bcosC，求B的大小.
　　法一：由正弦定理可得（2sinA+sinC）cosB=-bsinAcosC，即2cosBsinA+cosBsincC+sinBcosC=0，
　　2cosBsinA+sin（B+C）=0，即sinA（2cosB+1）=0，cosB=0.5，所以B=120°.
　　法二：由余弦定理可知（2a+c）=-b，代入整理得2a（a+c-b+ac）=0，即b=a+c+ac，由余弦定理可得B=120°.
　　通過例4我們可以得出已知三角形中的邊角關系式，要轉化為已知條件或者判斷形狀，有兩條思路：其一化邊為角，再進行三角恒等變換求出三個角之間的關系式；其二化角為邊，再進行代數恒等變換求出三條邊之間的關系式.兩種轉化主要應用正弦定理和余弦定理.這兩種解法，都是通過兩種不同的轉化來實現的.
　　三、實際問題的模型轉化要到位
　　如何建立三角模型，這是我們解決實際問題的關鍵.特別是方位角的轉化，要轉化到位才能明確模型的解決方法.在模型建立之后，就是解一個或者多個有關聯的三角形，這些三角形或者有相同的邊，又或者有相關的角.以課本一道題為例：課本習題1.2中A組第10題：如圖一架飛機以326km/h的速度，沿北偏東75°的航向從城市A出發向城市B飛行，18min以后，飛機由于天氣原因按命令改飛另一城市C，問收到命令時飛機應沿什么航向飛行，此時離城市C的距離是多少？
　　分析：不妨設在18min后到達E點，則AE=97.8km，要求的是CE及E到C的方位角.分四步：第（1）步：△ACD中已知AD、CD及∠ADC，解三角形即可知AC、∠ACD；第（2）步：在△ABC中，已知∠ACB=133°-∠ACD，AC，BC，解三角形可知∠BAC;第（3）步：在△ACE中，∠CAE=∠BAC，AC，AE，即可知CE，∠AEC;第（4）步由飛機沿北偏東75°的航向從城市A出發向城市B飛行，可知飛機應沿南偏西75°-∠AEC（如果為負數則為南偏東方向航行）.
　　本題如果只求CE的距離只要通過解三角形就可以得出，但是如果要求航向就要借助于方位角，如果方位角轉化不到位就很難找到。在上述例題中我們主要通過建立直角坐標系，來明確方位角與三角形內角的關系，由此可以看到方位角“北偏東75°”轉化為它與∠AEC的關系，這為我們最后求方向奠定了基礎.
　　
　　參考文獻：
　?。?］普通高中課程標準實驗教科書?數學必修5.
　　［2］劉云.構建高效的數學教學.數學教學通訊（教師版），2010.3.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”