高中數學問題情境創設探析

　　《普通高中數學課程標準（實驗）》在教學建議中指出:“數學教學要體現課程改革的基本理念，在教學設計中充分考慮數學的學科特點，高中生的心理特點，不同水平、不同興趣學生的學習需要，運用多種教學方法和手段，引導學生積極主動地學習，掌握數學的基礎知識和基本技能，以及它們所體現的數學思想方法，發展應用意識和創新意識，對數學有較為全面的認識，提高數學素養，形成積極的情感態度，為未來發展和進一步學習打好基礎。”由于數學教學往往要在一定的問題情境中進行，數學內在的價值與生命力也往往存在于從一個問題到另一問題的不斷轉換的數學活動過程中，因此，充分利用高中數學教學內容的背景材料和自身特點，創設合理的數學問題情境，不僅可以使學生容易掌握數學知識和技能，而且可以構建學生渴求知識、發展能力、陶冶情操的學習場，使學生更好地體驗高中數學教學內容中的情感，使看似枯燥、抽象的高中數學知識變得生動形象、妙趣橫生，從而提高高中數學教學的質量和效率，對于實現高中數學課程教學目標具有十分重要的現實意義。我結合自己的數學教學實踐，初步探討在高中數學課堂教學中創設數學問題情境的基本要求。
　　1.高中數學問題情境
　　高中數學問題情境是一系列與當前數學活動有關的刺激模式、事件和對象，在本質上，它是數學教學中具有特殊意義的教學環境。這種教學環境除了物理意義上的存在外，還有心理意義上的存在。從物理意義上講，它具有客觀性，是一個看得見、摸得著的數學教學背景，它可以是現實生產、生活材料，也可以是數學學科的問題，還可以是與數學學科相關的其他學科的內容等。從心理意義上講，它充分反映了學生對數學學習的主觀愿望，能激發學生的數學學習興趣，喚起學生對數學知識的渴望和追求，讓學生在數學學習中伴隨著一種積極的數學情感體驗，使他們積極主動地投入到數學學習活動中去。基于高中數學問題情境展開的高中數學教學活動過程，其基本特征是有一個由問題引出的情境、實驗或懸念，啟發學生去動手、動腦，并在數學活動過程中發現、產生新的問題，進一步思索、猜想、反思、尋求方法……使學生在思考、探究問題的過程中，建構靈活的知識基礎，發展有效地解決問題的能力。
　　前蘇聯教育家贊科夫曾告誡廣大教師：“不管你花費多少力氣給學生解釋掌握知識的意義，如果教學情境設計得不能激起學生對知識的渴求，那么這些解釋就將落空。”在高中數學教學活動中，數學問題情境是產生數學概念、發現數學問題、提出數學問題和解決數學問題的背景、前提、基礎和條件，只有設計合理有效的數學問題情境，才能激起學生對知識的渴求，才能使學生更好地理解抽象的數學知識，發展學生的數學思維能力。高中數學問題情境是高中數學教學中其它教學情境的載體，其它數學教學情境必須負載在具體的數學問題情境之上才具有數學教學的內在價值，并因此而使高中數學課堂充滿生機和活力。
　　2.高中數學問題情境的創設
　　高中數學學習是對一個數學新情境的適應，因數學活動的性質不同，高中數學教學中常常需要創設不同類型的數學問題情境。比如，為了讓學生形成新的數學認知沖突，喚起對數學新知識的渴望和探求，教師常常需要設置一些障礙性的數學問題情境；為了引導學生發現相關數學問題的特征或內在規律，形成數學概念，教師常常需要呈現一定的背景材料，創設高中數學中相關問題的發現情境；為了讓學生圍繞如何解決某一數學問題去組織學習，展開數學認知、探究活動，教師常常需要創設問題解決型的數學問題情境。
　　2.1從問題內容看，創設數學問題情境應注意問題的現實性、激勵性和可探索性。
