微磁學中的交換作用

　　摘 要： 本文通過對微磁學交換作用與量子力學中交換作用的對比分析，著重闡述了微磁學中經典的交換作用，同時論述了它在解決一些實際問題的貢獻與自身的限制。
　　關鍵詞： 微磁學 交換作用 經典交換作用
　　
　　1.引言
　　在真實的磁化過程中，交換作用能、磁各向異性能和靜磁能中任何一項都不能忽略。如果這些能量項作為微擾加入海森堡哈密頓量中，然后用量子力學的方法求解，那就是最為理想的了。但是，實際上即使不附加其他能量項，也必須做粗略的近似才能求解。所以，微磁學應運而生，它沒有顧及量子力學，忽略了物質的原子本性，而采用介質的經典物理方法處理問題，這種經典理論是與M（T）的量子理論（忽略了靜磁作用）并行發展起來的，它起源于1935年Landau和Lishitz關于兩個反方向磁疇間疇壁結構的論文及1940—1941年W.F.Jr.Brwon的幾篇論文。Brwon將此經典理論命名為“微磁學”，此理論忽略了原子理論的微觀性質，用宏觀的觀點討論問題并認為材料是連續的。因而，采用了經典矢量來代替自旋，并且在“連續介質”的極限下，為了使其能與麥克斯韋方程組一起使用，采用了一項經典的能量項來代替量子力學中的交換作用能。本文主要考慮交換作用能經典的代替項，并通過分析，討論它的適用性與局限性。
　　2.何為“交換作用”
　　在順磁體中，其原子磁矩只與外磁場相互這樣。而在鐵磁體中情況卻不相同，其原子的自旋之間存在著相互作用，每個自旋都力圖使其他自旋沿著它的方向取向，自旋間的相互作用來源于自旋的量子力學性質，交換作用沒有經典的對應物，是量子力學中電子波函數的重疊引起的。這些自旋之間存在著一種力，這種力試圖使所有的自旋平行排列，這就是所謂的交換作用，可以用自旋和自旋之間的交換作用能表示，交換作用能正比于?
　　ε=-′J<1>
　　其中，求和符號旁邊的分號表示求和時排除i=j，因為能與自旋發生作用，除此之外，此式遍及材料中所有的原子自旋。系數J稱為交換積分。系數的正負是這樣定義的，如果J為正，則自旋平行取向，如果J為負，則自旋反平行取向，分別意味著鐵磁性耦合與反鐵磁耦合。
　　對于交換積分J，目前尚不能根據基本原理計算出，只能假設給出哈密頓量，而J作為一個參量，其數值由理論與某些實驗（通常是居里溫度）值的比較來確定。
　　3.“經典”的交換作用
　　“交換作用”是一種非常“短程”的作用力，它只能在鄰，也可能在次近鄰自旋之間產生作用，而對較遠的自旋沒有作用，將自旋算符近似地用經典矢量表示，則交換作用能有〈1〉式給出，如果只能是最鄰近自旋之間的J不等于零，則：
　　ε=-′J?=-JScosφ<2>
　　其中，φ為自旋和之間的夾角。
　　可以預期，相鄰自旋之間的夾角“總”是很小的，因為交換作用是極短程的作用力，不允許產生大的夾角。當φ很小時。可以假設每個平面上有幾個自旋，這些平面相互平行，此時則有：
　　ε=JSφ<3>
　　在計算中將所有自旋相互平行的狀態作為參考狀態，減去參考狀態的能量即得到上述表示式。這意味著重新定義了交換作用能的零點。但是，不必擔心，只要互相一致，重新定義是合理的。
　　如圖1所示，設為平行于局域自旋方程的單位矢量，在小角度的場合，|φ|≈|-|。需指出，這一定義也意味著平行于磁化強度矢量的局部方向。不僅定義在格點上，而且是一個連續變量，其泰勒級數展開的一級近似為：
　　|-|=|（?）|<4>
　　其中，是從格點i到格點j的位置矢徑
　　將〈4〉式代入〈3〉式，則得：
　　ε=JS?［（?）］<5>
　　上式中的第二個求和遍及格點i到所有鄰近的位置矢徑，例如對晶格常數為a的簡單立方晶格，需要六個位置矢徑S=a（±1，±1，±）求和。對于三種立方晶格很容易求和，計算表明三種立方晶格的表達式相同，只是系數因子不同。
　　將對i的求和變換為對整個鐵磁體求積分，則立方晶體交換作用能的表達式為：
　　ε=?蘩wd?觝，w=1/2C［（m）+（m）+（m）］<6>
　　其中C=c<7>
　　上式中，a為晶胞棱邊的長度，c為常數，其數值對于簡單立方，體心立方，面心立方分別為1，2和4。
　　4.交換作用與“經典”的交換作用
　　前面已經提到，交換作用沒有經典的對應物，是量子力學中電子波函數的重疊引起的。實際的交換能量論即〈1〉式來源于庫侖作用，因為它應用了反映pauli不相容原理的行列式。根據pauli不相容原理，兩個相同自旋的電子不能處于同一個位置，因此，它們的重疊就比經典電子的重疊小（詳情參見文獻1），因為交換能量項的主要特征是其積分中包含了對自旋波函數的求和，因自旋波函數是彼此正交的，如果自旋不平行取向，則積分為零。所以，這一項能量實際上表征了兩個自旋爬行取向，以及反爬行取向的兩個姿態的能量“岔值”，其作用在于力圖使自旋彼此平行取向（或者反平行取向，這取決于交換積分的正負）。
