淺析柔軟鏈條(繩索)一類動力學問題的解法

　　柔軟鏈條（繩索）在運動過程中形體會發(fā)生變化，重心也就會發(fā)生變化，從而給計算帶來障礙。若考慮鏈條運動的細節(jié)，問題就比較復雜，若從功能角度解決，因物體的重力勢能與物體的重心相對參考平面的高度有關(guān)，問題可能會簡單些。此時我們要準確而迅速地解決此類問題，應抓住如下三點：①若不計一切摩擦，則只有重力做功時，柔軟繩（鏈條）在運動過程中機械能守恒；②因為柔軟繩（鏈條）形體變化，故應注意重心位置的變化，從而正確確定其重力勢能的值；③勢能零點一般選在便于計算的位置。本文旨在從幾種不同類型題的解析過程中歸納出解決柔軟鏈條（繩索）一類動力學問題的常規(guī)方法。
　　1.柔軟鏈條（繩索）的重心位置能準確確定的類型
　　例題1：將一鏈條自由下垂懸掛在墻上，放開后讓鏈條作自由落體運動。已知鏈條完全通過懸點下方3.2m處的一點A用時0.5s，且鏈條下端未著地。求鏈條的長度為多少?
　　分析：鏈條在運動過程中形狀沒有改變，鏈條上各點運動情況和重心的運動情況完全相同。因此，我們可以通過選取重心或鏈條上任意一點作為研究對象，代替整個鏈條。畫出物理情景圖，并根據(jù)題意找出與位置對應的物理量，應用自由落體的規(guī)律公式解出鏈條的長度。
　　解析：如右圖1所示，選取鏈條的下端為研究對象。設(shè)鏈條的總長度為L，下落的總高度為h，總時間為t，令整個鏈條穿過A點的時間為△t，鏈條下端到A點的時間為t-△t，則有：
　　h-L=g（t-△t）
　　h=gt
　　其中h＝3.2m，△t=0.5s，代入數(shù)據(jù)解得：L＝1.7m。
　　點評：此類題中鏈條豎直下落的運動性質(zhì)為自由落體運動，需要弄清整個運動過程中鏈條的結(jié)構(gòu)特點，建立物理模型，熟練掌握自由落體運動規(guī)律。構(gòu)建物理情景圖并找準相對應的物理量，對于本題的解答也是至關(guān)重要的。
　　例題2：一根質(zhì)量分布不均勻的鏈條重30N，長1.0米，盤曲在地面上，當從鏈條A端慢慢提起鏈條使他的另一端B恰好離開地面時，重力做功-12J，若改從B端提起，到A恰好離開地面，要克服重力作多少功？
　　分析：題中鏈條質(zhì)量分布不均勻，表面上看重心難確定，但實際上是可以的。重力做功改變重力勢能，而重力勢能的大小只與重心相對參考平面的高度有關(guān)，當整個鏈條都在豎直方向上時，重心在鏈條上的位置不變。故只需選取恰當?shù)膮⒖计矫?，應用重力做功與重力勢能的關(guān)系即可解出此題。
　　解析：以地面為參考平面，設(shè)從A端提起，鏈條重心離地面h，重力做功-12J，則重力勢能增加：-△E=mgh=12J，從B端提起克服重力做功為：W=mg（1.0-h）=18J。
　　2.柔軟鏈條（繩索）的某一部分的重心位置能準確確定的類型
　　在中學物理中，我們常常會遇到這樣的一類題：“如圖，一根鐵鏈長為L，放在……（或懸掛在……）開始時鏈條靜止，……，求整個鏈條剛離開……時的速度。
　　例題3：如圖2，一根鐵鏈長為L，放在光滑的水平桌面上，一端下垂，長度為a，若將鏈條由靜止釋放，則鏈條剛好離開桌子邊緣時的速度是多少？（鏈條下端未著地）
　　分析：本題中鏈條的運動情況相對復雜。下垂部分鏈條的重力產(chǎn)生加速度，而在鏈條運動過程中，此部分質(zhì)量在增加，整體質(zhì)量不變，故整個鏈條在做變加速運動，直到鏈條完全離開桌面。但不難發(fā)現(xiàn)鏈條在運動過程中，機械能是守恒的，所以從能量轉(zhuǎn)化與守恒角度解決此題，只需考慮開始運動時和剛完全離開桌面時兩個狀態(tài)，不用考慮中間復雜的狀態(tài)，問題就簡化了。
　　解析：鏈條在運動過程中只有重力做功，機械能守恒。設(shè)鏈條的單位長度的質(zhì)量為m=m/L，選取桌面所在的水平面零勢能面，由靜止釋放時機械能為：E=-mag×=-×=-a×。
　　設(shè)剛完全離開桌面時速度為v，此時的機械能為：E=-mg×+mv。
　　由機械能守恒定律有E=E，即-ag×=-mg×+mv。
　　解得：v=。
