取整函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

　　摘 要： 取整函數(shù)是一個常用的函數(shù)，它的形式簡單，但性質(zhì)獨特，且在求極限、求導(dǎo)、求級數(shù)、求定積分、解方程等方面有廣泛應(yīng)用。
　　關(guān)鍵詞： 取整函數(shù) 定義 應(yīng)用
　　
　　取整函數(shù)f（x）=［x］早在十八世紀就為“數(shù)學(xué)王子”高斯所采用，因此f（x）=［x］得名為高斯函數(shù).隨著時代的發(fā)展，現(xiàn)在的高斯函數(shù)不再僅僅指下取整函數(shù)，還包括中取整函數(shù)和上取整函數(shù).實際上取整函數(shù)雖然定義簡單，但其性質(zhì)獨特，應(yīng)用也相當?shù)膹V泛.
　　1.取整函數(shù)的定義
　　設(shè)x∈R，用〈x〉表示不小于x的最小整數(shù)，則稱f（x）=〈x〉為上取整函數(shù)（如圖1-1）［１］.用［x］表示不大于x的最大整數(shù).則稱f（x）=［x］為下取整函數(shù)（如圖1-2）［2］.最接近x的整數(shù)為中取整函數(shù)，即四舍五入函數(shù).
　　顯然，f（x）的定義域是R，值域是Z.任一實數(shù)都能寫成整數(shù)部分與非負純小數(shù)之和，即x=［x］+{x}，而{x}為x的小數(shù)部分.f（x）={x}稱為小數(shù)部分函數(shù)（如圖1-3），定義域為R，值域為［0，1）.
　　（1）在求極限中的應(yīng)用
　　例1.求x的極限.
　　解：當x≠0時，有-1<≤;當x>0時，有1-x　　（2）在級數(shù)求解中的應(yīng)用
　　例2.討論級數(shù)的斂散性.
　　解：因為=發(fā)散，所以級數(shù)非絕對收斂.
　　當k≤n<（k+1），k≥1時，=k，（-1）=（-1）保持定號，所以有=（-1）++…+=（-1）u.
　　其中u=++…+，顯然，≤u≤.
　OggIojtLTIwFKZzOIqSDuA==　當k充分大時u單調(diào)減少，且k→∞時，u→0.所以，由交錯級數(shù)的萊布尼茨判別法知（-1）u收斂，從而原級數(shù)條件收斂.
　?。?）在實際生活中的應(yīng)用
　　取整函數(shù)的實質(zhì)是建立了一個實數(shù)集到整數(shù)集的一個映射，可以將任意實數(shù)轉(zhuǎn)化為整數(shù)，在實際數(shù)學(xué)問題及生活問題中，我們可以充分利用此函數(shù)的轉(zhuǎn)化作用.
　　例3.在某次會議中需要選取會議代表，規(guī)定每m人選取1人，余額滿n人可以增選1人（1≤n＜m），則推選的代表數(shù)y與候選人的總數(shù)x，可用如下的函數(shù)式表示，y=或y=+1=<>.
　　此類問題在實際生活的各個領(lǐng)域中有著廣泛的應(yīng)用.各種按重量、長度、體積等量度計費的制度都是采用函數(shù)［x］，如郵政資費按郵品重量計算、出租車按里程計費等.
　　
　　參考文獻：
　　［1］方學(xué)榮，馮平.高斯函數(shù)的性質(zhì)［J］.新疆師范大學(xué)學(xué)報，2004，23，（2）:13-15.
　　［2］閔嗣鶴，嚴士鍵.初等數(shù)論（第三版）［M］.高等教育出版社，2006：19-23.
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”