“集合”幫你學邏輯

　　摘要：本文從“集合”角度理解命題；“集合”角度理解命題的“充分”和“必要”條件；“集合”角度處理問題“三個方面對“集合”進行了探討，指出恰到好處地利用“集合”，能真正實現把抽象問題具體化，體現出“集合”的形象性與工具性。
　　關鍵詞：集合；邏輯；充分條件；必要條件
　　
　　在“邏輯”這一章，有些知識的理解是很抽象、很模糊的，教師也難講解，學生更難掌握。如果我們從“集合”的角度去理解它，就會“柳暗花明又一村”。有些人可能認為“集合”的要求很低，在高中數學中地位不大，那么，我們現在就“集合”在高中數學中的“常用邏輯用語”部分所扮演的角色作一下嘗試，體會一下從“集合”的角度去理解抽象“邏輯”的妙用。
　　一 、“集合”角度理解命題
　　書本中是通過具體的實例，讓學生體會命題的構成，也是通過實例獲得“原命題”與“逆否命題”的真假性的一致性這一結論的。在此我們可以通過“集合”的觀點解釋為什么原命題與逆命題的真假性存在此種關系。
　　如圖1，設原命題為若p則q，則逆否命題為若p則q。
　　記集合P={x|p(x)}，Q={x|q(x)}，記全集為U。
　　若原命題為真，即pq?圳P?哿Q?圳CuQ?哿CuP?圳q?圯p，∴p?圯q?圳q?圯p。
　　所以，原命題與逆否命題均為真命題。若原命題為假命題即：p?覩q?圳p?埭Q?圳CuQ?埭CuP?圳p?覩q，∴p?覩?圯q?圳p?覩q。
　　如圖2三種情況，所以，原命題與逆否命題均為假命題。
　　綜上所述，我們會得到，原命題與逆否命題的真假性始終是相同的。
　　二、“集合”角度理解命題的“充分”和“必要”條件
　　一個命題有真假，決定了命題的“條件”和“結論”之間的關系，記P={x/p（x）}，Q={x/q(x)}，從集合角度來理解命題的條件p與結論q的關系如下：
　　（1）若p?圯q，則p是q的充分條件?圳P?哿Q；
　　（2）若q?圯p，則p是q的必要條件?圳Q?哿P；
　　（3）若p?圳q，則p是q的充要條件?圳P=Q；
　　（4）若p?圯q且q?覩p，則p是q的充分不必要條件即P?奐Q；
　　（5）若p?覩q且q?圯p，則p是q的必要不充分條件即Q?奐P；
　　（6）若p?覩q且p?覩q，則p是q的既不充分條件也不必要條件?圳Q，P沒有包含關系。
　　三、“集合”角度處理問題
　　1. 對含“充分”“必要”題目的處理
　　例1不等式|x-m|＜1的一個充分條件是＜x＜，求m值。
　　解析：由題得相當條件p即＜x＜，q為m-1　　所以m-1≤m+1≥?圯-≤m≤。
　　點評：上面題目在分清條件和結論的前提下，從集合的角度，p，q分別對應的P，Q的關系即P?哿Q或Q?哿P，問題快速解決。
　　2. 對“充分”“必要”條件填空題的處理
　　例2 使不等式2x2-5x-3≥0成立的一個充分不必要條件為 ______。
　　分析：設所填部分為命題p，q:2x2-5x-3≥0 對于q，本質是說x/x或a≥3，由題目的條件知道p，q之間滿足p?圯q且q?覩q。從集合的角度，若它們對應的集合分別為P，Q，則P是Q的真子集即可，則所填的內容不唯一，只要符合子集即可，故P={-1，-2，3，5}可行，p={x|x≤-1}，p={x|x≥3}等等均可。若換個說法，所填部分為“必要不充分條件”，同理可以解決，答案也不唯一；若所填內容為“充要條件”，則此時的答案應該唯一，因為P=Q。學生再遇到這種問題，如果能從“集合”的角度看問題，就可以把問題簡單化，揭示問題的本質，從而輕松應對。
　　綜上所述，對于單獨的用“邏輯”不好理解的，換個我們熟悉的角度——“集合”，這種題型我們就會從根本上解決并應用自如。
　　（灌云縣楊集中學）