高等數(shù)學(xué)中的樣例教學(xué)

　　摘 要： 本文給出了作者從數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)心理學(xué)角度對(duì)高等數(shù)學(xué)中樣例的思考，提出學(xué)生記住和掌握一個(gè)例題，就能掌握并靈活運(yùn)用一系列數(shù)學(xué)概念和工具的樣題選取原則，從而使得學(xué)生在高等數(shù)學(xué)中學(xué)習(xí)到的概念、方法和思想有了依附點(diǎn)，不至于概念到概念、推理到推理，讓學(xué)生覺(jué)得學(xué)到的概念和方法，看得見(jiàn)、摸得著，進(jìn)而學(xué)得更穩(wěn)固扎實(shí)。
　　關(guān)鍵詞： 高等數(shù)學(xué) 樣例教學(xué) 選取原則
　　
　　一、引言
　　中國(guó)文藝有樣板戲，例如《紅燈記》、《沙家浜》、《智取威虎山》，等等。這些作品運(yùn)用中國(guó)傳統(tǒng)和外國(guó)藝術(shù)形式來(lái)表現(xiàn)戲劇的主題，這些樣板戲經(jīng)電影、電視、廣播反復(fù)播放，在這樣一種文藝熏陶下，“窮人的孩子早當(dāng)家”、“渾身是膽雄赳赳、打不盡豺狼決不下戰(zhàn)場(chǎng)”、“智斗、定能戰(zhàn)勝頑敵渡難關(guān)”、“娘子軍連連歌、軍民團(tuán)結(jié)一家親”這樣一些場(chǎng)景和表達(dá)出的思想為當(dāng)時(shí)的人們所熟知，連不熟悉戲曲的男女老少都能哼唱幾句。撇開(kāi)樣板戲，作為重要基礎(chǔ)課程的高等數(shù)學(xué)，它所引入的許多概念、方法如果能通過(guò)選取的樣板例題來(lái)傳遞，讓學(xué)生通過(guò)反復(fù)學(xué)習(xí)和研摩樣板例，來(lái)體會(huì)數(shù)學(xué)思想，靈活運(yùn)用數(shù)學(xué)概念和方法，那么樣板例題選取的研究工作就是有意義的。
　　二、選取準(zhǔn)則
　　從心理學(xué)角度來(lái)說(shuō)，教師提供給學(xué)生的新材料知識(shí)如果缺乏潛在的意義，即新知識(shí)與學(xué)生認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中的有關(guān)知識(shí)無(wú)法建立空質(zhì)的聯(lián)系，原有知識(shí)不能同化新知識(shí)，而獲得明確而穩(wěn)定的意義，而只是靠死記硬背獲得知識(shí)；或者學(xué)習(xí)者缺乏積極主動(dòng)學(xué)習(xí)心向，而處在被動(dòng)狀態(tài)；那么所學(xué)材料與學(xué)習(xí)者認(rèn)識(shí)結(jié)構(gòu)中原有的觀念的適當(dāng)部分只是建立起了暫時(shí)的、生硬的、表面的聯(lián)系，所學(xué)習(xí)的知識(shí)很快就會(huì)被學(xué)習(xí)者遺忘。另外，在教學(xué)內(nèi)容的選擇上，如果教師提供給學(xué)生的新材料知識(shí)缺乏潛在的意義和遷移的生成能力，那么學(xué)生往往就不能有效地加以消化和理解，以達(dá)到融會(huì)貫通。綜合上面的考慮，本文就高等數(shù)學(xué)樣例教學(xué)上提出來(lái)如下的選取準(zhǔn)則并給出相應(yīng)的樣例加以說(shuō)明。
　　1.能將所學(xué)許多概念和方法“串”起來(lái)的樣例。
　　人們的思維活動(dòng)是從問(wèn)題開(kāi)始的，如果教師能通過(guò)樣例引入問(wèn)題，分析問(wèn)題，并在這個(gè)過(guò)程中引入或復(fù)習(xí)已學(xué)過(guò)的概念、方法，以最終解決問(wèn)題，那么學(xué)生在圍繞解決問(wèn)題的過(guò)程來(lái)學(xué)習(xí)或復(fù)習(xí)概念和方法，就會(huì)學(xué)得自然、牢靠。
　　例如，物理上光的折射定律表述如下［１］：一束光從點(diǎn)A（0，y），y＞0出發(fā)經(jīng)過(guò)界面y=0到達(dá)B（x，y），x＞0，y＜0。設(shè)光在介質(zhì)1（y＞0）和介質(zhì)2（y＜0）中速度分別為v，v。
