常見函數極限的求法

　　摘 要： 極限是高等數學最重要的概念之一，也是研究變量數學的重要工具和分析方法，同時又是高等數學的主要運算——微分法和積分法的理論基礎.其題型多變，方法靈活，技巧性強.本文用實例論述了求函數極限的幾種常用方法，介紹了求極限的一些技巧.
　　關鍵詞： 常見函數 極限 求解方法
　　
　　極限論是數學分析的基礎，它貫穿著整個數學分析，極限問題也是數學分析中的困難問題之一.求函數極限的方法較多，但是每種方法都有其局限性，都不是萬能的.對某個具體的求極限的問題，我們應該追求最簡便的方法.在求極限的過程中，必然以相關的概念、定理及公式為依據，并借助一些重要的方法和技巧.
　　首先我們一起來回顧函數極限的定義：
　　極限的定義一：若當x無限變大時，恒有|f（x）-a|<ε，其中ε是可以任意小的正數，則稱當x趨向無窮大時，函數f（x）趨向于a，記作f（x）=a或f（x）=a（x→+∞）.
　　極限的定義二：若當x無限接近x時，恒有|f（x）-a|<ε，其中ε是可以任意小的正數，則稱當x趨向x時，函數f（x）趨向于a，記作（x）=a或f（x）=a（x→x）.
　　下面我們以相關的概念、定理及公式為依據，簡單概括一些常見函數的極限的求法和技巧，以期對學習者能有所幫助.
　　一、利用函數極限定義求極限
　　利用函數極限的定義及不等式證明方法，關鍵是找出和的函數表達式，滿足函數極限定義中的要求.
　　例1:證明=2
　　證明:這里，函數在點x=1是沒有定義的，但是函數當x→1時的極限存在或不存在與它有沒有定義并無關系.事實上，?坌ε>0，不等式|-2|<ε約去非零因子x-1后就化為|x+1-2|=
　　|x-1|<ε，因此只要取δ=ε，那么當0<|x-1|<δ時，就有|-2|<ε，所以由函數極限定義知=2.
　　二、利用夾逼定理求極限
　　夾逼定理：若函數f（x）滿足g（x）≤f（x）≤h（x），且g（x）=h（x）=a，則f（x）=a.
　　例2:求（++…+）
　　則根據夾逼定理可知：原式=1.
　　三、利用極限四則運算法則求極限
　　對和、差、積、商形式的函數求極限，自然會想到極限四則運算法則，法則本身很簡單，但為了能夠使用這些法則，往往需要先對函數做某些恒等變形或化簡，采用怎樣的變形和化簡，要根據具體的算式確定，常用的變形或化簡有分式的約分或通分、分式的分解、分子或分母的有理化、三角函數的恒等變形、某些求和或求積公式，以及適當的變量替換.如：
　　（1）約去零因式（此法適用于X→X0時，型）
　　例3:求
　　解：原式==（x-3）=-1
　　（2）通分法（適用于∞-∞型）
　　例4:求（-）
　　解：原式===
　　（3）分子或分母有理化
　　例5:求
　　解：原式===
　　四、利用變量代換求極限
　　例6：求=1
　　解：下面的做法是錯誤的：
　　=（?）=1
　　錯在用錯了公式.公式=1，=1都是在X→0時求極限，本例是x→π時求極限。正確的做法是設一個新變量，使新變量趨向于零，為此：令t=x-π，當x→π時，t→0：==-1.
　　五、利用無窮小的性質求極限
　　無窮小量的性質：
　　1）兩個（相同類型的）無窮小量之和、差、積仍為無窮小量；
　　2）無窮小量與有界量的乘積為無窮小量.
　　例7：求
　　解：==
　　在求乘除式極限里，其因子可用等價因子代替，極限不變.
　　六、利用兩個重要極限
　　兩個重要極限公式為：
　　（1）=1
　　（2）（1+x）=e或（1+）=e，其中e是無理數，e≈2.718
　　七、利用拆項法求極限
　　八、利用洛比達法則求極限
　　以上求函數極限的方法是一些函數極限最基本且常用的求法，各種類型所采用的不同技巧必須熟練和靈活地掌握，除此之外，還可利用級數收斂性等方法來求極限.在不同的函數類型條件下所采用的技巧是各不相同的，因此大家要學會判斷極限的類型，對于找到解決問題的方法是至關重要的.極限的求法雖有一定的規律可循，但也決不能死搬硬套，因為有的題目可能有多種解法，有的簡單，有的復雜，因此只有在做題中不斷總結、摸索，領悟題目的含義和各種方法的精髓，才能更好地掌握極限的求法.
　　參考文獻：
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　　［2］華東師范大學數學系編.數學分析（第三版）［M］.北京：高等教育出版社，2001.
　　［3］盛祥耀.高等數學輔導［M］.北京：高等教育出版社，2003.
　　［4］徐建平.高等數學習題精編［M］.上海:上海同濟大學出版社，2000.