例析“數形結合”思想在一次函數中的應用

　　“數形結合”思想在一次函數中的應用是中考命題的一個熱點，也是平時學習一次函數解決應用問題的一個重點.“數形結合”的中心思想就是把問題的數量關系轉化為圖像的性質或者把圖像的性質轉化為數量關系來解決問題.在解一次函數應用問題時，如果把數與形結合起來考慮，就可以使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體化．
　　一、從“數”到“形”的思想應用
　　例1.一輛速度為90千米/小時的汽車由青島勻速駛往濟南，下列圖像中能大致反映汽車行駛路程s（千米）和行駛時間t（小時）的關系的是（）
　　分析：根據題意得，汽車行駛路程s（千米）和行駛時間t（小時）的關系式是s=90t，所以行駛路程s和行駛時間t成正比例函數關系.因為路程與時間都不能為負數，所以行駛路程s和行駛時間t之間的函數圖像應該是在第一象限的一條射線，故應選D．
　　評注：解從“數”到“形”的問題時，應先找出兩個變量之間的函數關系，然后根據函數關系式作出函數的大致圖像，從而歸納出函數的圖像特征.
　　二、從“形”到“數”的思想應用
　　例2.為了鼓勵小強勤做家務，培養他的勞動意識，小強每月的費用都是根據上月他的家務勞動時間所得獎勵加上基本生活費從父母那里獲取的．若設小強每月的家務勞動時間為x小時，該月可得（即下月他可獲得）的總費用為y元，則y（元）和x（小時）之間的函數圖像如圖所示．
　　（1）根據圖像，請你寫出小強每月的基本生活費為多少元.父母是如何獎勵小強家務勞動的？
　　（2）寫出當0≤x≤20時，相對應的y與x之間的函數關系式；
　　（3）若小強5月份希望有250元費用，則小強4月份需做家務多少時間？
　　分析：（1）根據函數圖像的信息可知，小強每月的基本生活費為150元，父母的獎勵方法是：如果小強每月做家務的時間不超過20小時，每小時獲得獎勵2.5元；如果小強每月做家務的時間超過20小時，那么20小時每小時按2.5元獎勵，超過部分按每小時獎勵4元；（2）根據函數圖像知，當0≤x≤20時，它是一個一次函數圖像，即設y與x之間的函數關系式為y=kx+b.因為點（0，150），（20，200）在函數y=kx+b上，所以函數關系式為y=2.5x+150；（3）根據函數圖像知，當x>20時，它也是一個一次函數圖像，即設y與x之間的函數關系式為y=kx+b.因為點（20，200），（30，240）在函數y=kx+b上，所以函數關系式為y=4x+120.當y=250時，4x+120=250，解得x=32.5．
　　評注：解從解從“形”到“數”的問題時，應注意觀察函數圖像的形狀特征，充分挖掘圖像的已知條件，確定函數的解析式，從而利用函數的性質來解.
　　三、“數形結合”思想的綜合運用
　　例3.某校部分住校生，放學后到學校鍋爐房打水，每人接水2升，他們先同時打開兩個放水籠頭，后來因故障關閉一個放水籠頭．假設前后兩人接水間隔時間忽略不計，且不發生潑灑，鍋爐內的余水量y（升）與接水時間x（分）的函數圖像如圖．
　　請結合圖像，回答下列問題：
　　（1）根據圖中信息，請你寫出一個結論；
　　（2）前15位同學接水結束共需要幾分鐘？
　　（3）小敏說：“今天我們寢室的8位同學去鍋爐房連續接完水恰好用了3分鐘．”你說可能嗎？請說明理由．
　　分析：（1）根據函數的圖像信息可知，鍋爐內原有水96升；接水2分鐘以后鍋爐內的余水量為80升；接水4分鐘以后鍋爐內的余水量為72升，等等．（2）根據函數圖像知，當0≤x≤2時，它是一個一次函數圖像，即設y與x之間的函數關系式為y=kx+b.因為點（0，96），（2，80）在函數y=kx+b上，所以函數關系式為y=-8x+96；當x>2時，它也是一個一次函數圖像，即設y與x之間的函數關系式為y=kx+b.因為點（2，80），（4，72）在函數y=kx+b上，所以函數關系式為y=-4x+88，前15位同學接水后的余水量為96-15×2=66，當y=66時，代入y=-4x+88中，解得x=5.5．（3）①若小敏他們是一開始接水的，則接水時間為8×2÷8=2（分鐘），8位同學接完水只要2分鐘，與接完水時間恰好用了3分鐘不相符；②若小敏他們是在若干位同學接完水后開始接水的，設這8位同學從t分鐘開始接水，當02時，則8×2÷4=4（分鐘），與接水時間3分鐘不符，所以小敏的說法是有可能的.即從1分鐘開始8位同學連續接完水恰好用了3分鐘．
　　評注：解“數形”結合的問題時，應注意運用“由數想形，以形助數”的解題策略，充分挖掘題目中的已知條件，從而創造性地解決問題.