　　數學問題情境作為組織數學教學的啟動器和動力源，將數學教學內容以數學問題的形式融入具體的情境中得以展開，無疑數學問題的質量決定了數學問題情境的教學效力，為此，它特別要求作為情境的數學問題其內容應具有一定的現實性、激勵性和可探索性。所謂現實性，要求能從學生的現實生活世界中提取相關素材創設數學問題情境。比如，在“余弦定理”的引入教學中，我創設了如下的問題情境：請同學們考慮下面的問題，數學課代表（稱為B）的家距學校（稱為A）2500米，數學老師（稱為C）的家離學校3500米，問這數學教師和數學課代表的家相距多遠？有的同學回答:1000米或6000米，而有的同學不同意，認為BC間的距離不確定。那么究竟誰是誰非，從中我們又可以獲得哪些數學啟示呢？我畫了一個圖（如右圖），AB=2500m，AC=3500m，這時BC間的距離隨角A大小的變化而變化。設BC=a，AC=b，AB=c，第一位同學的回答實際上就是當A=0°時，a=c-b；當A=180°時，a=c+b，為了考察a與b，c，A間的關系，我們再看幾個特例：當A=90°時，a=b+c；當A=45°時，作出高CD，利用勾股定理，得a=（b）+（c-b）=b+c=bc；當A=120°，a=b+c+bc；…對上述過程進行歸納，可以得到一般的表示，即有a=b+c+kbc，那么，這里的k與角A有哪些必然的聯系呢？通過進一步的分析，引導學生得出k=-2cosA，于是余弦定理呼之欲出。
　　高中數學教學中問題情境的現實性一方面要求教師考慮問題題材能與時俱進，體現時代特征，另一方面則要求能以學生的實際經驗為基礎，素材背景必須接近學生的現實生活，因地制宜。有些老師由于沒有能注意到這一點，而使得問題情境的效果大打“折扣”甚至產生一些負效應。比如，有的老師不考慮農村學生的實際經驗，以按揭購房、房屋裝修等充滿城市文化氣息的素材來創設數學問題情境，必然會使學生摸不著頭腦。同樣的，類似于魚塘中的數學、種子發芽率等素材的數學問題情境也讓城里的學生感到很遙遠。
　　高中數學教學中問題情境的激勵性要求問題情境能緊扣學生的認知沖突，富有問題性和挑戰性，而可探索性則要求問題的難度必須適宜，能夠立足于不同層次學生的學習實際。例如，在學習“球面距離”時，可借助動畫等直觀手段引導學生探討：在通常情況下，大海中的輪船應該沿怎樣的航線航行？空中的飛機應該沿怎樣的航線飛行？學習用基本不等式求最值時，可引導學生從數學角度看易拉罐:為什么通常把易拉罐設置成圓柱體?它的直徑與高的比是否合理?這些問題由于較好地把握了高中學生的數學基礎，不僅具有現實性，而且具有激勵性和可探索性。可探索性數學問題情境的實質是學生可借助于“腳手架”式的數學問題進行數學認知。如在學習“二項式系數的性質”時，提供比外國人發現早將近600年的“楊輝三角”，然后由學生自己去歸納、總結、發現、提出數學猜想，進而探索其中的奧秘。由于所提供的數學背景含有豐富的數學信息，每個學生都能發現、提出許多問題，且不同的學生會提出不同的問題，因此這樣的情境能為每個學生提供足夠的探索、研究和發展的空間，使每個學生都能進行“再發現”。
　　2.2從思維效果看，創設數學問題情境應注意遵循思維發展規律。
