數形結合思想在初中數學教學中的作用

　　摘 要： 數形結合思想是解決數學問題的一種重要思想方法，“數形結合”思想就是使抽象思維和形象思維相互作用，實現數量關系與圖形性質的相互轉化，將抽象的數學關系和直觀的圖形結合起來解決數學問題。為提高學生的數學知識，真正實現素質教育，在數學教學中作者注重“數形結合”思想的滲透，使學生的數學能力得到很大的提升。平面直角坐標系是數形結合的橋梁，有了它，一方面，能夠借助于圖形可以將許多抽象的數學概念和數量關系形象化、簡單化、直觀化。另一方面，能將圖形問題轉化為代數問題，以獲得精確的結論。
　　關鍵詞： 數形結合 初中數學教學 作用
　　
　　“數形結合”思想是初中數學教學中最重要、最基本的教學方法。它在初中數學中有著廣泛的應用，是解決許多數學問題的有效手段。數和形是數學研究客觀物體的兩個方面，數側重于物體的數量方面，具有精確性；形側重于物體的形狀方面，具有直觀性。華羅庚教授曾精彩地詮釋：“數缺形時少直觀，形少數時難入微，數形結合百般好，隔裂分家萬事休?！庇纱丝梢姅敌谓Y合的巧妙所在，數形結合的思想方法能揚數之長，取形之優，使得數量關系與空間形式珠聯璧合，相映生輝。因此在數學教學中，應不斷地引導學生要善于將兩者巧妙地結合起來分析問題，使學生的思維得到開闊和發展，為達到快速、有效地解決問題奠定良好的基礎。
　　在推行素質教育的今天，開發學生的創新思維，讓學生在創造中學會學習，發揮學生的主觀能動性成為重中之重，所以應更多地關注學生的學習方法和策略。數學家喬治·波利亞曾說：“完善的思想方法猶如北極星，許多人通過它而找到正確的道路。”隨著新課程改革的不斷深入，在“應試教育”向“素質教育”轉變的過程中，對學生的考查，從基礎知識，基本技能，上升到能力的培養。而在新一輪課程改革下的數學課程，其基本出發點是促進學生全面、和諧、持續地發展，它要求學生通過學習數學知識、技能和方法，逐漸形成自己的數學思想和方法，讓學生學會用數學的眼光看待生活中的人和事物，會用數學的知識解決生活中的實際問題。那么，作為最基本的數學思想之一的數形結合思想在新課程中又是怎樣體現的呢？
　　下面我們結合中學數學教學的現狀，從數形結合思想的重要性、數形結合相關知識點的體現、如何實現數形結合三方面闡述數形結合思想在初中數學教學中的應用。
　　一、數形結合思想的重要性
　　幾何本身缺乏嚴密性，而代數本身卻又缺乏直觀性。只有將二者有機地結合起來，互相取長補短，才能突破思維的限制，加快數學的發展。
　　數與形是數學研究的兩大基本對象。“數”是指數與式，“形”是指圖形與圖像。數形結合的思想可以變抽象思維為形象思維，揭示數學本質的東西。
　　直角坐標系的建立可以將代數和幾何問題緊密地聯系起來，為許多實際問題的解決提供新的思路和策略，對問題的解決產生事半功倍的效果。因而數形結合的重點是研究“以形助數”。
　　1.數形結合思想在有理數中的應用
　　從數形結合的角度出發，借助數軸處理好相反數和絕對值的意義，有理數大小的比較，有理數的分類，有理數的加法運算，不等式的解集在數軸上的表示，等等。在實數軸上，相反數就是在原點兩旁到原點距離相等的兩個點所表示的數，而絕對值表示這個數的點與原點的距離。
　　例1.如上圖，在數軸上的兩點A、B表示的數分別為a、b，則表示下列結論正確的是（）.
　?。ˋ）b-a＞0（B）a-b＞0
　　（C）2a+b＞0（D）a+b＞0
　　分析：本題首先引導學生根據a、b在數軸上的位置，得到a＜－1、0＜b＜1。值得注意的是這一步所得就是由形到數的過程，應引起學生思想上的關注。然后可以利用取特殊值的方法（01c6a6bfa0a0617a2e6bb2a7408fb036如：a=-2，b=），一一代入求解，從而獲得答案。這就是完全將圖形遷移到數量上來。我們也可以繼續利用圖形，在數軸上作出諸如b、2a的長度，再利用線段的長短大小、加減和差來比較（A）（B）（C）（D）四個數量關系的正確與否。
　　容易發現，不管是用哪一種方法，都是把圖形和數量結合起來的解題，這種巧妙的結合可以使一些紛繁無緒、難以上手的問題獲得簡解。
　　2.數形結合思想在一次函數中的應用
　　例1.一次函數y=kx+b的圖像過A（-3，0），B（0，2）兩點，則kx+b＞0的解集是（）.
