“解決問題”教學須注重數學思維能力的培養

　　解決問題與傳統的應用題究竟有何不同？在新課程背景下實施“解決問題”教學需要把握住哪些教學本質？“解決問題”的教學一直困擾著廣大數學教師。我在一段時間思考和實踐的基礎上，逐漸明確了課程改革下“解決問題”更多的是從學生數學發展的角度來展開實施，其中最基本的教育功能是通過“解決問題”教學來培養學生的數學思維能力。那么，教師在教學“解決問題”時該如何注重對學生數學思維能力的培養呢？本文試圖以“對兩位學生的一次訪談交流” 為例，談談我對此的一些思考和實踐，以期拋磚引玉。
　　一、背景
　　我隨機選擇了兩位不同班級的四年級學生，一位姓徐（簡稱生1），一位姓厲（簡稱生2），數學成績在各自班里都是中上水平。我先出示了以下一個數學問題，請兩位學生先安靜地獨立思考。
　　某商場促銷一批電視機，第一天賣出了總數的一半多10臺。還剩下95臺。原來電視機有多少臺？
　　兩分鐘后，生2寫好后直接給我看：95－10=85（臺），85×2=170（臺）。生1一直在嘀咕，說自己可能錯了，不太愿意給我看：95＋10=105（臺），105×2=210（臺）。
　　二、我的訪談
　　（一）解說思考過程
　　師：能說說你們是怎么想的嗎？
　　生2：我是倒過來想的。題目中說是多10臺，所以先95－10，倒過來想的時候多的就變成少的了；題目中又說是賣了一半，倒過來想原來應該是2倍，所以是85×2=170。
　　生1：我也是倒過來思考的。多就是加，所以先95＋10；賣了一半原來是÷2，現在倒回去就是×2。
　　【診斷分析：從訪談中可以發現，生2并沒有準確梳理出題目中的數量關系，對于“多10臺”所代表的本質意義沒有理解到位，只是按部就班地倒推計算，受簡單的倒推法解題的經驗干擾。生1的解答雖然正確，但從訪談中發現，她確實沒有正確地運用逆向思維進行推算，還是停留在比較盲目、感性的經驗層面，并沒有從認知上努力抽象出數量之間的關系。可見，把順向序列轉化為逆向序列對于小學中段學生來說有一定的困難，但這對于培養他們的數學思維能力無疑是一個很好的抓手。】
　　（二）檢驗思考結果
　　1.引導生1進行自我檢驗
　　 師：現在你們能肯定誰對誰錯了嗎？（不能）不確定對錯的時候，你們能不能想想辦法檢驗一下自己的答案？
　　生1：210÷2=105（臺），210－105＋10=115（臺），210－115=95（臺）。
　　師：你是怎么想的？
　　生1：共有210臺，賣了一半就是105臺，要減去。題目是多了10臺，所以要加10，算出的115臺表示賣出的臺數（猶豫片刻后），好像是剩下的臺數。
　　師：到底表示什么？
　　生1：是剩下的臺數，因為賣出的已經從210里減過了，所以不會再是賣出的。
　　師：那“210－115”呢？
　　生1：不對了，還剩的已經求出了。
　　【診斷分析：在生1的自我檢驗中可發現，她選擇把結果代入題目進行順向推算是完全自動化的，但她在推理、計算的過程中還是表現出有一定的抽象難度。雖然她的推算答案與題目相符合，但對于她自己的邏輯分析和抽象思考還存在著一定的困難，還不能完全過濾題目中的非數學因素，建立起正確的數量關系和意義理解。因此，她在題目的解讀和數量關系的把握上存在著障礙。】
　　2.引導生2進行自我檢驗
　　生2：170÷2=85（臺），85＋10=95（臺），即賣出了總數的一半是85臺，還要再多10臺，所以是95臺。
　　師：那你這“95臺”是表示什么意思呢？
　　生2：剩下的臺數。
　　生1：應該是賣出的臺數。
　　師：為什么你和生2的不同？你是怎么想的？
　　生1：因為85后面是加10，說明賣了一半還沒有完，還要再加上10臺等于95臺，這樣剩下的只有170－95=85（臺）。
　　生2：我也覺得這95應表示賣出的臺數。
　　師：你又為什么改為是賣出的臺數呢？
　　生2：因為我這里只算了總數的一半多10臺，剩下的臺數還沒有算，即170－95=85。
　　【診斷分析：由上可見，這一學段的學生已經有了檢驗的方法，選擇順向思考對于他們來說會比較容易上手，但在獨立地進行較復雜的推算驗證時，都表現出有一定的困難。通過兩人之間相互的交流和補充，他們都逐漸清晰了題目的數學結構。由此可見，這一學段的學生非常需要在合作交流中明晰自己對數學思考的理解，我們在教學和輔導時應加強學生在獨立思考基礎上的互動對話，以便更好地促進他們完成對數學思考的意義建構。】
　　三、跟進輔導
　　（一）激活最近發展區
　　師：你們驗證的結果怎么都不對啊？有什么辦法可以來解決這個問題？
　　生1：假設原來的臺數。
　　師：那你要假設原來有幾臺？
　　生1：隨便幾臺都可以。
　　生2：我覺得這樣不可以。原來有多少臺都不知道，隨便假設的話剩下的不一定剛剛好是95臺。
　　師：說得也有道理。那你（生1）怎么會想到用假設法呢？
　　生1：我覺得是可以的。要試很多次，總會試到還剩下95臺的。
　　師：哦。這個方法是可行的，就是有點費時。你們還有其他方法嗎？
