從數學探究性課堂教學中的一個案例想起

　　摘 要： 新課程的基本理念之一，也是新課程的重要目標和內容標準之一就是培養學生的探究能力。因此當前課堂教學改革提倡探究性課堂教學，數學探究性課堂教學是當前課堂教學改革的亮點，但它同時又是當前課堂教學改革的難點，這是因為數學探究性課堂教學與傳統的數學教學在方法上有明顯的差異。尤其在教學材料的組織上也需要有所創新，要體現“親和力”、“問題性”、“思想性”和“聯系性”。作者根據一道經典的數學題談談數學探究性課堂教學的有效性。
　　關鍵詞： 數學探究性課堂教學 有效性 創新
　　
　　一、展示問題
　　問題1.定長為2的線段AB的兩個端點在拋物線x=y上移動，記線段的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求出此時直線AB的方程.
　　二、解決問題
　　1. 首先讓學生獨立分析題目的條件，探求解題思路。
　　學生1：點M到y軸的最短距離與點M的縱坐標有關，因為點M是線段AB的中點，所以點M的縱坐標與AB的坐標有關，又AB的長度為２也與AB的坐標有關，我想可以設出直線AB的方程，然后用弦長公式及韋達定理解決問題.
　　學生１的分析獲得了其他學生的認可，我和學生共同完成本題的解答如下：
　　設直線AB方程：y=kx+b，設A（x，y），B（x，y），M（x，y）
　　由y=kx+bx=y?圯2y-（k+4b）y+2b=0
　　由韋達定理得：y===b+
　　∵|AB|=|y-y|=
　　==2
　　∴b=-
　　∴y=+b=+
　　=+
　　=+-≥-=
　　當且僅當=即k=3時“=”成立，此時y有最小值，b=.直線AB的方程為y=x+，y=-x+.
　　2.發散思維，探求其他解題思路。
　　學生2：因為AB是拋物線上的點，由y=我想到與點A，B到拋物線的準線距離有關.
　　我讓學生2在黑板上展示他的解法：
　　如圖，|MM′|=（|AA′|+|BB′|）=（|AF|+|BF|）≥|AB|=1.
　　當且僅當線段AB過焦點F時“=”成立，點M到y軸的最短距離是1-=.
　　對于學生2的精彩解法，我和學生們給予熱烈掌聲。但此時有學生提出疑問.
　　學生3：線段AB能過焦點嗎？
　　學生3的質疑引起了全班同學的思考.
　　學生2：線段AB是可以過焦點的，因為線段AB的長度是2比拋物線的通徑大.
　　學生3：若線段AB的長度比拋物線的通徑小，線段AB是不會過拋物線的焦點的，會怎樣？
　　對學生3的再次質疑又一次激起學生們思考，我順勢拋出第二個問題.
　　三、拓展問題
　　問題2.如果線段AB的長度為l，那么對于不同的l值，問題又如何解決?
　　學生們開始了緊張的思考和解答，我在巡視中發現大部分學生用前述的方法１來解決.我請學生４向同學展示他的解法如下：
　　由前述方法１可得：
　　y==b+
　　又|AB|=|y-y|=l?圯b=（-k）
　　∴y=b+=（-k）+=（+k）
　　令1+k=t，則t≥1，y=（+t-1）
　　若2l≥1即l≥時，易知y在［1，2l］上單調減，在［2l，+∞）單調增，故在t=2l時，y有最小值（4l-1）.
　　若2l＜1即l＜時，y在［1，+∞）單調增，當t=1時，y有最小值l.
　　學生4建立關于y的函數，利用函數的單調性完美解決了問題，他很得意，全班同學也很興奮，我適時拋出第三個問題，目的是引導學生解題要注意歸納.
　　問題3.細棒的長度不同，y的最值也不同，有什么規律嗎？
　　學生們對剛才的解題進行重新審視，很快有學生要求發表看法.
　　學生5：由學生４的解答可知，當l≥時，在t=2l時，y有最小值（4l-1），由y==b+及1+k=t可得b=，此時線段AB過拋物線x=y的焦點，又拋物線x=y的通徑長為，所以當線段AB的長度l大于或等于拋物線的通徑長時，y有最小值；當l＜時，當t=1時，y有最小值l，由1+k=t可得k=0，所以當線段AB的長度l小于拋物線的通徑長時，線段水平放置y有最小值.
　　至此，問題已得到解決。在解決問題的過程中，學生的情緒是高昂的，在參與問題解決的過程中，學生的探索和創新能力得到了加強.由于我所任教的學校生源較好，為了進一步激發學生的學習興趣，培養學生的創新思維，我拋出幾個問題，供有興趣的學生課后作進一步探討.
