淺析解決梯形問題常用的方法

　　一、問題的提出
　　解決梯形問題常用的方法是添加輔助線。而初中學生在解決平面幾何問題時，往往缺乏添加輔助線的經驗，因此，輔助線的添加是初中生學習的一個難點，下面通過舉例說明梯形常用輔助線的添加方法。
　　二、指導思想
　　梯形是與平行四邊形并列的一種特殊的四邊形，它是平行四邊形與三角形知識的綜合，因此，解決梯形問題的指導思想通常是通過適當添加輔助線，將梯形問題轉化為三角形或平行四邊形問題，再運用三角形或平行四邊形的知識解決梯形的相關問題。
　　三、基本方法：通過平移或旋轉來實現
　　1. 平移
　　(1)平移兩腰
　　過梯形一底的中點作兩腰的平行線，將梯形問題轉化為兩個平行四邊形及一個三角形的問題來加以解決。
　　例1：如圖1，梯形ABCD中，AB∥BC，
　　∠D+∠C=90°，AB=3，DC=5，E，F分別是
　　AB，CD的中點，則EF=_____。
　　答案：1
　　簡析：過點E作EM∥AD交DC于點M，作EN∥BC交DC于N點，則∠MEN=90°，DM=AE=EB=NC=1.5，
　　 ∴MF=NF=1∴EF=MN=1。
　　 優點：①出現上下兩底之差；②將兩腰放在同一個三角形中。
　　(2)平移對角線
　　過梯形對角線的一個端點作另一條對角線的平行線，并與另一底的延長線相交jHWXhi3hG1+iuW22SApzmw==，構成一個平行四邊形和一個三角形，使兩條對角線在同一個三角形中。
　　例2：如圖2，等腰梯形ABCD中，
　　AD∥BC，AB=DC，AC⊥BD，若AD+BC=2a。
　　求S梯形ABCD 。
　　解：過點D作DE∥AC交BC的延長線于點E。
　　∵AD∥BC∴四邊形ADEC是平行四邊形
　　∴CE=AD，DE=AC∴BE=BC+CE=BC+AD=2a
　　∴S△ABD=S△DAC=S△CDE
　　 在等腰梯形ABCD中，AC⊥BD
　　 ∴△BDE是等腰直角三角形 ∴BD2=DE2=BE2==2a2
　　 ∴S梯形ABCD=S△BDE=BD·DE=BD2=·2a2=a2
　　 優點：①將上下兩底之和轉化到一邊上；②將兩條對角線放在同一個三角形中；③將梯形的面積轉化為三角形的面積。
　　 方法點撥：當梯形的對角線相等或垂直時，常作對角線的平行線，構成平行四邊形、等腰三角形或直角三角形。
　　2. 作高
　　過梯形上底的兩個端點作梯形的兩條高，把梯形分割成兩個直角三角形和一個矩形來解決問題。
　　例3：如圖3，梯形ABCD中，
　　已知AD∥BC，BC=BD，AB=AC，
　　且AB⊥AC，則∠ABD的度數為____。
　　 簡析：分別過點A，D作AE⊥BC于點E，作DF⊥BC于點F
　　∵AB=AC，且AB⊥AC
　　∴∠ABC=45°，AE=BC∴DF=AE=BC=BD
　　∵∠DFB=90° ∴∠DBF=30°∴∠ABD=15°
　　3. 延長兩腰
　　延長兩腰交于一點，可構成兩個三角形，利用三角形的有關性質解決問題，也是常用的方法之一。
　　例4：如圖4，梯形ABCD中，AB∥DC，
　　∠D=∠C=60°，AB=a，AD=b。求DC的長。
　　解：延長兩腰交于點E
　　 ∵AB∥DC∴∠EAB=∠D=60°，∠EBA=∠C=60°
　　 ∴△EAB，△EDC均為等邊三角形∴EA=AB=a
　　 ∴DC=DE=DA+AE=b+a。
　　 4. 利用中點
　　 (1)等積變形(旋轉)
　　 連接梯形上底的一個端點與另一腰中點并延長與下底的延長線相交，借助所得的三角形及中位線能使思路清晰明朗。
　　例5：如圖5，梯形ABCD中，AD∥BC，E為AB的中點。
　　求證：S梯形ABCD=2S△DEC 。
　　證明：延長DE交CB的延長線于點F
　　∵AD∥BC∴∠A=∠EBF
　　∵AE=BE，∠AED=∠BEF
　　∴△ADE≌△BFE ∴DE=FE，S梯形ABCD=S△CDF
　　∵S△DEC=S△CFE=S△CDF∴S梯形ABCD=2S△DEC
　　 方法點撥：通過做輔助線，利用對稱性做等積變形是解決此類問題的常用方法。
　　 (2)作中位線
　　例6：如圖6，梯形ABCD中，AD∥BC，E為
　　AB中點，AD+BC=CD。試猜想△CDE的形狀，
　　并證明你的結論。
　　解：猜想△CDE是直角三角形
　　證明：過點E作EF∥AD交CD于點F
　　∵E為AB中點∴EF是梯形ABCD的中位線
　　∴EF=(AD+BC)=CD∴△CDE為直角三角形。
　　 (3)連接對角線中點和頂點
　　連接梯形一頂點與一對角線中點，并延長與底邊相交，使問題轉化為三角形中位線。
　　例7：如圖7，梯形ABCD中，AD∥BC，
　　P，Q分別是對角線AC，BD中點，猜想PQ
　　與AD，BC之間的數量關系，并加以證明。
　　解：猜想PQ=（BC-AD）
　　證明：連接DP并延長交BC于點M
　　∵AD∥BC∴∠DAC=∠BCA
　　∵∠APD=∠CPMAP=CP ∴△ADP≌△CMP
　　∴DP=MP，AD=MC∴PQ是△DMB的中位
　　∴PQ=MB=(BC-MC)=(BC-AD)
　　總之，解決梯形問題常用的方法，關鍵是學會添加輔助線。輔助線的添加不能盲目，首先認真審題；其次要結合題目的條件和結論；再次要求熟練掌握基本定理及基本圖形的性質；最后結合上述方法添加適當的輔助線。正確熟練地掌握輔助線的添加是我們快捷解題、證題的關鍵。
　　
　　（欽州市合浦師范學校）