漏掉的位似中心

　　例1：如圖1，正方形ABCD和正方形OEFG中，點A和點F的坐標分別為（3，2）、（-1，-1），則兩個正方形的位似中心的坐標是?搖?搖?搖?搖?搖?搖。［１］
　　析解：觀察圖形可知A和G、O與B是對應點，連接AG交OB于H，則H就是位似中心。易求OH=1，所以位似中心的坐標是（1，0）。
　　我們將正方形ABCD和正方形EFGH按任意位置擺放（其中一個正方形各邊與另一個正方形各邊分別互相平行），如圖2。設正方形ABCD的邊長為a，正方形EFGH的邊長為b。連接DF、CE交于點P。因為CD∥EF，所以△PCD∽△PEF，所以===。連接PA、PG（注意：此時三點A、P、G未確定在一條直線上）。因為AD∥FG，所以∠ADP=∠GFP。又==，所以△PAD∽△PGF，所以∠APD=∠GPF，=。因為∠APD+∠APF=180°，所以∠GPF+∠APF=180°，所以點A、P、G三點在一條直線上。同理，連接PB、PH，得=，且點B、P、H三點在一條直線上。根據位似圖形的定義中的三點：對應點連線交于一點，對應邊互相平行，對應圖形相似，知正方形ABCD與正方形EFGH是位似圖形，P為位似中心。
　　我們再將正方形ABCD和正方形EFGH按圖3的任意位置擺放（兩個正方形各邊互相平行）。設正方形ABCD的邊長為a，正方形EFGH的邊長為b。連接EA、HD交于點P。因為AD∥EH，所以△PAD∽△PEH，所以===。連接PB、PF（注意：此時三點P、B、F未確定在一條直線上）。因為AB∥EF，所以∠PAB=∠PEF。又==，所以△PAB∽△PEF，所以=，∠APB=∠EPF，所以點P、B、F三點在一條直線上。同理，連接PC、PG，得=，且點P、C、G三點在一條直線上。根據位似圖形的定義中的三點：對應點連線交于一點，對應邊互相平行，對應圖形相似，知正方形ABCD與正方形EFGH是位似圖形，P為位似中心。
　　結論：將兩個不全等的（為什么？）正方形按任意位置擺放且其中一個正方形各邊與另一個正方形各邊分別互相平行，則這兩個正方形成位似圖形，且有兩個位似中心。若這兩個正方形全等，則在它們不重合的情況下，它們只有一個位似中心。（*）
　　通過以上分析，可知例1中正方形ABCD與正方形EFGO還有一個位似中心。如圖4，連接AE、DO交于點P，由前面的分析知，點P就是位似中心。利用兩組三角形相似，易求得m=2，n=4，所以點P的坐標為（-5，-2）。
　　思考題：如圖5，正方形OEFG和正方形ABCD是位似形，點F的坐標為（1，1），點C的坐標為（4，2），則這兩個正方形的位似中心的點的坐標是（-2，0）。［２］你認為上面的說法是否正確？為什么？
　　其實，我們可以把結論（*）擴展到如下形式：
　　將兩個相似但不全等的正多邊形按任意位置擺放且其中一個正多邊形各邊與另一個正多邊形各邊分別互相平行，則這兩個正多邊形成位似圖形。如果正多邊形的邊數為偶數，則有兩個位似中心（如圖6、7，以正六邊形為例）；如果正多邊形的邊數為奇數，則位似中心有一個（如圖8、9，以正五邊形為例）。若這兩個正多邊形全等，則在它們不重合的情況下，它們只有一個位似中心。
　　思考題答案：如圖10、11，易求得這兩個正方形有兩個位似中心，分別為（-2，0）、（，）。
　　
　　參考文獻：
　　［1］少年智力開發報（數學專頁）.八年級數學，2010-4-14，（41），第4版.
　　［2］少年智力開發報（數學專頁）.八年級數學，2010-4-7，（40），第4版.