　　四、課外探究
　　問題4：定長為2的線段AB的兩個端點在橢圓x+=l上移動，記線段的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求出此時直線AB的方程.
　　問題5：定長為l的線段AB的兩個端點在橢圓x+=1上移動，記線段的中點為M，求點M到y軸的最短距離，并求出此時直線AB的方程.
　　問題6：課后請你收集一些與本節課研究內容有關數學問題或物理問題，再作研究.
　　問題7：對本節課研究的問題有興趣的同學可以合作交流寫一篇數學小論文.
　　五、教學反思
　　探究式課堂教學是新課標所提倡的一個重要的教學觀念，它強調課堂教學設計和開發過程，重視學生的探究活動，真正體現學生的主體性.因此我們必須思考怎樣探究.
　　1.提出有效的問題，創設問題情境，引發學生的探究行為。
　　（1）引導學生闡述自己觀點——讓學生講思路
　　傳統的教學強調教師的指導示范作用，要教師把知識和方法教給學生，忽視對學生獨立探究能力的培養.現代學習理論認為：探究能力應是學生在學習知識的過程中動態生成的，而不是獨立于事物之外由教師傳授而得.因此，本節課力求不斷鼓勵學生說出自己的想法，并展示自己的解法.
　　（2） 鼓勵學生勤思善問——讓學生提問題
　　學生帶著自己的知識經驗、思考參與課堂教學活動，在師生、生生的交互作用中，不斷產生新的問題，教師要鼓勵學生說出自己的困惑和疑問，引導學生探究解決新問題.
　　（3）適當引領探究方向——讓學生找規律
　　教師的教學設計要更多思考學生如何學，知識教學盡量實現讓學生自己鉆研、領悟和感受.由于課堂時間的限制，課內的探究是有限的，教師要適當指引探究的方向，讓學生在課后進行再思考、再探究.學生存在著一些生活經驗，這些經驗是學生探究性學習的基礎，但其中往往有一些是錯誤的，例如教學中所遇到的“概率問題”，學生都認為抽簽的先后順序是影響到被抽到的概率的.這時側重舉例，引導學生首先猜測結果發生的概率，逐步消除錯誤的認識和經驗.學生在此過程中不斷將自己的最初猜測、實驗結果和理論進行比較，促進了他們修正自己的錯誤認識和經驗，從而建立正確的直覺.
　　在課堂教學中，教師也要不斷地釋放自己的智慧、激情、潛能和創造力.我們有理由相信：只有具有主體性的教師，也才能培養出具有主體意識的學生.
　　在對待教材的問題上，教師要做到“用教材教，而不是教教材”.“用教材教”是一種以學生發展為本的“人本教學”.在這里，教材是“范本”，是“憑借”，相對于“教教材”來說，教師具有更多的主體性.對待教材，教師“入乎其內，出乎其外”.而且，作為課程開發主體的教師，不僅僅“用教材教”，其自身也是課程的一部分.當課程從具體的教材走向經驗和過程時，教師的經驗和知識、與學生的對話與交往、對教學過程的調控等，都是重要的課程內容.教師不僅是一名教師，而且是一個完整的人.我們應讓課堂教學過程成為師生共同分享、共同成長的過程.
　　2.給學生充足的探究時空和自由度，經歷探究過程。
　　3.鼓勵學生運用適合自己的學習方式。
　　成人的探究活動，一定是圍繞著一個問題，運用一定的方法、策略進行的，先干什么，再干什么，遇到新的問題怎么解決，都是有一定規律的.學生的探究方式是簡單的，并不一定都是有效的，因此需要教師去引導和指導.但是，學生的本來探究方式是應該受到尊重的，也是需要得到保護的，這是形成個性化學習方式的前提.同樣，適合個性化學習方式的前提必須是教師先有靈活的個性化教學的特性.
　　4.學習任務自始至終都很明白。
　　教師要讓學生知道學什么和學到什么程度，學生清楚地知道了，才會有意識地主動參與，否則有意識的參與就失去了方向.有的教師為了體現啟發性，體現學生的創造性，把本來應該很明確告訴學生的任務“精心設計”，希望學生能自己發現，結果反倒把學生弄得“云里霧里”，既達不到效果，又浪費時間.教師在設計學生的探究活動時，要盡可能讓學生明確探究的任務，需要學生自己思考的不能“代辦”，需要明確指出的，一定要說得很清楚.
　　如何提高探究性教學水平，我們還需要深入的研究和探討.但我覺得，首先，正視課堂動態生成，才能發揮教師主觀能動性；其次，挖掘“本原性”問題，聚焦重要的數學思考方式，同時關注“認知節點”，選擇適度的潛在距離，這樣才能實現探究性課堂的有效性.