　　但是，在“經典”的交換作用中，恰恰忽略了交換作用最為重要的一點，即電子的自旋波函數，而是以經典的矢量來代替自旋。而這一變化，促使了經典的能量論代替了量子力學的交換作用能，這一變化，使得交換能量的計算顯得更加簡捷方便，也便于解決目前考慮到量子力學性質時難以解決的問題，比如，對三種立方晶格即（簡單立方，體心立方，面心立方）交換作用能的積分，以及對兩個反方向磁疇間疇壁結構的求解問題等。
　　可是，既然經典交換作用已經忽略了物質的原子本性，不以經典矢量來代替自旋。那么，我們在利用經典交換作用解決問題時，就必須忽略它帶來的局限性和一些限制。
　　5.經典交換作用的應用和限制
　　在上一節中已經提到，經典交換能量式為：
　　ε=JS?［（?）］<5>
　　其對三種立方晶格交換作用能的表達式為：
　　ε=?蘩wd?觝，w=1/2C［（m）+（m）+（m）］<6>
　　其中C=c<7>
　　a為晶胞棱邊的長度，c為常數，而對六角密堆晶體，譬如能對Si的體積同樣給出〈6〉式，只是系數C不同，其值為：
　　C=<8>
　　其中a為最鄰近原子間的距離。
　　對于低對稱性的晶體，〈6〉式需做某種修改。不多對于大多數有實際意義的情況，可以認為這一表達式仍然是交換作用的很好近似，比如連續介質的假設是物理真實的很好近似一樣。將常數C看作是材料的一個物理參數，其數值可以通過理論計算結果及測量數據的擬合而求得。當然，如果已知交換積分J，那么從理論表達式〈7〉和〈8〉也可求出常數C。
　　不過，J與溫度有關。靠近居里溫度T的J值不再適用于微磁學計算，因為微磁學往往適用于室溫附近。通常用鐵磁共振實驗可以較準確地測出交換常數C，對于鐵和鎳，其數量級C≈2×10erg/cm。
　　對于解決晶體中磁化強度矢量的方向隨空間位置變化的問題〈6〉式給出的交換作用能量是非常有用的工具。假設磁化強度矢量的數值在晶體內處處相同，且等于M（T），再均勻磁化，即晶體各點的磁化強度矢量均平行取向時，磁化強度的微商為零。交換作用能隨磁化強度矢量的空間變化率的增大而增加，正如所預期的，交換作用能力圖避免磁化強度矢量隨位置的急劇變化。
　　但是，交換作用能的使用是有其限制的，我們絕不能在超出其有效的近似范圍去應用它。它主要有以下限制。
　　5.1與材料是連續的基本假設有關
　　如果所涉及的任何特征長度都遠大于晶胞的尺寸，則材料是連續的，這個假設是合理的。但是，事先并不能完全保證這一點，不過，必須牢記，如果某個微磁學計算中涉及以長度為量綱的參數，只有在這些參數的數值遠大于晶格常數是結果才是可信的。
　　
　　5.2溫度不能太高
　　將格點上的自旋變為連續變量時，的數值在整個晶體內便自動的變為一個常數。同時實驗證實，磁疇中的數值是材料常數M（T），只與溫度有關，格點上具有固定自旋的圖像對于實際材料并不是一種很好的近似（參見文獻1）。下式給出的實驗事實
　　||=M（T）<9>
　　只有在較大的體積中求平均時才正確，而當漲落足以使從一點到另一點有差別時，在每個點上（9）式就不滿足了。因為缺乏更好的模型，微磁學理論仍假設〈6〉式到處成立。因此，這個理論不能應用于居里點附近，因為居里點附近很小的“局部”場都會改變的數值。
　　同時對此理論來做必要的修改前，不能應用于高溫。如果假設尚不清楚，不過已有一些推行此理論的嘗試，其中取得重大步驟的是Minnaja（參見文獻2），他證明在存在熱漲落的情況下，應該用下列交換作用能密度的表達式代替〈6〉式。
　　w=［（m）+（m）+（m）］<10>
　　其中，M為矢量的數值，是位置的函數。但是，這一理論仍存在問題，沒有用確定值的另一關系式代替（9）式，因而這部分工作尚未完成。另外在“成核問題”（Nucleation）的研究中（9）式是可以忽略的。
　　5.3這些近似只適用于相鄰自旋間“小夾角的情況”
　　不過，由于交換作用力是極短程的作用力，一般地講：相鄰自旋間的夾角預期是很小的。但是，這一普遍的規則并不排除一些非尋常情況下的例外，譬如在材料拐角處，由于其他能量項的制約磁化強度必須翻轉方向，如果以為〈6〉式是嚴格正確的，那么，形式上自旋夾角的不連續躍變會使交換作用能變為無窮大。因此，不能認為〈6〉式是嚴格成立的，因為它畢竟是〈2〉式的近似表達式。而自旋躍變時，〈2〉式并不趨于無窮大。〈3〉式總是有限的，而取近似的結果導致無窮大。這意味著這種近似方法不適用此特殊情況，應該采用別的方法進行研究。
　　6．結語
　　雖然經典的交換作用的使用存在諸多限制，在應對一些特殊情況時，問題也的確存在。但不可否認的是，對于大多數的問題，目前來說，別無選擇，只能采用〈6〉式。對于特殊的問題，我們就需采用一些特殊的技術。因而，在沒有找到更好的辦法之前，經典的交換作用不失為一種很好的方法。
　　
　　參考文獻：
　　［1］A.Aharoni.鐵磁學性理論導論［M］.蘭州：蘭州大學出版社.
　　［2］Minnaja.N（1970）.Micromagaetics at high temperature.phy.s.Rev.B.1，1151-9.
　　［3］鐘文定.鐵磁學（中）［M］.北京：科學出版社，1998.
　　［4］姜壽亭，李衛.凝聚態磁性物理［M］.北京：科學出版社，2005.