　　沒有數學思維，就沒有真正的數學學習，數學問題激發學生思維的效果如何，與學生的年齡特征及數學思維的發展特點緊密相關。在高中階段，學生抽象邏輯思維的成分逐漸加大，創設數學問題情境應當遵循這種思維發展規律，注意運用合理的教學手段，展現數學應有的思想和方法，讓學生體驗數學思想方法在解決數學問題時的重要作用，學會用數學的思想方法去獲取知識。例如，在立體幾何“空間的平行直線與異面直線”的教學中，可創設問題情境：“垂直于同一條直線的兩條直線互相平行嗎？”大部分學生會由原有認知得出結論：“在同一平面內，垂直于同一條直線的兩條直線互相平行。”此時，教師可讓學生觀察教室墻角三條直線的位置關系，學生便會發現自己的觀點與現實產生了矛盾。這時學生會繼續探索，借助于邏輯思維便可得出“如果三條直線共面，命題成立；如果三條直線異面，則命題不成立”的完整結論。這樣，學生不僅能學會直線平行與異面的判別，而且會認識到在平面幾何中正確的結論在立體幾何中不一定成立，不同環境、不同問題應予以區別對待。為了有益于學生思維的訓練，應注意創設有益于學生思維糾偏、反省、頓悟的數學問題情境，特別的，應注意創設一些與學生認知結構不和諧或規律性變化中的某些特殊問題。例如:求函數y=-（x-3）+的最大值，學生肯定能很快回答。若求函數y=-（cosx-3）+的最大值，大多數同學會毫不猶豫地回答“”。又如求函數y=的周期，學生也會脫口而出：因為y==tan2x，所以函數的周期為“”。這時教師通過實時點撥和引導，可使學生認識到答案是錯誤的，并且積極地分析出錯的原因，將有利于學生數學嚴密性和敏捷性的培養。
　　
　　2.3從教學媒體看，創設數學問題情境應注意發揮信息技術優勢，凸顯數學問題的情境性。
　　高中數學課程標準倡導的基本理念明確提出注重信息技術與數學課程內容的整合。在傳統的教學媒體下，部分數學問題的情境性難以得到有效的再現，而通過發揮現代信息技術的優勢，則能部分地彌補這種缺陷，即能使數學問題的情境性（特別是情境的真實性或仿真實性）得到再現。信息技術可以作為計算、作圖、數據處理的工具，可以作為信息處理的工具，可以作為多元認知工具，可以展示和發展數學思維。因此，應當充分發揮信息技術的優勢，創設有效的數學問題情境。例如，在“拋物線概念”的教學中，我們可以借助信息技術創設如下的問題情境：（1）折線活動：在紙片2厘米處設置點，如下圖左，將紙折20到30次，形成一系列折痕，它們整體地勾畫出一條曲線的輪廓；（2）觀察猜想：眾多折痕圍出一條拋物線；（3）建立坐標系，畫圖，發現與y=x很接近；（4）幾何畫板動態演示折紙過程及拋物線；（5）活動：（如下圖右）畫3條平行于y軸的直線，折紙，發現結論1：其反射線經過y軸上一定點；（6）幾何畫板演示這一過程（證明可讓學生課后完成）；（7）形成焦點的概念（一組平行于y軸的直線經拋物線反射后匯聚到焦點，由焦點出發的直線經拋物線反射后成一組平行線）；（8）發現結論2：拋物線上的點到焦點的距離等于到紙邊的距離，定義準線的概念；（9）師生共同總結形成拋物線的定義：平面內與一個定點F和一條定直線L的距離相等的點的軌跡叫做拋物線，點F叫做拋物線的焦點，直線L叫做拋物線的準線。再例如，為了幫助學生建構“三角函數”的概念，課堂上可利用幾何畫板創設正弦函數概念的形成過程情境：任意作出一個角的終邊，從終邊上任意取一點P，度量出點P的坐標（x，y），計算該點到原點的距離，再計算比值，拖動P點改變位置，發現比值不變；再取一個角的終邊，進行同樣的操作，發現比值仍然不變，但是前后兩個比值不同，引起學生的思維沖突，主動調整認知結構，對相關信息進行同化和順應，這樣通過教師與學生、學生與學生相互“協作”，學生在觀察比值、動畫P點、轉動終邊的過程中通過“會話”，能逐漸發現比值與終邊點的位置無關而與終邊的位置有關，最終達到對正弦函數概念的“意義建構”，認識到比值確實是角的函數。