　　點評：本題中的一個誤區(qū)：取桌面為零勢能面，靜止為釋放時重力勢能為什么是-a×，而不是-×？一定要注意這里的a是下垂部分的重力，-a/2是相對參考平面重心的高度。還有其它變式題型，如：把其中的a變成L/3、L/4等，其結(jié)果也是將a替換即可。或者變換鏈條初始狀態(tài)的形狀。如：鏈條的兩端各掛一個小球（如圖3），對稱地掛在輕小光滑的定滑輪上（如圖4），其他條件不變。但只要抓住運動過程中，只有重力做功，機械能守恒。選取恰當?shù)膮⒖计矫妫銊菽苊妫?，找出鐵鏈靜止時的機械能，以及鐵鏈脫離的瞬間的機械能，應用機械能守恒定律，問題即可迎刃而解。
　　例題4：如圖5所示，一條長為L的柔軟鏈條，靜止放在光滑梯形平臺上，斜面上的鏈條長x ?，F(xiàn)鏈條由靜止開始沿斜面滑下，已知重力加速度為g，L＜BC，∠BCD＝α。試用x、x、L、g、α表示斜面上長為x時鏈條的速度大?。ㄦ湕l尚有一部分在平臺上且x＞x）。
　　分析：本題應選取斜面上的那部分鏈條為研究對象，雖然此部分的長度、質(zhì)量在變化，重心也在變化，但任意瞬間斜面上那部分鏈條的重心都可以確定。由于鏈條的機械能守恒，抓住斜面部分鏈條的重力勢能的變化量等于整體鏈條動能的變化量的關(guān)系，列出方程求解。
　　解析：由鏈條、地球組成的系統(tǒng)，除重力外，其他外力都不做功，系統(tǒng)機械能守恒。設(shè)鏈條的總質(zhì)量為m，則單位長度質(zhì)量m=m/L，選平臺作為零勢能面，開始鏈條靜止時，動能為零，勢能為：E=g×-。
　　設(shè)斜面上鏈條長為x時，鏈條速度為v，動能為E=mv，勢能為E=g×-。
　　根據(jù)機械能守恒定律，得E=E+E。
　　解得：v=。
　　3.在鏈條（繩索）被研究部分的質(zhì)量在變化時，可考慮結(jié)合微元法解決
　　例題5：如圖6，一根柔軟的勻質(zhì)鏈條懸掛在天花板上，且下端正好接觸地板。若松開懸點，讓鏈條自由下落，試證明：在下落的過程中，鏈條對地板的作用力等于已落在地板上的那段鏈條重力的3倍。
　　分析：本題中在鏈條為柔軟體的條件下，已經(jīng)落地的那部分鏈條，以及正在下落的那段鏈條之間，可以認為無相互作用。所以，鏈條對地板的作用力，決定于已落地那段的重力與正在著地那部分的沖力，而與還在自由下落的那段無關(guān)。
　　解析：設(shè)鏈條單位長度的質(zhì)量為m，在t時刻已經(jīng)落到地板上的鏈條長為s，質(zhì)量為m=ms，對地板的作用力為：F= mg = mgs。
　　此時正在下落部分鏈條的速度為：v=。
　　在t→t+△t極短的時間內(nèi)，又有長為△s的鏈條落到地板上，質(zhì)量為：△m= m△s，設(shè)地板對此部分鏈條的作用力為F，不計此部分鏈條的重力，取向下為正方向，則由動量定理有：-F△t = 0-△mv=-m△sv。
　　解得：F=m△s v/△t。
　　因為時間極短，△s /△t = v，則有F=mv=2 mgs，由牛頓第三定律，此部分鏈條對地板的作用力大小為：F=2mgs。
　　在下落的過程中，鏈條對地板的作用力為：N=F+F=mgs+2mgs=3mgs ，正好等于已落在地板上的那段鏈條重力的3倍。
　　點評：多數(shù)同學遇到這樣的題時感到無從下手。在鏈條下落過程，已經(jīng)落在地板上的那段鏈條質(zhì)量雖然在增加，但假設(shè)了落在地板上的長度后，重力可以直接算出，而正在著地那部分沖力必須采用微元法結(jié)合動量定理進行計算。在解題過程中，因為正在著地那部分質(zhì)量取得非常小，忽略了重力，從而使問題簡化。
　　例題6：長為L、質(zhì)量為m的柔軟繩子盤放在水平桌面上，用手將繩子的一端以恒定速度v向上提起，求當提起的高度為x（x＜L）時手的作用力。
　　點評：同上題，在鏈條為柔軟體的條件下，手的作用力決定于已經(jīng)被提起部分繩子的重力和正在被提起的那一部分繩子的沖力，與仍在地上的那部分無關(guān)。用類似上題的方法，解得答案為mg+v。
　　以上關(guān)于柔軟鏈條（繩索）的幾種類型的題是中學物理學習中的較難的，不僅要求學生物理知識掌握到位，而且提高了對運用數(shù)學解決物理問題能力的要求。多數(shù)學生往往一遇到這類問題，就直接放棄了。像鏈條運動這樣的復雜問題，在教學過程中，按照學生認識規(guī)律，引導并幫助學生歸納、總結(jié)和提高，使他們熟悉并掌握這種類型題目的研究方法，不但能提高學生解題的技巧，而且對培養(yǎng)分析問題和解決問題的能力將起著不可低估的作用。