　　（A）x＞0（B）x＜0（C）x＞-3（D）-3＜x＜2
　　解：由題意知，此一次函數圖像為直線，又過點A、點B，已知兩點畫出圖像如下：
　　要使kx+b＞0就是函數值y＞0，聯系圖像，當x＞-3時，圖像均位于x軸的上方，即對應的y=kx+b對應值為正.所以解集是x＞-3，故答案選C.
　　分析：解決此題關鍵在于利用圖像的位置來反應相應的自變量和函數值的范圍。若不利用函數的圖像，則先要算k、b，再求不等式kx+b＞0的值，那就太繁瑣了。
　　通過考查學生對數形結合的思想，可以檢測出他們掌握數學基礎知識的程度、理解知識的深度及對數學知識的綜合運用能力。在初中階段訓練學生利用“數形結合”的方法觀察、分析問題，有助于學生學習抽象的知識，對鍛煉相應的數學思維也有極大的幫助。
　　近幾年，在我縣的中考試卷中，側重于對數形結合思想方法的考查，所以有必要對此類問題進行一些探討，為提高教學質量、培養學生養成良好的數學思維方式作出努力。
　　二、數形結合可使抽象、復雜的問題簡單化
　　數形結合的實質就是將抽象的數學語言與直觀的圖形結合起來，使抽象思維和形象思維結合起來，在解決代數問題時，想到它的圖形，從而啟發思維，找到解題之路;或者在研究圖形時，利用代數的性質，解決幾何的問題，實現抽象概念與具體形象的聯系和轉化，化難為易，化抽象為直觀。
　　在初中教材中，數的常見表現形式為：實數、代數式、函數和不等式等，而形的常見表現形式為：直線型、角、三角形、四邊形、多邊形、圓、拋物線、相似、勾股定理等。在直角坐標系下，一次函數對應一條直線，二次函數對應一條拋物線，這些都是初中數學的重要內容。特別是二次函數，不僅僅是學生學習的難點之一，同時也使數形結合的思想方法在中學數學中得到最充分體現。在平面直角坐標系中，二次函數y=ax+bx+c（a≠0）所對應的圖像的開口、頂點、對稱軸，以及與坐標軸的交點等都與其系數a，b，c密不可分。事實上，a決定拋物線的開口方向，a與b一起決定拋物線的對稱軸位置，c決定了拋物線與y軸的交點位置，與a、b一起決定拋物線頂點坐標的縱坐標，拋物線的平移的圖形關系只是頂點坐標發生變化，其實從代數的角度看是b、c的大小變化。
　　例1.已知方程x－2px＋10＝0有一個根大于1，另一個根小于1，求p的取值范圍.
　　分析：由二次函數與一元二次方程的關系知：方程x－2px＋10＝0的兩個根是拋物線y＝x－2px＋10與x軸的兩個交點的橫坐標，因為一根大于1，另一根小于1，所以拋物線y＝x－2px＋10與x軸的兩個交點一個在1的左邊，另一個在1的右邊，且開口向上，如圖可知當x＝1時，函數值y＜0，即12－2p＋10＜0，故p＞5.5.
　　以上是有關函數與不等式、方程的問題，解此類問題時要善于將問題中的數與形結合起來進行思考，化難為易，將抽象思維與形象思維融合在一起，通過“以形助數”“以數解形”的數學方法，揭示出隱含在其內部的幾何背景，充分體現數形結合解題的有效性，使復雜的問題簡單化，抽象的問題具體、直觀化，從而有效地找到解題途徑，達到優化解題的目的，同時也能開闊和發展學生的思維。只有牢固掌握這些性質及其相互之間的內在關系，并活學、巧用，才能學好二次函數。
　　三、數形結合的實踐教學
　　在有關數形結合知識點的教學過程中，必須掌握等價轉換、數形互補的原則。善于數中思形，形中有數，正確構造圖形，通過幾何模型反映相應代數信息。
　　一般來說，代數問題不依賴于幾何都是可以解決的，然而由于代數關系比較抽象，因此，若能結合問題中代數關系賦予幾何意義，那么往往就能借助直觀形象對問題做出透徹分析，從而探索出解決問題的途徑。
　　在中學數學里，我們不可能把“數”和“形”完全孤立地割裂開，也就是說，代數問題可以幾何化，幾何問題也可以代數化，“數”和“形”在一定條件下可以相互轉化、相互滲透。運用數形結合解題，可以使我們進一步提高解題興趣，激活思維，開闊思路，提高綜合運用多種方法解題的能力，從而提高分析、判斷、猜想、推理的能力，真正達到提高數學素質、創新精神和創新能力。所以平時應注重培養這種思想意識，爭取做到見數想形，見形列數，以開拓視野。
　　由于數形結合具有形象直觀、易于接受的優點，它對于溝通知識之間的聯系，活躍課堂氣氛，開闊學生的思路，發展學生的潛能，提高學生的創造思維能力和開拓精神，使學生充分張揚個性，充分發揮潛能，真正實現個體的最優化發展都有很大幫助。因而將數形結合的數學思想方法應用到課堂教學及解題訓練中，對培養學生思維的廣闊性、層次性及能力的提升都將十分有效和有益。
　　
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