關于函數極限教學的改革與實踐

　　摘 要： 函數極限是函數微積分的重要理論基礎，但同時也是教學的一個難點，難在定義多，性質多，現在所有版本的高等數學教材都不可能將函數極限的所有概念和性質一一講清，學生學了以后，也往往理解不深刻，掌握得不夠好，對不同的極限概念也容易混淆。作者對函數極限教學方法進行改革，從而讓學生在總體上掌握這部分的內容，減少了學生在學習過程中容易產生的模糊與混淆，讓學生更加深刻地認識了函數極限的本質。
　　關鍵詞： 高等數學教學 函數極限教學 教學改革
　　
　　1.函數極限教學的難點所在
　　函數極限是討論函數y=f（x）在自變量x為如下的六種變化趨勢下，函數因變量y隨著自變量x的變化而變化的規律性.
　　函數自變量x的六種變化趨勢是：
　　1）x→x；2）x→x；3）x→x；4）x→∞；5）x→+∞；6）x→-∞。
　　當x是上面六種變化情況的某一種時，若函數的因變量y越來越接近于某一常量A，則我們稱當x趨向于某個東西時，f（x）以A為極限.但這是只是描述性定義，而非精確定義.此外，我們還需要考慮x趨向于某個數值時，f（x）以∞，或+∞或-∞為函數極限的定義，因此，講函數極限時，將有二十四個函數極限的定義，討論函數極限的概念后，我們還要講函數極限的相關性質，主要有：（1）極限的唯一性；（2）有界性；（3）保號性.關于這個方面有不少的定理.然而事實上，沒有一本教材能全部介紹相關定義并證明相關性質.而學生面對這么多的定義及相關性質證明也往往是一頭霧水，所有這些，正是函數極限教學的難點所在，也是多年來高等數學教學中沒有解決的一個重要問題.
　　2.函數極限教學的探索與實踐
　　2.1定義的改進
　　用“x→w”表示x趨向于x→x；x→x；x→x；x→∞；x→+∞；x→-∞六種情形中的任意一種，簡稱當x趨向于某個東西，則函數極限的表達式可改為：f（x）=A，這里的A可取∞，或+∞或-∞，從而將二十四個極限情形統一到一個表達式中。當然A為有限值時，稱極限存在；A為無窮時，稱極限不存在.
　　2.2函數極限定義的探索
　　2.2.1當A為有限值，即極限存在時，函數極限的定義探索.
　　對極限f（x）=A，我們定義為：?坌ε＞0，?堝“w”的某個范圍，只要x屬于“w”的這個范圍，就有|f（x）-A|＜ε成立，即f（x）∈U（A，ε），則稱x→w時，f（x）以常數A為極限，記為f（x）=A.
　　例1.f（x）=A可定義為：?坌ε＞0，?堝U（x，δ）（δ＞0），當x∈U（x，δ）時，就有f（x）∈U（A，ε），則稱f（x）=A.
　　例2.f（x）=A可定義為：?坌ε＞0，?堝（x，x+δ）（δ＞0），當x∈（x，x+δ）時，就有f（x）∈U（A，ε），則稱f（x）=A.
　　例3.f（x）=A可定義為：?坌ε＞0，?堝某個范圍（M，+∞）（M＞0），當x∈（M，+∞）時，就有f（x）∈U（A，ε），則稱f（x）=A.
　　總之，可將所有有限極限的情況歸于一個模式列出，讓學生對照比較，找出其共性，從而加深對概念的認識和理解.
　　2.2.2x→w時，f（x）以無窮為極限定義的探索.
　　有了前面的討論，我們可給出f（x）=∞或f（x）=+∞或f（x）=-∞的定義：?坌M＞0，?堝“w”的某個范圍，當x屬于“w”的這某個范圍時，f（x）屬于關于M的某個范圍，則稱x→w時，f（x）以無窮為極限.
　　例4.f（x）=∞可定義為：?坌M＞0，?堝U（x，δ）（δ＞0），當x∈U（x，δ）時，有f（x）∈（-∞，-M）U（M，+∞），即|f（x）|＞M.
　　例5.f（x）=+∞可定義為：?坌M＞0，?堝M＞0，當x∈（-∞，-M）時，有f（x）∈（M，+∞），即f（x）＞M.
　　我們也可將十八個定義列出讓學生比較，并引導學生思考，從而掌握上述十八種定義的精髓.
　　3.關于極限性質的教學改革探索
　　有了上述改進，關于極限性質，我們也可以根據不同情況將某一性質放在同一地方來講.
　　例如講極限唯一性，證明當f（x）為有限極限時，則極限是唯一的，可分別將：f（x）=A及f（x）=A極限的唯一性放到一塊證明；
　　f（x）=A及f（x）=A極限的唯一性也放在一塊證明.
　　通過其證明過程，學生會發現證明的過程只是稍微改變就可以了.
　　在極限性質的教學過程中都可以做類似的處理，通過分析和引導，讓學生發現函數極限真正的內涵和本質.例如在局部保號性情況方面：
　　對f（x）=A，若A＞0與f（x）=A，A＞0兩種情形中：
　　第一個說明在x的某個領域內，即x∈U（x，δ）時，有f（x）＞0；
　　第二個說明在x足夠大時，即x∈（M，+∞）（M＞0）時，有f（x）＞0.
　　通過這種比較，學生會對極限的性質有一個本質的認識，即若A＞0，只要x屬于一定的范圍，則這個范圍內的函數值都大于零.
　　4.結語
　　高等數學的教學改革是當前必須面對的一個重大課題，在中學數學課程改革的背景下，高數教學改革尤為重要.以上是我二十幾年來高等數學教學的幾點認識，通過教學實踐，收到了良好的教學效果。但改革任重道遠，我們還需總結經驗，克服不足，將改革引向深入.
　　
　　參考文獻：
　　［1］翁莉娟.大學教學課程的改革與實踐.大學數學課程報告論壇論文集2007.北京：高等教育出版社，2008.
　　［2］同濟大學數學院，高等數學（第六版）.北京：高等教育出版社，2007.
　　［3］黃力宏，廖基定，高純一，周勇.高等數學（修改版）（上）（下）［M］.上海：復旦大學出版社，2006.