談二次函數在閉區間上的最值估計

　　關于二次函數f（x）=ax+bx+c在（-∞，+∞）上的最值問題，大家已經比較清楚，那么，在閉區間［-1，1］上的最值情況如何呢？本文通過討論，給出一個定性的估計。
　　命題1：如果二次函數f（x）=x+mx+n，m、n∈R，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，那么M≥.
　　證明：（用反證法證明）假設結論不成立，即M＜.
　　因為f（x）的對稱軸為x=-，
　　（1）當|-|＞1，即|m|＞2時，f（x）在閉區間［-1，1］上為單調函數，
　　則有-＜1-m+n＜-＜1+m+n＜?圯-＜-1+m-n＜-＜1+m+n＜
　　?圯-1＜2m＜1?圯|m|＜，此與|m|＞2矛盾.
　　（2）當|-|≤1，即|m|≤2時，f（x）在閉區間［-1，-］上為單調遞減函數，在閉區間［-，1］上為單調遞增函數，則有
　　-＜1-m+n＜-＜1+m+n＜-＜-+n＜?圯-＜n＜--＜-n＜?圯-2＜＜0?圯m＜0，此與m≥0矛盾.
　　綜上所述，M≥成立.
　　命題2：如果二次函數f（x）=x+mx+n，m、n∈R，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，且M=，那么f（x）=x-.
　　證明： 因為f（x）的對稱軸為x=-，
　　（1）當-＜-1，即m＞2時，f（x）在閉區間［-1，1］上為單調遞增函數（如圖1），
　　則有1-m+n=-1+m+n≤，或1-m+n≥-1+m+n=
　　?圯m≤，此與m＞2無公共元素，所以無解.
　　（2）當-1≤-＜0，即0＜m≤2時，f（x）在閉區間［-1，-］上為單調遞減函數，在閉區間［-，1］上為單調遞增函數（如圖2），
　　則有1+m+n=-n≥-，或1+m+n≤-n=-
　　?圯-4≤m≤0，此與0＜m≤2無公共元素，所以無解.
　　（3）當0≤-≤1，即-2≤m≤0時，f（x）在閉區間［-1，-］上為單調遞減函數，在閉區間［-，1］上為單調遞增函數（如圖3），
　　則有1-m+n=-n≥-，或1-m+n≤-n=-
　　?圯0≤m≤4，此與-2≤m≤0有公共元素0，所以m=0，n=-，所以f（x）=x-.
　　（4）當-＞1，即m＜-2時，f（x）在閉區間［-1，1］上為單調遞減函數（如圖4），
　　則有1-m+n=1+m+n≥-，或1-m+n≤1+m+n=-
　　?圯m≥-，此與m＜-2無公共元素，所以無解.
　　綜上所述，f（x）=x-成立.
　　推論1：二次函數f（x）=ax+bx+c，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，那么M≥|a|.
　　證明：另=m，=n，則f（x）=ax+bx+c=af（x）.
　　從而有：|f（x）|的最大值M就是|af（x）|=|a|·|f（x）|的最大值.
　　由命題1知，M＝|a|·M≥|a|.
　　推論2：二次函數f（x）=ax+bx+c，|f（x）|在［-1，1］上的最大值為M，且M=|a|，那么f（x）=±a（x-）.
　　證明：另=m，=n，則f（x）=a+bx+c=af（x）.
　　從而有：|f（x）|的最大值M就是|af（x）|=|a|·|f（x）|的最大值.
　　由命題1知M＝|a|·M=|a|，所以M=，
　　由命題2知f（x）=x-，所以f（x）=a（x-）.
　　又因為|-af（x）|=|af（x）|，所以f（x）=-a（x-），
　　所以f（x）=±a（x-）.