　　證明：折射定律=等價(jià)于光以最短的時(shí)間從點(diǎn)A到達(dá)點(diǎn)B，其中α，β分別是入射角和折射角，進(jìn)而從數(shù)學(xué)角度上說(shuō)明光傳波的特性：按用時(shí)最短的路徑傳波。
　　分析與解答：設(shè)光線與界面＄y=0＄的交點(diǎn)為變量x，則從A到B需要的時(shí)間為
　　t（x）=+，x∈（-∞，+∞）。
　　該例給出如何建立函數(shù)模型，將所研究的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為數(shù)學(xué)問(wèn)題一個(gè)范例。運(yùn)用連續(xù)函數(shù)介值性定理和函數(shù)的嚴(yán)格單調(diào)性證明了極值點(diǎn)存在和唯一性。該例研究函數(shù)的最小值是一個(gè)全局問(wèn)題，將其歸結(jié)為±∞的局部性質(zhì)（極限）、極值點(diǎn)候選點(diǎn)存在性、極值點(diǎn)判定等研究，這是一個(gè)將全局問(wèn)題轉(zhuǎn)化為局部問(wèn)題研究的范例。該例題中學(xué)生可以體會(huì)到極限的應(yīng)用，導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)單調(diào)性上應(yīng)用，可導(dǎo)極值點(diǎn)的必要條件，函數(shù)連續(xù)性在零點(diǎn)存在性問(wèn)題上應(yīng)用。
　　學(xué)生熟練掌握該例就能對(duì)極限、連續(xù)性、導(dǎo)數(shù)、最值問(wèn)題求解步驟有個(gè)感性的認(rèn)識(shí)。
　　類(lèi)似地，從物理、化學(xué)、生物或其他工程技術(shù)鄰域提出典型樣例幫助理解和掌握高等數(shù)學(xué)中概念和方法的做法，以及從數(shù)學(xué)角度來(lái)理解一些大自然最優(yōu)規(guī)律很有意義。
　　2.能幫助理解和記憶抽象概念、性質(zhì)，實(shí)現(xiàn)從具體到抽象的過(guò)渡的樣例。
　　高等數(shù)學(xué)中定積分及其性質(zhì)比較抽象，學(xué)生掌握起來(lái)較難，這時(shí)可以選取一個(gè)具體的例子加以講解，來(lái)幫助學(xué)生來(lái)理解和掌握這些性質(zhì)。高等數(shù)學(xué)中定積分就是一維長(zhǎng)度向平面區(qū)域面積的推廣，定積分存在與否實(shí)際是與平面區(qū)域面積是否有定義密切相關(guān)的。那么定積分存在被積函數(shù)具有什么特征呢？
　　例如Rimanne函數(shù)R（x）=1/q，x=p/q∈（0，1），p，q互質(zhì)0，x=0，1，或?yàn)椋?，1］中無(wú)理數(shù)。通過(guò)Riemanne函數(shù)，學(xué)生可以更好認(rèn)識(shí)可積函數(shù)的性質(zhì)：了解一個(gè)可積函數(shù)可以有很多（可數(shù)個(gè)）不連續(xù)點(diǎn)，但是它仍可以在［0，1］上可積。除此之外，通過(guò)Riemanne函數(shù)還可以了解如下的可積函數(shù)性質(zhì)。
　　（1）函數(shù)的可積性是一個(gè)整體性質(zhì)：f（x）在區(qū)間［0，1］上可積，這時(shí)可以改變可數(shù)個(gè)點(diǎn)處f（x）函數(shù)值的定義，則所得新函數(shù)仍是可積的且函數(shù)的積分值不變。設(shè)f（x）≥0，x∈［a，b］且在［a，b］上可積，則?蘩f（x）dx≥0。現(xiàn)在問(wèn)題是進(jìn)一步如果存在點(diǎn)x∈［a，b］有f（x）＞0，問(wèn)是否一定有?蘩f（x）dx＞0？考察黎曼函數(shù)R（x），容易知道R（x）在［0，1］上非負(fù)且在（0，1）上有理點(diǎn)取正值，盡管取R（x）＞0的點(diǎn)有可數(shù)多個(gè)，但是仍有?蘩R（x）dx=0。對(duì)R（x）＞0的點(diǎn)進(jìn)行研究發(fā)現(xiàn)，這些點(diǎn)一個(gè)共同點(diǎn)都是R（x）的不連續(xù)點(diǎn)。于是，一個(gè)自然問(wèn)題就是：設(shè)f（x）在［a，b］上非負(fù)且可積，如果在x∈［a，b］處連續(xù)且f（x）＞0，則是否一定有?蘩f（x）dx＞0？回答是肯定的。該例可以引導(dǎo)學(xué)生思考對(duì)積分值做出影響的是函數(shù)定義域中的哪些點(diǎn)或哪些子集。
