例談導數(shù)在高中數(shù)學中的應(yīng)用

　　近幾年高考命題傾向于考查新教材的內(nèi)容，而考查綜合分析問題、解決問題的能力，也已成為高考命題的新熱點.高考考試大綱指出：“對運算能力的考查主要是算理和邏輯推理的考查，考查時以代數(shù)運算為主.”因此，對于高中的一些數(shù)學問題，若利用導數(shù)求解，就能使問題簡單化，顯示出其解法的優(yōu)越性.本文就導數(shù)在高中數(shù)學中的應(yīng)用作一下探討，旨在探究解題規(guī)律.
　　一、在解析幾何中的應(yīng)用
　　例1.求曲線y=3x-x過點A（2，-2）的切線方程.
　　分析：曲線過點A處的切線與曲線在點A處的切線不同，前者既包括點A處的切線，又包括過點A但切點在另一點處的切線.
　　解：設(shè)切點為P（x，y），由導數(shù)的幾何意義知，切線的斜率k=y′|=3-3x，∴在點P處的切線方程為y-y=（3-3x）（x-x）.又切線過點A，故-2-（3x-x）=（3-3x）（2-x），整理得xx-3x+4=0，即（x+1）（x）=0，∴x=-1或x=2.
　　∴當x=-1時，切線方程為y=-2；當x=2時，切線方程為9x+y-16=0.
　　二、在不等式中的應(yīng)用
　　例2.（2004年全國高考題）設(shè)函數(shù)g（x）=xlnx，0＜a＜b，證明：0＜g（a）+g（b）-2g＜（b-a）ln2.
　　分析：不等式中的變量為區(qū)間的兩個端點，所以設(shè)輔助函數(shù)時可把其中的一個端點設(shè)為自變量即可.
　　證明：設(shè)f（x）=g（a）+g（x）-2g.
　　則f′（x）=g′（x）-g′=lnx-ln.
　　當x=a時，f′（x）=0;當0＜x＜a時，f′（x）＜0，當x＞a時，f′（x）＞0.
　　∴當x=a時，f（x）=f（a），∴f（b）＞f（a）＞0，即0＜g（a）+g（b）-2g.
　　又設(shè)h（x）=f（x）-（x-a）ln2，則h′（x）=f′（x）-ln2=lnx-ln（a+x）.
　　當x＞0時，h′（x）＜0，∴h（x）在（0，+∞）上是減函數(shù).∴h（b）＜h（a）=0.
　　即g（a）+g（b）+2g（）＜（b-a）ln2.
　　綜上所述，0＜g（a）+g（b）-2g＜（b-a）ln2.
　　三、在函數(shù)中的應(yīng)用
　　例3.（2008年全國高考題）已知函數(shù)f（x）=x+ax+x+1，a∈R.
　　（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間；
　　（2）設(shè)函數(shù)f（x）在區(qū)間-，-內(nèi)是減函數(shù)，求a的取值范圍.
　　解：（1）f（x）=x+ax+x+1，求導：f′（x）=3x+2ax+1.
　　當a≤3時，Δ≤0，f′（x）≥0，f（x）在R上遞增；
　　當a＞3，由f′（x）=0，求得兩根為x=，
　　即f（x）在-∞，上遞增，在，上遞減，在，+∞上遞增.
　　（2）（法一）∵函數(shù)f（x）在區(qū)間-，-內(nèi)是減函數(shù)，，遞減，∴≤-≥-，且a＞3，解得：a≥2.
　　（法二）只需求3x+2ax+1≤0在區(qū)間-，-恒成立即可.
　　令g（x）=3x+2ax+1，∴只需：
　　g（-）≤3×-2a×+1≤0g（-）=3×-2a×+1≤0∴a≥a≥2∴a≥2.
　　∴a的取值范圍為［2，+∞）.
　　四、在生活中的應(yīng)用
　　例4.（2008高考江蘇卷17）如圖，某地有三家工廠，分別位于矩形ABCD的頂點A、B及CD的中點P處，已知AB=20km，BC=10km，為了處理三家工廠的污水，現(xiàn)要在該矩形ABCD的區(qū)域上（含邊界），且與A、B等距離的一點O處，建造一個污水處理廠，并鋪設(shè)三條排污管道AO，BO，OP，設(shè)排污管道的總長為ykm，
　　（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：
　　①設(shè)∠BAO=θ（rad），將y表示為θ的函數(shù)；
　　②設(shè)OP=x（km），將y表示為x的函數(shù).
　　（2）請你選用（1）中的一個函數(shù)關(guān)系，確定污水處理廠的位置，使鋪設(shè)的排污管道的總長度最短.
　　分析：（1）已經(jīng)指明了變量，只需按照有關(guān)知識解決即可；（2）根據(jù)建立的函數(shù)模型，選擇合理的模型和方法解決.
　　解析：（1）略解：①所求函數(shù)關(guān)系式為y=+10（0≤θ≤）
　　②所求函數(shù)關(guān)系式為y=x+2（0≤x≤10）
　　（2）方法一：選擇函數(shù)模型①
　　y′==
　　令y′=0得sinθ=，∵0≤θ≤∴θ=，當θ∈（0，）時y′＜0，y是θ的減函數(shù)；當θ∈，時y′＞0，y是θ的增函數(shù).所以函數(shù)在θ=處取得最小值y=+10=10+10，θ∈0，.
　　∴當θ=時，AO=BO==（km）.因此，當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到A，B兩點的距離均為km時，鋪設(shè)的排污管道的總長度最短.
　　方法二：選用函數(shù)模型②：
　　y′=1+，令y′=0則=20-2x，
　　平方得3x-60x+200=0，解得x=10±，由于0≤x≤10，
　　因此當x=10-時，這個函數(shù)有最小值，此時OQ=.因此，當污水處理廠建在矩形區(qū)域內(nèi)且到兩點的距離均為km時，鋪設(shè)的排污管道的總長度最短.
　　通過以上例題的分析可以看出，綜合性試題是考查數(shù)學能力和數(shù)學素養(yǎng)的極好素材，同學們應(yīng)引起足夠的重視.