0.999……等于1嗎

　　0.999……=1，是數(shù)學(xué)中一個典型問題，本文介紹了如何避開高等數(shù)學(xué)的極限、級數(shù)觀點(diǎn)，給一位剛接觸循環(huán)小數(shù)的小學(xué)生講解這一結(jié)果。
　　上小學(xué)五年級的兒子突然問起一個問題：媽媽，0.999…等于1嗎？學(xué)過極限、級數(shù)的我回答道：當(dāng)然相等啦。兒子滿臉疑惑地說：那不是還差0.000…1嗎？我只能簡單地說：不能用“有限”觀點(diǎn)看待“無限”的問題。這么一個抽象、籠統(tǒng)的答案，小學(xué)生是無法理解的。“那么，0.333…+0.666…=1這也對啦？”這倒是給了我一個啟發(fā)：1÷3=0.333…=1/3，2÷3=0.666…=2/3，0.999……=0.333…+0.666…=1/3+2/3=1。兒子的回答卻是：“這么看好像對，可0.999…=1還是覺得不對。”就在我覺得解答還算成功時，問題又來了。“你看比較大小時，是先比首位，0.999…的首位是0比1小，所以還是0.999…小于1。”從教近20年的數(shù)學(xué)老師，不能給上小學(xué)五年級的兒子一個滿意的答復(fù)，看來我必須認(rèn)真?zhèn)湟还?jié)小學(xué)數(shù)學(xué)課。
　　我們知道，有理數(shù)集包括有限小數(shù)和無限循環(huán)小數(shù)，而分?jǐn)?shù)是有理數(shù)的另一種表現(xiàn)形式。即分?jǐn)?shù)都能化成有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)；反過來，任何一個有限小數(shù)也能化成分?jǐn)?shù)，當(dāng)然任何一個無限循環(huán)小數(shù)，也一定會轉(zhuǎn)化成一個分?jǐn)?shù)。如何把一個無限循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)呢？根據(jù)無限循環(huán)小數(shù)分為純循環(huán)小數(shù)和混循環(huán)小數(shù)，可分為：純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)、混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)。
　　類型一：純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)
　　例1：把0.3和0.23化成分?jǐn)?shù)。解1：0.333…×10=3.33…，0.333…×10-0.333…=3.333…-0.333…=3，（10-1）×0.333…=3，9×0.333…=3，0.3=3/9=1/3. 解2：0.23=23/99（過程略）。由此可見， 純循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)，它的小數(shù)部分可以寫成這樣的分?jǐn)?shù)：純循環(huán)小數(shù)的循環(huán)節(jié)最少位數(shù)是幾，分母就是由幾個9組成的數(shù)，分子是純循環(huán)小數(shù)中一個循環(huán)節(jié)組成的數(shù)。當(dāng)然，0.9=9/9=1.
　　類型二：混循環(huán)小數(shù)化成分?jǐn)?shù)
　　例2：把0.35、0.4734、0.12435化成分?jǐn)?shù)。解1：0.3555…×10=3.555…，0.3555…×100=35.55，0.3555…×100-0.3555…×10=35.55…-3.555…=35-3=32，（100-10）×0.3555…=32，90×0.3555…=32，0.35=32/90=16/45. 解2：0.4734=4687/9900（過程略）。解3：0.12435=4141/33300（過程略）。由此可見，混循環(huán)小數(shù)，它的小數(shù)部分可以寫成這樣的分?jǐn)?shù)：這個分?jǐn)?shù)的分子是不循環(huán)部分與第一個循環(huán)節(jié)連成的數(shù)字組成的數(shù)，減去不循環(huán)部分?jǐn)?shù)字組成的數(shù)之差；分母的頭幾位數(shù)字是9，末幾位數(shù)字是0，9的個數(shù)跟循環(huán)節(jié)的數(shù)位相同，0的個數(shù)跟不循環(huán)部分的數(shù)位相同。
　　當(dāng)然，兒子提出的“0.999……等于1嗎”得到了圓滿的答復(fù)。至于他提出的比較大小問題，我的答案是：數(shù)學(xué)中的很多形式是可以變形的，不能簡單地只看外在形式，要看到它的本質(zhì)。例如：4/2，它只是分?jǐn)?shù)形式，并不是分?jǐn)?shù)。兒子開心地說：原來循環(huán)小數(shù)可以變形啊，我會破解數(shù)學(xué)里的小魔術(shù)了。
　　（延邊大學(xué)師范分院）