取整函數的性質及應用

　　摘 要： 取整函數是一個常用的函數，它的形式簡單，但性質獨特，且在求極限、求導、求級數、求定積分、解方程等方面有廣泛應用。
　　關鍵詞： 取整函數 定義 應用
　　
　　取整函數f（x）=［x］早在十八世紀就為“數學王子”高斯所采用，因此f（x）=［x］得名為高斯函數.隨著時代的發展，現在的高斯函數不再僅僅指下取整函數，還包括中取整函數和上取整函數.實際上取整函數雖然定義簡單，但其性質獨特，應用也相當的廣泛.
　　1.取整函數的定義
　　設x∈R，用〈x〉表示不小于x的最小整數，則稱f（x）=〈x〉為上取整函數（如圖1-1）［１］.用［x］表示不大于x的最大整數.則稱f（x）=［x］為下取整函數（如圖1-2）［2］.最接近x的整數為中取整函數，即四舍五入函數.
　　顯然，f（x）的定義域是R，值域是Z.任一實數都能寫成整數部分與非負純小數之和，即x=［x］+{x}，而{x}為x的小數部分.f（x）={x}稱為小數部分函數（如圖1-3），定義域為R，值域為［0，1）.
　　（1）在求極限中的應用
　　例1.求x的極限.
　　解：當x≠0時，有-1<≤;當x>0時，有1-x　　（2）在級數求解中的應用
　　例2.討論級數的斂散性.
　　解：因為=發散，所以級數非絕對收斂.
　　當k≤n<（k+1），k≥1時，=k，（-1）=（-1）保持定號，所以有=（-1）++…+=（-1）u.
　　其中u=++…+，顯然，≤u≤.
　OggIojtLTIwFKZzOIqSDuA==　當k充分大時u單調減少，且k→∞時，u→0.所以，由交錯級數的萊布尼茨判別法知（-1）u收斂，從而原級數條件收斂.
　　（3）在實際生活中的應用
　　取整函數的實質是建立了一個實數集到整數集的一個映射，可以將任意實數轉化為整數，在實際數學問題及生活問題中，我們可以充分利用此函數的轉化作用.
　　例3.在某次會議中需要選取會議代表，規定每m人選取1人，余額滿n人可以增選1人（1≤n＜m），則推選的代表數y與候選人的總數x，可用如下的函數式表示，y=或y=+1=<>.
　　此類問題在實際生活的各個領域中有著廣泛的應用.各種按重量、長度、體積等量度計費的制度都是采用函數［x］，如郵政資費按郵品重量計算、出租車按里程計費等.
　　
　　參考文獻：
　　［1］方學榮，馮平.高斯函數的性質［J］.新疆師范大學學報，2004，23，（2）:13-15.
　　［2］閔嗣鶴，嚴士鍵.初等數論（第三版）［M］.高等教育出版社，2006：19-23.
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