異面直線距離的求解方法

　　摘 要： 在數學教學中，充分運用數學知識的解題功能，有利于學生的全面發展，培養學生分析問題解決問題的能力，從而挖掘學生更深層次的學習潛能。本文從四個方面探討了如何根據各種情形運用不同的方法求異面直線的距離，有助于教學難點的突破，可以引導學生更新解題思路，提高學生的思維能力。
　　關鍵詞： 異面直線距離 公垂線法 最值法 線面平行法 體積法
　　
　　在立體幾何學習中，求異面直線之間的距離是學習中的難點，因此掌握幾種求異面直線距離的常用方法是非常必要的。
　　一、公垂線法
　　找出或作出兩異面直線的公垂線然后進行計算是求異面直線之間的距離的首要方法。由于兩條異面直線的公垂線唯一存在，因此有時找出或作出其公垂線比較困難，但是如果兩異面直線中的一條在另一條所在的垂面內時，它們之間的公垂線往往比較容易作出。
　　例1：邊長為a的正方形的兩條對角線AC，BD交于O，以BD為折痕將正方形折成空間圖形，這時若△ACD為等邊三角形，求異面直線AC和BD之間的距離。
　　解：如圖，∵△ACD為等邊三角形
　　∴AD=DC=AC=AB
　　∴點A在平面BCD的射影O為△BDC的外心
　　∵△BCD為直角三角形
　　∴O為斜邊BD的中點
　　∵AO⊥平面BCD
　　∴AO⊥BD
　　又∵OC⊥BD
　　∴BD⊥平面AOC
　　在平面AOC內作OE⊥AC于E，則OE為異面直線BD、AC距離。
　　∵AO=OC=a，AC=a，又在Rt△AOC中，OA?OC=AC?OE
　　∴OE==a
　　二、最值法
　　如果兩條異面直線分別在兩個互相垂直的平面內，應用最值法求兩條異面直線的距離是比較方便的。我們知道兩條異面直線之間的距離是連結異面直線上兩點距離中的最小者，故我們可以將異面直線的距離表示成某個變量的目標函數，通過求函數的最小值求得兩條異面直線的距離。
　　例2：已知正方體ABCD—ABCD的棱長為a，求異面直線AB和BD的距離。
　　解：如圖，在AB上任取一點M，在平面AB內作MP⊥AB于P，在平面AC內作PN⊥BD于N，連MN。
　　∵平面AB⊥平面AC，平面AB∩平面AC=AB
　　∴MP⊥平面AC
　　∴MP⊥PN
　　設MP=X
　　∴AP=X，PB=a-x
　　∴PN=PBcos45°=（a-x）
　　∴在Rt△MPN中，MN=X+（a-x）=x-+a
　　∴當x=時，MN取最小值a。
　　三、線面平行法
　　如果兩條異面直線，一條既不在另一條所在的垂面內，各自所在的平面又不互相垂直，這時應用公垂線法或最值法求異面直線的距離比較困難，我們可將兩異面直線之間的距離轉化為直線到平面的距離，這種求異面直線距離的方法稱之為線面平行法。即選擇異面直線中的一條，過它作另一條直線的平行平面，則該直線與平面的距離即為所求兩異面直線的距離。
　　例3：設A，B分別為變數為θ的二面角α-L-β的兩個面內的點，它們到棱L的距離分別為a，b，求證：異面直線AB與L的距離d=。
　　證明：如圖，過A作AC⊥L于C，過B作BD⊥L于D，作DE∥AC且DE=AC，連AE，BE，則∠BDE=θ且ACDE為矩形。
　　∵DC∥AE
　　∴DC∥平面ABE
　　∴DC到平面ABE的距離即為異面直線AB與L的距離
　　∵DC⊥BD，AE∥CD
　　∴AE⊥BD，又AE⊥DE
　　∴AE⊥平面BDE
　　∴平面ABE⊥平面BDE
　　在平面BDE內過D作DF⊥BE于F，則DF⊥平面ABE，
　　∴DF為直線L到平面ABE的距離。
　　在BDE中，∵BD=b，DE=AC=a
　　∴BE=
　　∵BD?DEsinθ=BE?DF
　　∴DF==
　　本例導出的結果實為兩異面直線的距離公式，應用此結論解決夾在二面角之間的直線與二面角的棱所在直線之間的距離是很方便的。
　　四、體積法
　　應用線面平行法求異面直線的距離，有時直線到平行平面的距離難以作出或計算困難，這時我們可采用等體積法。體積法就是構造一個棱錐，把異面直線的距離看作是該棱錐的高，利用棱錐體積的不變性，列方程求解。
　　例4：已知三棱柱P—ABC是底面邊長為4cm的正三角形，棱PC=2cm，且PC⊥底面ABC，D，E分別為AB，BC的中點，求異面直線CD，PE的距離。
　　解：如圖，在△ABC中，過E作EF∥CD交AB于點F，則CD∥平面PEF，
　　∴CD到平面PEF的距離就是兩異面直線CD，PE的距離。
　　∵PC⊥平面ABC，AB⊥CD
　　∴AB⊥PD（三垂線定理）
　　∵DF=AB=cm，EF=CD=cm
　　∴S=DF?EF=??=
　　∵PD=PC+CD=4+24=28cm，PF=PD+DF=28+2=30cm
　　PE=PC+CE=4+8=12cm
　　∴cos∠PEF===?
　　∴sin∠PFE=
　　∴S△PEF=PF?EF?sin∠PFE=???=3（cm）
　　在三棱柱P—DEF中，設頂點D到面PEF的距離為d
　　∵V=V
　　∴PC?S=d?S
　　∴1/3?2?=1/3d?3
　　∴d=cm
　　即異面直線CD，PE的距離為cm。
　　以上就四個方面探討如何針對各種不同情形運用不同的方法求異面直線的距離。當然，數學解題方法是多樣的，這也體現了運用數學知識解題的靈活性和多角度性。如何培養學生分析問題解決問題的能力，激發他們啟迪思維，挖掘其潛能，使其成為一名社會的有用之才，這是廣大教育工作者探索追求的目標。
　　
　　參考文獻：
　　［１］殷顯耀主編.新教學方法.吉林科技出版社，2001.11，第3版.
　　［2］楊國初.幾何思維能力及其培養策略.教學參考，2008.8.
　　［3］曾蕓芳.發散思維在幾何教學中的運用.新課程學習（基礎教育），2010.
　　［4］［捷］夸美紐斯著.傅任敢譯.大教學論.人民教育出版社，1984，第1版.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”