根植教

　　摘 要： 作者通過對一個來自課本例題的基本圖形的認識、分析、思考，訓練學生識別圖形，利用基本圖形的條件和結論，將一類復雜圖形問題簡單化，幫助學生在較短的時間內抓住問題的本質，防止解題中無關信息的干擾，從而提高學生的思維水平，達到舉一反三、觸類旁通的教學效果。
　　關鍵詞： 提煉 識別 創造 拓展 應用
　　
　　基本圖形具有廣闊的拓展空間，在歷年的中考試題中，根植于基本圖形的試題屢見不鮮，題型囊括了選擇、填空及解答題.在教學過程中，應重視基本圖形的挖掘、探究，這樣有助于更好地培養學生的發散思維，提高學生分析問題、解決問題的能力.
　　現就蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》九年級上冊“1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判斷”的例6中提煉的一個基本圖形，談談該基本圖形及其變式在中考試題中的應用.
　　一、提煉基本圖形
　　蘇科版《義務教育課程標準實驗教科書?數學》九年級上冊“1.3平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判斷”例6：
　　已知：如圖，E、F、G、H分別是正方形ABCD各邊的中點，AF、BG、CH、DE分別相交于點A′、B′、C′、D′.
　　求證：四邊形A′B′C′D′是正方形.
　　拓展延伸：
　　（1）若點E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，則四邊形A′B′C′D′還是正方形嗎？證明你的結論.
　　（2）若點E、F、G、H分別在正方形ABCD的各邊上，且AE=BF=CG=DH，則四邊形EFGH是正方形嗎？證明你的結論.
　　從例6及對它的拓展與延伸中，我們不難發現，證題過程都要用到如下兩個三角形全等，來實現證角等和線段等.
　　這樣兩個全等的三角形都滿足“兩個直角三角形斜邊互相垂直或對應直角邊互相垂直”，當對應邊不相等時，這樣的兩個三角形相似.像這樣“站著的和躺著的兩個相似三角形”稱為基本圖形，在近幾年的中考題中，涌出了一大批運用該基本圖形及其變式圖形編制的構思巧妙、立意新穎的考題.
　　二、識別基本圖形
　　例：（2010年紹興）（1）如圖1，在正方形ABCD中，點E、F分別在邊BC、CD上，AE，BF交于點O，∠AOF＝90°.求證：BE＝CF.
　?。?）如圖2，在正方形ABCD中，點E，H，F，G分別在邊AB，BC，CD，DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4.求GH的長.
　　圖1 圖2
　?。?）已知點E、H、F、G分別在矩形ABCD的邊AB、BC、CD、DA上，EF，GH交于點O，∠FOH＝90°，EF＝4.直接寫出下列兩題的答案：
　　①如圖3，矩形ABCD由2個全等的正方形組成，求GH的長；
　?、谌鐖D4，矩形ABCD由n個全等的正方形組成，求GH的長（用n的代數式表示）.
　　 圖3圖4
　　解析：本題初看比起例6是沒有頭緒，但是我們做過了例6，并記住了由它所提煉出的基本圖形，那么我們就可以利用基本圖形來解了，這樣由此及彼地尋找解題途徑，通過對基本圖形的認識和理解，馬上就會發現本題的解法.第（1）小問中學生能直接發現基本圖形，通過證△ABE≌△BCF就把問題解決了；第（2）小問中沒有基本圖形，命題者的巧妙構思就在于此，受（1）的啟發，學生可以把線段EF和GH分別平移到B和A的位置（如圖5），就出現（1）的結構，從而問題可解；在對圖2處理的基礎上解決（3）、（4）兩問，就迎刃而解了.
　　復雜的圖形中要能識別出基本圖形，并分解圖形，當然，對于簡單圖形，只要一眼識別出是基本圖形就可以直接應用.
　　三、構造基本圖形
　　有些考題，表面上不能直接找到該基本圖形，根據圖形特征，通過適當添加輔助線，構造出該基本圖形，這樣就能應用基本圖形解決問題了.
　　例1.（2010年咸寧）如圖，已知直線l∥l∥l∥l，相鄰兩條平行直線間的距離都是1，如果正方形的四個頂點分別在四條直線上，則sina=?搖?搖?搖?搖.
