例說構造函數在解題中的應用

　　摘 要： 構造函數是中學數學解題的一種基本方法，也是函數知識活用的一個重要方面。教師可以通過巧妙地構造函數使得原本撲朔迷離的問題變得清晰明朗，變得可程序化。
　　關鍵詞： 構造函數 可程序化 數學問題 創新能力
　　
　　函數是整個高中數學的核心知識，我們如此重視它，不只因為它本身的魅力，更源于其強大的工具性和導向性。很多問題都可以通過巧妙地構造函數使得原本撲朔迷離的問題變得清晰明朗，變得可程序化。為了更好地說明這一點，本文以實例的形式介紹構造函數解決的幾類問題，希望能拋磚引玉。
　　一、證明不等式
　　例1.求證：≥.
　　分析：通過觀察，我們可以發現，不等式左右兩邊結構相同，而且其中|a|+|b|＞0，|a+b|＞0且|a|+|b|≥|a+b|，從而可以構造函數f（x）=（x≥0），利用函數的單調性進行證明。
　　證明：設f（x）=（x≥0），
　　∵f（x）==1-，
　　∴函數f（x）在［0，+∞）上為增函數.
　　又∵|a|+|b|≥|a+b|≥0
　　∴f（|a|+|b|）≥f（|a+b|）.
　　即≥.
　　注：不等式的證明是高中數學的難點，通過構造函數并利用函數知識來證明不等式問題是一種有效的方法。
　　二、求參數的范圍
　　例2.使不等式++…+＜a-2007對一切正整數n都成立的最小正整數的值為 ?搖?搖.
　　分析：此題是個恒成立問題，我們將不等式左邊看作函數f（n）=++…+（n∈N），則原題等價于函數f（n）＜a-2007恒成立，即只要求函數的最小值，就可以建立不等式確定的范圍，從而得到正整數a的最小值。
　　解：設f（n）=++…+（n∈N），
　　∵f（n+1）-f（n）=+-＜+-=0，
　　∴f（n）為單調減函數，
　　∴f（n）的最大值為f（1）=，
　　由＜a-2007，以及a∈N，得a=2009.
　　注：本題中的變量n與參數a原本就是可以分開的，因此可以直接構造函數f（n），并利用其單調性求出函數f（n）的最大值。當然，有些恒成立問題也需要先對變量進行分離，再構造函數來解。
　　三、解決數列問題
　　例3.設等差數列{a}的前n項和為S，已知（a-1）+2007（a-1）=1，（a-1）+2007（a-1）=-1，則S=?搖 ?搖?搖.
　　分析：觀察兩個已知等式都有相似的結構特征，不妨構造函數f（x）=x+2007x，然后利用此函數的性質尋找突破口。
　　解：設f（x）=x+2007x，易知f（x）為奇函數，且是R上的單調增函數，
　　由（a-1）+2007（a-1）=1，
　　得f（a-1）=1，
　　由（a-1）+2007（a-1）=-1，
　　得f（a-1）=-1，
　　即f（1-a）=1，
　　∴f（a-1）=f（1-a），
　　所以a-1=1-a，故a+a=2，
　　∴S===2007.
　　注：由題目中已知等式的結構特征靈活構造函數，解答過程簡潔明了。
　　四、解決二元范圍問題
　　例4.若實數x、y滿足-=1，則-的取值范圍是?搖?搖?搖.
　　分析：觀察到式子-含有兩個變元x、y，直接構造函數不容易求得值域，因此考慮先減少變元。
　　解：-=-=-（）-+，
　　點（x，y）在雙曲線-=1上，由雙曲線的幾何性質得∈（-1，1）.
　　設t=，則可構造函數f（t）=-t-t+，t∈（-1，1），
　　易求f（t）∈（-1，1），即-∈（-1，1）.
　　注：式子-是不平衡的，通過“1”的代換，實現了原式的平衡，通過設t=減少了變元，從而為構造函數f（t）鋪平了道路。
　　五、解關于二項式定理的問題
　　例5.在（x-）的二項展開式中，含x的奇次冪的項之和為S，當x=時，S=?搖?搖?搖.
　　分析：將（x-）展開，發現含x的奇次冪的項之和是一個關于x的奇函數，含x的偶次冪的項之和是一個關于x的偶函數。
　　解：設S（x）等于（x-）的二項展開式中含的奇次冪的項之和，T（x）等于（x-）的二項展開式中含的偶次冪的項之和，所以（x-）=S（x）+T（x）.
　　分別將和-帶入上式得：
　　（-）=S（）+T（）?搖?搖①
　　（--）=S（-）+T（-）?搖?搖②
　　因為S（x）是奇函數，T（x）是偶函數，所以（--）=-S（）+T（）?搖?搖③
　　由①、③得S（）=-2，即S=-2.
　　注：將（x-）表示成一個奇函數與一個偶函數之和，從而使整個解題過程大大簡化，并且整個解法也不依賴排列組合及二項式定理的任何結果。
　　構造函數是中學數學解題的一種基本方法，也是函數知識活用的一個重要方面。用此法解題不僅能訓練學生的思維，而且能培養學生綜合的分析問題和解決問題的能力，還能培養學生解題的創新能力。