向量外積在解題中的應用

　　摘 要： 本文通過構造向量，利用向量外積的幾何性質，巧妙地解決初等幾何中一類有關面積、垂直，以及共線等數學問題。
　　關鍵詞： 向量外積 數學問題 應用
　　
　　在空間解析幾何中，向量，的外積定義如下：向量，的外積×是一個向量，其模|×|=||||sin∠（，），其方向與，均垂直，并且{，，×}為右旋向量組.由兩向量的向量積的定義可知，若兩個向量，共線，則×=若兩個向量，不共線，則與外積的模等于以，為鄰邊的平行四邊形的面積.
　　1.相關結論
　　命題1：三個向量，，所構成的三角形的面積為：
　　S=|×|=|×|=|×|.
　　用向量的坐標表示可以得到：
　　推論1：在△ABC中，若三角形三個頂點坐標分別為A（a，a），B（b，b），C（c，c），則三角形的面積為：S=a a 1b b 1c c 1?搖.
　　推論2：若三點A（a，a），B（b，b），C（c，c）滿足a a 1b b 1c c 1=0，則A，B，C三點共線.
　　將命題1推廣到由四個向量所構成的平面凸四邊形的面積，則有：
　　命題2：首尾順次相連的四個向量，，，所構成的平面凸四邊形的面積為：S=|×+（+）×|=|×+×+×|.
　　將命題2進一步推廣可以得到：
　　命題3：n（n＞2）個向量，，…，首尾順次相接所構成的平面凸n邊形的面積為：S=|×+（+）×+…（++…+）×|.
　　2.應用舉例
　　對于一些數學問題中，可以通過構造向量，以及利用向量外積的幾何性質巧妙地解決.
　　2.1應用向量外積的幾何性質可以解決一類與面積有關的數學問題.
　　例1.已知點A（2，1），B（3，4），C（-2，2），求△ABC的面積.
　　解：由命題2知，△ABC的面積為S= 2 1 1 3 4 1-2 2 1?搖=.
　　例2.證明：（推廣的勾股定理）如圖1，在直角三棱錐OABC中，（S）+（S）+（S）=（S）.
　　證明:如圖1，設=，=，=，則=-，=-，（S）=|×|=|（-）×（-）|=|×+×+×|
　　由于OA，OB，OC兩兩互相垂直，因此分別與OA，OB，OC共線的三向量×，×，×也兩兩垂直，即有（×）?（×）=0，（×）?（×）=0，（×）?（×）=0，從而（S）=|×|+|×|+|×|=（S）+（S）+（S）.
　　例3.如圖2所示，已知△ABC的面積為8，在△ABC的邊AB，BC，CA上分別取三點D、E、F，使AD=2DB，BE=EC，3CF=FA，求△DEF的面積.
　　解：設=，=，則=-，S=|×|
　　從而=+=-，
　　=+=-.
　　所以：
　　S=|×|=|（-）×（-）|=|×|=S=3.
　　例4：如圖3在凸四邊形ABCD的邊AB，BC，CD，DA的延長線上取點E，F，G，H，使BE=AB，CF=BC，DG=CD，AH=DA，求證四邊形EFGH的面積等于四邊形ABCD的面積的5倍.
　　證明：設=，=，=，則=++，=3++，=2-，=2-
　　所以，四邊形EFGH的面積為：
　　S=|×+×+×|
　　= |（3++）×（2-）+（3++）×（2-）+（2-）
　　×（2-）|
　　=|×+×+×|
　　而四邊形ABCD的面積為S′=|×+×+×|，從而命題得證.
　　2.2應用向量的外積幾何性質還可以解決有關垂直，以及三點共線（向量共線）等數學問題.
　　例5：如圖4，設G是正方形ABCD內的任意一點，分別以GA、GB為一邊在△GAB外作正方形AGMN和GBEF，求證：AE‖NC且AE=NC.
　　證明：設=，=，則=-
　　取為垂直于平面GAB向上的單位向量，
　　于是=（-）×，
　　從而=+=+（-）×.
　　又因為=×，=×，
　　所以=++=-×++×=+（-）×.
　　從而=，即AE‖NC且AE=NC.
　　例6.設H為△ABC的垂心，而D、E、F為三個高的垂足，由D點分別作AB、BH、CH、CA的垂線，其垂足分別為K、L、M、N，試證K、L、M、N四點在同一條直線上.
　　證明：以點D為坐標原點，以邊BC所在直線為x軸建立如圖所示的坐標系xoy，并設A、B、C三點的坐標分別為（0，a），（b，0），（c，0）顯然可以求出H（0，-），
　　K（，），L（，-）
　　M（，-），N（，）
　　且有
　　 1 1 - 1=0，這表明N、K、M三點共線，
　　又有 1 1 - 1=0，這表明N、K、L三點共線，
　　從而K、L、M、N四點在同一條直線上.
　　
　　參考文獻：
　　［1］呂林根，許子道．解析幾何（３版）［M］．北京：高等教育出版社，1987．
　　［2］毛綱源．高等數學解題方法技巧歸納（下冊）［M］．武漢：華中科技大學出版社，2002.