數形結合的數學思想方法剖析與運用

　　摘 要： 數形結合即數形滲透，兩者相互推進，層層深入，能使復雜問題簡單化，抽象問題直觀化，是中學數學中常見的解題思想和方法。本文首先對數形結合思想的方法進行了剖析，然后通過具體的實例研究了數形結合思想在中學數學中的應用。
　　關鍵詞： 數形結合 思想方法 中學數學
　　
　　1.引言
　　我國著名數學家華羅庚說過這樣一句話：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好。”所謂數形結合就是根據“數”與“形”之間的對應關系，通過“數”與“形”的相互轉化來解決數學問題的思想方法。數形結合既是一種思想，又是一種方法，它是中學數學中一種重要的解題思想和策略，數形結合具有直觀、形象、生動等優點，在有些題型中，運用數形結合的思想解題還能避開繁瑣的討論，減少運算量，大大地簡化解題過程。
　　數形結合的思想可以使某些抽象思維變為形象思維，有助于把握數學問題的本質，由于使用了數形結合的方法，很多問題便迎刃而解，并且解法很簡單。在解決數學問題時，將抽象的數學語言同直觀的數形相結合，實現抽象的概念與具體形象的聯系和轉化，使“數”與“形”的信息相互滲透，這樣可以開拓我們的解題思路，使許多數學問題簡單化。“數”與“形”可以看成是一對矛盾，它包含以“數”助“形”和以“形”助“數”兩個方面，數形結合的思想應用形式大體可分為代數問題的幾何解法與幾何問題的代數解法兩個方面，它們滲透于中學教材之中。中學數學中常常用到數形結合方法的內容有：數軸上的點與實數的對應關系、函數與圖像的關系、曲線與方程的關系、部分不等式與代數式的關系，等等。數形結合的思想方法在解方程和不等式、函數（包括三角函數）、解析幾何中既能直觀地發現解題途徑又能避免復雜的計算，簡化解題過程，這對于畢業班的學生來說在考試時有很大的幫助。
　　數形結合就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，通過“數”與“形”之間的對應關系和轉換來解決數學問題。在中學中主要有以“數”轉化為“形”和“形”轉化為“數”這兩種關系。“數”與“形”是一種對應關系。“形”具有形象、直觀、簡潔明快的優點，能表達具體思維，是解決問題的關鍵。但部分比較抽象的數量難以把握，這就需要我們把與數量關系相對應的圖形找出來，利用圖形來解決問題。我們把數量問題轉化為圖形，并通過對圖形的分析最終解決數量關系的方法叫圖形分析法。這其中數量問題圖形化是圖形分析法的條件。對于“數”轉化為“形”這類題目的基本解題思路：弄清題目所給的條件和所求的目的，從條件或結論出發，構造出相對應的圖形，再利用構造出的圖形的性質、幾何意義等聯系所要求的目標去解決問題。“形”雖然有形象、直觀、簡潔明快等優點，但對于定量分析還得借助于代數的計算，特別是比較復雜的圖形，不但要正確地把圖形信息轉化為數字信息，而且要觀察圖形的特點，發掘題目中的隱含條件，充分地利用圖形的性質和幾何意義進行計算。對于這類題目的解題思路：明確題目中所給的條件和所求的結論，分析所給的條件和所求的結論的性質和特點，理解條件和結論在圖形中的幾何意義，正確將題目中的圖形信息轉化為代數信息，再利用條件與結論的聯系，運用定理或公式解決問題。
　　2.數形結合的思想方法在中學數學中的應用
　　2.1解決函數問題
　　利用圖像研究函數的性質是常用的方法，函數圖像的幾何特征與數量特征緊密結合，體現了數形結合的特征與方法。
　　令A（0，1），B（2，2），C（x，0），則問題轉化為在x軸上求一點C，使 |CA|+|CB|有最小值。如圖1，由于AB2.2解決方程或不等式問題
　　2.2.1在解方程時，把方程的根的問題看做是圖像的交點問題。
　　例2.如果方程x+2ax+k=0的兩個實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，試求a與k應滿足的關系。
　　解：畫出對應的二次函數y=x+2ax+k，y=x+2ax+a-4的草圖，這兩個函數圖像都是開口向上，形狀相同且有公共對稱軸的拋物線（如圖2），要使方程x+2ax+k=0的兩實根在方程x+2ax+a-4=0的兩實根之間，則對應的函數圖像y與x軸的交點應在函數圖像y與x軸的交點之內，它等價于拋物線y的頂點縱坐標不大于零且大于拋物線y的頂點縱坐標，由配方法知y與y的頂點坐標分別為:P（-a，-a+k），P（-a，-a+a-4），故-a+a-4＜-a+k≤0，即可以求出a與k的關系為：a-4＜k＜a。
　　2.2.2在處理不等式時，聯系相關函數，分析其幾何意義，從圖形上找解決題目的思路。
　　例3.解不等式≥x
　　解：作直線y=x和半圓弧y=的圖像，由=x知x=，由直線和半圓弧的位置關系即可知原不等式的解為（-5，）。
　　2.3解決三角函數問題
　　在解決三角函數單調區間的確定或比較三角函數值的大小等問題時，數形結合是重要的方法。
　　例4.求y=的最值
　　解：y的結構類似于斜率公式，故可視為定點M（2，1）與單位圓上的動點N（cosx，sinx）連線的斜率，如圖4，當MN與單位圓相切時，切線的斜率取值就是所求函數的最值，由圖可知：0≤k≤，故可知y的最值為：y=0，y=。
　　2.4解決解析幾何問題
　　解析幾何的基本思想就是數形結合，在解題中善于將數形結合的數形思想運用于對曲線的性質及相互關系進行研究中。
　　例5.橢圓+=1的焦點為F、F，點P為其上的動點，當∠FPF為鈍角時，P點橫坐標的取值范圍為?搖?搖 ?搖?搖。
　　解：如圖5，由題意可知，點P在以FF為直徑的圓的內部且在橢圓上時，∠FPF為鈍角，則解方程組+=1x+y=5得圓與橢圓的交點橫坐標x=±，所以點P的橫坐標的取值范圍是：- 3.結語
　　數形結合思想在中學數學中占有非常重要的地位，其“數”與“形”的結合，把代數式與幾何圖形相結合，使代數問題、幾何問題相互轉化，使抽象思維和形象思維有機結合。應用數形結合思想，就是充分考查數學問題的條件和結論之間的內在聯系，既分析其代數意義又揭示其幾何意義，將數量關系和空間形式巧妙結合，來尋找解題思路，使問題得到解決。只有熟練掌握一些概念和運算的幾何意義及常見曲線的代數特征，才能熟練地運用這一思想方法。
　　
　　參考文獻：
　　［1］邱海泉.淺談數形結合思想在高中數學的幾點應用［J］.2005.3.
　　［2］姚立新.數形結合的數學思想方法在解題中的應用［J］.2005.1.