　　解析：問題要求銳角三角函數值，自然要把銳角放在直角三角中，正方形ABCD的四個頂點的位置很特別，聯想到例6是以正方形為背景提煉出的基本圖形，不妨作如下嘗試.
　　圖1 圖2 圖3
　　輔助線的添加是根據基本圖形及本題的特征而作的，以上解法都能使問題順利解決.
　　例2.（2010年衢州）如圖，四邊形ABCD中，∠BAD=∠ACB=90°，AB=AD，AC=4BC，設CD的長為x，四邊形ABCD的面積為y，則y與x之間的函數關系式是（?搖）.
　　A.y=x?搖?搖?搖?搖 B.y=x?搖?搖?搖?搖
　　C.y=x?搖?搖?搖D.y=x
　　解析：按常規，四邊形的面積y是左右兩個三角形面積的和，即y=AC?BC+AC?DE，DE為△ACD中AC邊上的高（如圖）.這樣，很自然地就構造出了基本圖形：△ACB≌△DEA，AE=BC，DE=AC，設BC=k，則AE=k，AC=4k，EC=3k，在Rt△DEC中，DC=5k=x，用x的代數式表示相關線段，這樣y=?4k?（k+4k）=?20k=10k=10?（）x=（）x，故選擇C.
　　許多形式各異的幾何圖形，它們都有著內在的聯系，具有相同或相似的基本圖形.當遇到自己感覺生疏的圖形時，應該冷靜思考，認真尋找與之接近的熟悉題型.從題目的相通或相同點切入，聯想與自己熟悉的基本圖形是不是存在聯系，最終使問題得以解決.
　　四、拓展基本圖形
　　有的時候我們也會對基本圖形進行適當的拓展，并把拓展后的圖形也叫做基本圖形.例如，下圖中的兩個三角形，當∠B=∠C=∠AFG≠90°時，也有△ABF∽△FCG，即“站著和躺著的兩個相似三角形”.像這樣拓展以后的基本圖形，在中考試題中的應用也是層出不窮的.
　　例：（2009年太原）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=4，∠B=45°.直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與CD交于點F.若為△ABE等腰三角形，則CF的長等于?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解析：問題是求線段的長度，按常規思路，聯想到成比例線段，聯想到相似三角形，把CF放在可能相似的三角形中，使已知線段和要求線段成為三角形的邊即可.通過等腰梯形ABCD的性質可知，∠B=∠C=∠AEF=45°，符合基本圖形的條件，從而△ABE∽△ECF，故=，易知AB=3，BE+CE=4，再根據△ABE為等腰三角形，分①AE=BE，②AB=BE，③AB=AE三種情況討論，也就是間接告訴我們，比例式中各個量之間的關系，問題也就不難解決了.
　　解題時，要善于抓住問題的特點，充分利用基本圖形來分析問題，運用基本圖形對解題的啟示和簡化功能總會出奇制勝.
　　五、綜合應用基本圖形
　　基本圖形為尋找相似三角形提供了方便，通過分析題意，抓住問題本質，把學過的基礎知識和基本圖形“套”進去，化繁為簡，在提高解題速度和準確率方面，能達到事半功倍的效果.
　　例：如圖，在矩形ABCD中，由8個面積均為1的小正方形組成的L型模板如圖所示放置，則矩形ABCD的周長為?搖?搖?搖?搖?搖?搖.
　　解析：本題求矩形ABCD的周長相當于求2（AB+BC），根據圖形的特點，不難發現圖形中有兩個基本圖形，△ABE≌△ECF、△ECF∽△FDG，從而有，AB=EC，BE，EF=2GF，故EC=2DF，即AB=2DF=CD，所以AB=EC=2FC，再根據勾股定理：EC+CF+=4，得AB=EC=，BE=CF=，所以矩形ABCD的周長為8.
　　在平時的教學過程中，要經常性地引導學生發掘、提煉、總結出一些具有廣泛的代表性和典型性的圖形，并能讓學生掌握這些圖形的性質和特點，在一些比較復雜的題目中，能辨認出，或者構造出，再根據基本圖形的性質，擇取有用的信息和結論，迅速地找到證題思路、方法，培養學生運用基本圖形的習慣，減輕學生學習負擔，提高學生思維水平和創造性解決問題的能力.