二次函數在給定閉區間上的最值(值域)求法

　　二次函數是重要的初等函數之一，很多問題都要化歸為二次函數來處理。二次函數又與一元二次方程、一元二次不等式有著密切的聯系，因此必須熟練掌握它的性質，并能靈活地運用它的性質去解決實際問題。
　　二次函數在給定閉區間上的最值或值域問題，更是常見的題型，能夠熟練地解決此類問題，也是高考必備的能力要求。借助二次函數的圖像，明確其對稱軸與給定區間的關系，是解決這類問題的關鍵所在。下面我就對這一問題的解法談談自己的見解，并進行歸納總結。
　　一、軸定區定問題
　　即二次函數的圖像的對稱軸明確，所給區間具體，只需結合其圖像，即可直接求得最值，進而得到其值域。
　　【例1】求二次函數y=-x+4x-2在區間［0，3］上的最大值和最小值。
　　解：∵y=-（x-2）+2且x∈［0，3］，
　　∴當x=2時，y取得最大值2。
　　又∵f（0）＜f（3），
　　∴當x=0時，y取得最小值-2。
　　【例2】求函數y=1-2sinx+2cosx，x∈［-，］的值域。
　　解：y=1-2sinx+2cosx=2cosx+2cosx-1=2cosx+-
　　∵x∈［-，］
　　∴cosx∈［，1］
　　∴當cosx=即x=±時，y=；
　　當cosx=1即x=0時，y=3。
　　所以所求函數的值域為［，3］。
　　【小結】對于二次函數f（x）=a（x-h）+k在區間［m，n］上的最值：
　　若h∈［m，n］，則當a＞0（a＜0）時，f（h）是最?。ù螅┲担襢（m）與f（n）中最大（?。┱邽樽畲螅ㄐ。┲担?br/>　　若h?埸［m，n］，則f（x）在區間［m，n］上是單調的，因此f（m）與f（n）中的最大者為最大值，最小者為最小值。
　　二、軸動區定問題
　　即二次函數的圖像的對稱軸變化，而所給區間具體，這時要根據對稱軸“穿過”區間的不同方式進行分類討論解決。
　　【例3】已知二次函數f（x）=-x+2ax+1-a（a∈R），求函數f（x）在區間［0，1］上的最大值。
　　分析：拋物線開口方向明確，其對稱軸為x=a，由于對稱軸位置不定，所以要根據對稱軸“穿過”區間的不同方式進行分類討論。
　　解：函數f（x）的圖像的對稱軸為x=a。
　?。?）當a＜0時，（如圖1.1），f（x）在［0，1］上是減函數，
　　∴當x=0時，
　　f（x）=f（0）=1-a。
　?。?）當0≤a≤1時，（如圖1.2），此時函數的最大值在對稱軸處取得，
　　∴當z=a時，
　　f（x）=f（a）=a-a+1。
　　（3）當a＞1時，（如圖1.3），f（x）在［0，1］上是增函數，
　　∴當x=1時，
　　f（x）=f（1）=a。
　　綜上所述：當a＜0時，f（x）=f（0）=1-a；
　　當0≤a≤時，f（x）=f（a）=a-a+1；
　　當a＞1時，f（x）=f（1）=a。
　　【例4】已知二次函數f（x）=（4-3a）x-2x+a（a∈R），求函數f（x）在區間［0，1］上的最大值。
　　分析：函數的圖像的對稱軸為x=，注意到參數a對拋物線開口方向及對稱軸位置的影響，同時注意對稱軸“穿過”區間的不同方式，因此應對參數a進行分類討論。
　　解：易得函數圖像的對稱軸為x=（4-3a≠0）。
　?。?）當a＞時，4-3a＜0，從而x=＜0。
　　此時當x=0時，f（x）=f（0）=a。（如圖2.1）
　?。?）當a＜時，4-3a＞0，從而x=＞0。
　?、佼攁≤時，0＜≤，
　　此時當x=1時，f（x）=f（1）=2-2a；（如圖2.2）
　?、诋敚糰＜時，＞，
　　此時當=0時，f（x）=f（0）=a。（如圖2.3）
　　綜上所述：（1）當＜a＜或a＞時，f（x）=f（0）=a；
　?。?）當a≤時，f（x）=f（1）=2-2a。
　　三、軸定區動問題
　　即二次函數的圖像的對稱軸位置給定，所給區間變化。這時要根據對稱軸與區間的位置關系進行分類討論解決。
　　【例5】已知函數f（x）=x-2x+2在x∈［t，t+1］的最小值為g（t）。試寫出函數g（t）的解析表達式。
　　分析：二次函數f（x）=x-2x+2的圖像的對稱軸方程為x=1，而對稱軸可能在區間［t，t+1］的左邊，中間，右邊。因此分三種情況加以討論。
　　解：f（x）=x-2x+2的圖像的對稱軸為x=1，其開口向上。
　?。?）當t＞1時，對稱軸在區間［t，t+1］的左邊，因此f（x）在［t，t+1］上是增函數，所以g（t）=f（t）=t-2t+2；
　?。?）當t≤1≤t+1，即0≤t≤1時，對稱軸在區間［t，t+1］的中間，因此f（x）的最小值在對稱軸處取得，所以g（t）=f（1）=1；
　　（3）當t+1＜1，即t＜0時，對稱軸在區間［t，t+1］的右邊，因此f（x）在［t，t+1］上是減函數，所以g（t）=f（t+1）=t+1。
　　綜上所述，可得：g（t）=t+1（t＜0）1（0≤t≤1）t-2t+2（t＞1）。
　　四、結語
　　對于有關二次函數在給定閉區間上的最值或值域問題，只要把握對稱軸與給定閉區間的位置關系，結合二次函數的圖像，就會迎刃而解。只有熟練掌握解決這一問題的思路與方法，才能突破這一高考熱點，在做題時得心應手，從而在考試中取得優異成績。