　　生1：列方程。設原來有x臺電視機，列式為 x－（x÷2＋10）=95。
　　師：能解釋一下你是怎么想的嗎？
　　生1：賣了總數的一半多10就是x÷2＋10，求還剩的就是總數減去賣出的臺數，所以是x －（x÷2＋10）=95。
　　【診斷分析：從上面的對話中不難發現，學生在逆向思維上遇到障礙時，一般情況下會習慣于在順向思維上找突破口。可見，這一學段的學生正以順向思維為主逐步過渡到有逆向思維表征的發展期。生1在提出假設法遭到同伴的反對時，能夠有理有據地堅持自己的觀點，讓人由衷地贊賞她數學思維的敏捷性和獨創性。這樣敢于辯論的自信和靈活思辨的習慣不是一朝一夕之功，可見她在平時的數學學習中一定經歷了一個比較好的數學思維品質培養。因此，發展學生數學思維能力的核心是加強數學思維品質的培養。】
　　（二）尋找逆向思考的支撐點
　　師：說得很好。方程也是可以的。還有其他的方法嗎？
　　師：你們一開始想的那個倒過來思考的方法怎么不對了呢？問題到底出在哪？有什么辦法可以來幫助分析一下？（學生還是無從下手）
　　師：我們能不能用畫圖來幫助分析？（學生同意，分別獨立動手畫圖，不作任何交流和參考）
　　生2畫圖如下：
　　師：你（指生2）畫的圖是什么意思？
　　生2：原來賣出的是總數的一半，總數的一半就是“總數÷2”；賣出一半后還多賣了10臺，就是“總數÷2＋10”，表示賣出的臺數，最后還剩下95臺。
　　師：那現在你能不能根據自己畫的圖倒回來思考，解決這個問題？（生2還是感到困難）
　　【診斷分析：這一學段的學生進行逆向思維時確實感到有一定的困難，他們也很難自覺地選擇畫圖的方法來幫助推導，數形結合的思想沒有深入他們的數學思維中。生2的畫圖，還是不能擺脫順向思維的束縛，不能把題目的數量關系抽象出來在線段圖中進行表示，因此還是不能幫助他進行很好的逆向思維。而生1在沒有任何提示下，自己能較好地用線段圖抽象出題目的數量關系。因此，我們在這一學段的教學時，要有意識地加強數形結合、抽象數量關系的訓練和指導，這極其有助于學生數學思維能力的發展。】
　　師：想不出來沒關系，我們先來看一下生1畫的圖，能不能看得懂？
　　生2：看得懂。
　　師：能不能說說她的圖和你的圖相比，好在哪？
　　生2：她這樣畫起來比我的更清楚。
　　師：更清楚在哪里呢？什么東西比你的更清楚？
　　生2：前面一段是總數的一半， 賣出的是“總數的一半還多10臺”，所以這一大段都是賣出的臺數。（一邊說一邊動手比劃，如下圖）
　　
　　師：說得很好。那現在你們能不能根據這幅圖的理解，試著倒過來解決這個問題？（學生獨立列式）
　　【診斷分析：從上述這段對話中我們發現，當把已經畫出來的線段圖呈現給生2看時，他還是能讀懂、解釋線段圖所呈現的數學信息和數量關系，能馬上在腦海里建立起相對比較抽象的數學表象。像這樣的學生在我們的實際教學中是占多數的，提供相互交流的對話平臺無疑是解決這一問題的好方法。】
　　（三）利用“數形結合”求解
　　（生1已列對了，生2還是感到困難）
　　師：還是有點難是嗎？那能不能跟我們說說看，你的難處在哪？
　　生2：剩下95臺不是總數的一半，不知道怎么求。
　　師：你（指生1）聽出他不能倒回來想的原因在哪了嗎？
　　生1：剩下的95臺，加上多的10臺剛好是總數的一半。
　　師：她剛才說的你聽清楚了嗎？
　　生2：剩下的95臺加上10臺以后正好是總數的一半了。
　　師：為什么“95臺加上10臺”正好是總數的一半了呢？
　　生1：因為賣出一半還多了10臺，就是比一半超出了10臺。
　　師：你能不能用自己的話來再解釋一遍？
　　生2（指著圖）：賣了總數的一半還多出了10臺，剩下95臺，如果這95臺加上10臺以后，這里一半等于那邊的一半。
　　師：那現在你算式會列了嗎？（會）如果再讓你們來檢驗自己的結果，你會怎么檢驗？（兩人都能正確、流利地解釋思考過程）
　　【診斷分析：在這一過程中我們不難發現，雖然生2已經能讀懂線段圖，但在進行逆向思維時還是不能結合圖來進行推算，總會受到生活經驗和非正確數量關系的干擾與影響，但一旦提醒結合圖來思考、倒推時，生2馬上能順利地進行正確的逆向思維。可見，這一學段的學生正處于以具體形象思維為主逐步過渡到以抽象邏輯思維為主的關鍵時期。數形結合是很好激活學生形象思維與抽象思維相聯結的好方法，有了圖示的支撐，學生還是能根據自己的判斷和推理抽象出隱含著的數量關系進行逆向思維。另外，值得我們注意的是，學生能讀懂線段圖并不能說明他們已經在腦海里正確地建構起了正確的數量關系表象。學會運用圖示來幫助抽象思考，需要教師在平時的教學中有意識地加強指導。】
　　“解決問題”的教學價值在于幫助學生在已有的能力水平基礎上，進一步鞏固學會的知識技能，豐富活動經驗，提高發現問題、分析問題、選擇策略等解題能力，培養觀察比較、抽象概括、分析推理、聯想反省等數學思維。我們只有在解決問題教學中真正落實對學生數學思維能力的培養，才不會讓解決問題在數學課堂中浮于表面，成為無水之源。
　　（責編杜華）