無處不在的數學美

　　數學不僅僅是一門應用廣泛的基礎學科，也是一門充滿審美情趣的藝術。古希臘有一句名言：“哪里有數，哪里就有美。”面對以上贊譽，我們不禁要問：“數學為何如此美麗？又該怎樣從美學角度來觀察分析理解并感受數學的魅力？”事實上，數學美的表現形式是多種多樣的。
　　一、從數學外在形式觀賞：它有體系之美，概念之美。
　　1.體系之美
　　在初中代數體系中，把數和表示數的字母用基本的運算符號連接而成就成了式，把含有未知數的式用等號連接就成了方程，如果方程中的等號換成了不等號就成了不等式，如果方程中含有兩個未知數就成了函數。在中學幾何體系中，點動成線，線動成面，面動成體。代數和幾何也不是割裂開來的，函數將它們完美地統一起來。就像是一根金線串起的一串珍珠，無處不閃爍著數學的體系之美。
　　2.概念之美
　　從初等數學的基本概念，到現代數學的基本原理都具有普遍的抽象性和一般性。隨著現代集合觀點的引入，概念之美得到了空前的體現。例如：圓是到定點的距離等于定長的點的集合。這個概念說明了兩層含義——圓上的所有點到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）；到定點（圓心）的距離等于定長（半徑）的所有點都在圓上。這是純粹性和完備性的完美結合，概念中少一個字則不足，多一個字則浪費，正如宋玉筆下的“鄰家之女”，真是絕了。開普勒說：“對于外部世界研究的主要目的在于發現上帝賦予它的合理次序與和諧，而這些是上帝以數學語言透漏給我們的。”
　　二、從數學的思維方式上分析：它有無限之美，抽象之美。
　　1.無限之美
　　幾何從平面幾何到立體幾何再到球面幾何；數的概念從自然數、分數、負數、無理數，擴大到復數，經歷了無數坎坷，范圍不斷擴大了，在數學及其他學科的應用作用也不斷地增加。那么，人們自然想到能否再把復數的概念繼續推廣。英國數學家哈密頓苦苦思索了15年，沒能獲得成功。后來，他“被迫作出妥協”，犧牲了復數集中的一條性質，終于發現了四元數，即形為a+ai+aj+ak（a，a，a，a為實數）的數，其中i、j、k如同復數中的虛數單位。若a＝a＝0，則四元數a+ai+aj+ak是一般的復數。四元數的研究推動了線性代數的研究，并在此基礎上形成了線性代數理論。物理學家麥克斯韋利用四元數理論建立了電磁理論。但是誰又敢說球面幾何和四元數已經發展到頭了呢？數學就像一個浩瀚的星空，我們偶爾能夠采擷到一些耀眼的星星，但是還有無限未知的領域等待我們去探索、去發現。
　　2.抽象之美
　　有人覺得數學很難，因為它很抽象。其實，這也是數學美的一種體現。試想用一些數學符號和數學公式就代表了世間萬物之間的數量關系，這不是很奇異嗎？例如歐拉給出的公式：V－E＋F＝2，堪稱“抽象美”的典范。世間的多面體有多少？沒有人能說清楚。但它們的頂點數V、棱數E、面數F，都服從歐拉給出的公式，一個如此簡單的公式，概括了無數種多面體的共同特性，怎不令人驚嘆不已。
　　三、從美學原理上探討：它有對稱之美，和諧之美。
　　1.對稱之美
　　我們生活在圖形的世界中，許多美麗的事物往往與圖形的對稱聯系在一起。形體的對稱性，在自然界中處處可見。如樹葉以其主葉脈為對稱軸；花瓣的分布各向均勻；蜂巢、蛛網呈正多邊形；海螺殼是以漸開線的方式生長；人體也是左右對稱的……反映到數學上就是中心對稱、軸對稱、鏡面對稱等，對稱是數學的基本結構之一。幾何圖形中對稱性比比皆是，如圓、矩形、正多邊形等；對稱性還表現為某種相應性，例如，加與減、乘與除、正弦與余弦、指數與對數、有限與無限、微分與積分等都是如此。再如，在一定條件下，有一個關于極大值的命題，就相對應地有一個關于極小值的命題。“如果三角形的周長一定，則當這個三角形是正三角形時面積最大”與“如果三角形的面積一定，則當這個三角形是正三角形時周長最小”就是相對應的命題。
　　2.和諧之美
　　如果說各門學科都包含著豐富的辯證思想，那么數學則有著自己的表現方式，那就是和諧之美。初等數學中點與座標的對應、曲線與方程的對應、高等幾何對偶原理中把點換成線，線換成點結論依然成立，這樣的結論在數學中比比皆是。對于計算梯形面積公式s=（a+b）h來說，數學家和數學素養很好的人都認為它是美的。只有分別學習了三角形、正方形、矩形、梯形的面積公式后，并在比較、思考和應用的過程中才能發現三角形、正方形、矩形面積公式是上面公式的特例，才會體驗到上面公式的美妙之處，即它于簡單中包含了豐富的內涵，表面相異的數學對象又可以聯系為一個統一體。
　　正如克萊因所說：“音樂能激發和撫慰情懷，繪畫使人賞心悅目，詩歌能動人心弦，哲學使人獲得智慧，科學可改善物質生活，但數學能給予我們以上的一切。”