　　（2）變限積分函數(shù)的可導(dǎo)性：由［1，2］知道如下結(jié)論：f（x）在［a，b］上可積，則F（x）=ff（t）dt，x∈［a，b］是連續(xù)函數(shù)；進(jìn)一步，若f（x）在x∈［a，b］處連續(xù)，則變限積分函數(shù)F（x）在點(diǎn)x處可導(dǎo)，且F′（x）=f（x）。一個(gè)自然問(wèn)題出來(lái)了，若f（x）在［a，b］上可積，且在x∈［a，b］處不連續(xù)，則F（x）是否一定不可導(dǎo)呢？回答是否定的。考慮Riemanne函數(shù)，則由積分單調(diào)性知0≤G（x）=?蘩R（t）dt≤?蘩R（t）dt=0，于是G（x）當(dāng)然在［0，1］處處可導(dǎo)。高等數(shù)學(xué)中一些重要的函數(shù)形式就是由變限積分定義的函數(shù)，例如lnx=?蘩dt，arcsinx=?蘩dt，除此之外，還有單擺運(yùn)行周期的函數(shù)就是一個(gè)由變限積分函數(shù)t=?蘩dθ就是一個(gè)由變限積分函數(shù)。因此借助于黎曼函數(shù)來(lái)理解對(duì)這類(lèi)函數(shù)連續(xù)性、單調(diào)性、可導(dǎo)性等性質(zhì)當(dāng)然是很有意義的。
　　3.了解問(wèn)題的來(lái)龍去脈并為新課程開(kāi)啟大門(mén)的樣例。
　　現(xiàn)在使用的教材中大部分對(duì)冪級(jí)數(shù)和微分方程的關(guān)系都放在習(xí)題之中，通常是讓學(xué)生驗(yàn)證某一冪級(jí)數(shù)是方程的解。如果教師能先通過(guò)一個(gè)簡(jiǎn)單微分方程的冪級(jí)數(shù)解的求解過(guò)程，導(dǎo)出冪級(jí)數(shù)，再來(lái)研究?jī)缂?jí)數(shù)的性質(zhì)，那么這個(gè)過(guò)程會(huì)使得學(xué)生感覺(jué)冪級(jí)數(shù)性質(zhì)研究是有迫切需要的，也是有意思的。
　　考察Airy方程［3］y″=xy，x、y∈R的解，其中y″=。
　　分析與解答：可設(shè)方程有冪級(jí)數(shù)解y=ax。對(duì)y進(jìn)行逐項(xiàng)微分，并調(diào)整求和指標(biāo)，再由冪級(jí)數(shù)的唯一性，就得到下面的遞推公式（n+2）（n+1）a=a，n=0，1，2，…。
　　故得到原方程的冪級(jí)數(shù)解為
　　y=a［1+］+a［x+］，其中a，a為任意常數(shù)。
　　由［2］知，若a≥0且a=0，則=0。易驗(yàn)證上述冪級(jí)數(shù)解中=0，=0，=0，再由數(shù)列極限與子列極限關(guān)系知，=0。因此，由冪級(jí)數(shù)收斂半徑的根式判別法知，方程解的定義域?yàn)椋?∞，+∞）。
　　該例可以使得學(xué)生對(duì)冪級(jí)數(shù)收斂半徑及其性質(zhì)研究意義有了切實(shí)體會(huì)，并對(duì)數(shù)學(xué)分析中函數(shù)的來(lái)源有了了解，并提高學(xué)生對(duì)后繼微分方程課程的學(xué)習(xí)興趣，以及對(duì)以后碰到特殊函數(shù)有了感性認(rèn)識(shí)。
　　三、結(jié)語(yǔ)
　　通過(guò)教學(xué)實(shí)踐和與學(xué)生的交流，我體會(huì)到一個(gè)好的教學(xué)樣例可以更好地幫助學(xué)生了解和掌握高等數(shù)學(xué)中的基本概念、工具，使之學(xué)得扎實(shí)牢靠。本文給出的幾個(gè)樣例的選取原則意在拋磚引玉，不斷思考如何用適當(dāng)選取的樣例來(lái)將所教學(xué)的知識(shí)串起來(lái)，讓學(xué)生好學(xué)、好記、好用，提高他們的學(xué)習(xí)興趣，并拓寬他們的眼界和思路。
　　
　　參考文獻(xiàn)：
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