　　2.4從學生內化看，創設數學問題情境應注意問題情境的多層次性及學生積極參與。
　　學生的數學學習最終要通過自己才能理解和掌握，教師的任何努力最終要通過學生的內因才起作用。因此，創設數學問題情境必須突出學生的自主參與，強調師生的互動性。而這一點也顯然與學生的思維層次有關。根據學生在完成認知任務時的思維水平，學生數學學習有不同的層次，它既與數學問題境材料的性質有關，又和學生的數學思維策略有關。例如，在“直線方程的四種基本形式”的教學中，為了能讓所有的學生（包括學困生）都能參與到問題探究中，可以一通過開放題設計成數學問題情境：（1）直線的斜率為2，過點?搖?搖?搖?搖?搖，使得直線的方程為y=2x+1；（2）若直線的方程為y=2x+1，直線應滿足什么條件？再如，已知α、β是兩個不同的平面，m、n是平面α及β之外的兩條不同直線，給出四個論斷：①m⊥n.；②α⊥β；③n⊥β；④m⊥α。如果以其中三個論斷作為條件，余下一個論斷作為結論，那么，可以得到哪些真命題？由于在這樣的數學問題情境中，條件和結論都不是固定的，而是可變的，因此相應的解答就需要學生積極認真地思考、分析、嘗試、猜想、論證，顯然，這種開放性的數學問題情境有利于學生的積極探索。
　　2.5從目標方法看，應注意數學意義的豐富性和數學關系的系統性。
　　創設問題情境的根本宗旨在于培養學生創新意識與實踐能力，而不是為了外表的熱鬧與活躍，思維活、方法活才是真正的活。為此，應善于用結構的眼光看數學，從數學知識的邏輯發展中提出數學問題。例如，立體幾何中不僅各節教材內容編排結構很相似，而且各種角與距離的概念也具有很強的結構性與相似性；等差數列與等比數列，橢圓與雙曲線，平面向量與空間向量等內容的結構都很相近。根據等差數列的概念與性質，可大膽合理地猜想等比數列的概念與性質；根據橢圓的幾何性質，可大膽合理猜想雙曲線的幾何性質及其研究思路方法；根據平面向量的性質和算法，可完全類推出空間向量的性質和算法。
　　蘇霍姆林斯基說:“在人的心理深處，都有一種根深蒂固的需求，這就是希望自己是一個發現者、研究者與探索者。”適時恰當的問題情境不僅要能滿足學生的這一需要，而且應能使數學問題情境，以及所出現的概念擁有豐富的數學意義，更容易構成數學概念關系網絡。例如，在學完直線方程的點斜式與兩點式后，可以讓學生填寫下表，并探究如下的問題：（1）對于過點（x，y）且與x軸垂直的直線，也存在相應的方程形式嗎？（2）是否存在可表示直角坐標平面上任何直線的方程形式?
　　 “教學有法，但無定法，貴在得法”。高中數學教學，培養學生數學能力，提高學生數學素養是最終目的，創設數學問題情境是為實現數學教育教學目的，特別是一節具體的數學課堂教學目標的一個重要手段。有效的數學問題情境，不僅能形成認知沖突，激發學生的求知欲，拓展學生思維，引導學生繼續學習，而且能把教師的教與學生的學有機自然地結合起來，實現師生有效地合作、互動與交流，有利于提高數學教學的質量與水平。
　　
　　項金項目：江蘇省泰州市311培養對象“基礎教育階段學生數學素養構建的理論與實踐研究”課題階段性成果之一；江蘇省教育科學“十二五”規劃課題“義務教育階段數學有效教學的深化研究”階段性成果之一。
　　 注：“本文中所涉及到的圖表、公式、注解等請以PDF格式閱讀”